论文部分内容阅读
摘 要：素质教育的新课改中，学校教育要学生学会学习，为终身教学做好准备. 教学的思维也从“先教后学”的被动学习，演变成“先学后教”的主动学习，如今朝着“先学后导问题引领”方向迈进. 教学实践中要做好“学”和“导”——学生自导，生生互导，师生互导.
关键词：先学后导；建构；自主学习；合作学习；零点
“先学后导”是基于建构主义的教学思维 .“学”是指学生在教师指导下的自主合作探究学习；“导”是指在生生、师生在充分交流与对话的基础上，对学生仍觉困惑的问题在学习方法上给予引导、指导、启发. 学生是能动地学，新课程提倡“合作学习、主动学习，培养学生终身学习的能力”. 在以自主学习为核心的现代教学中，教师需要在熟悉教材、教改要求的基础上对知识进行分析，根据学生的认知水平进行科学的分析和预测，设计相应导学案. 课前学生主动地独立或合作预习，对知识源起、概念形成、公式推导、问题解决进行分析，主动建构. 课上师生进行自导、互导的有效学习，课后进行深入研究、反思与探索.
以下，以《函数的零点》为例，探讨“先学后导”的实践路径.
[?] 先学后导之“先学”
（一）教师方面：查阅资料，研读教材、参考书、课程标准，观摩，博采众长. 根据所带班级对于图象的重视熟悉程度，设想以图象为主线，辅以文字、符号等代数表述，深刻体会数形结合、函数与方程及等价转化思想，设计导学案.
（二）学生方面：根据教师设计的预习案先学. 明确学习的重点与难点.
（三）资源方面：教材和预习案，学生自备参考书.
预习案：
学习重点：1. 通过对二次函数图象的描绘，感受由具体到抽象的思想方法，了解函数零点的概念，体会函数零点与相应方程实数根之间的关系. 2. 理解提出零点概念的作用是沟通函数与方程的关系. 3. 通过实例了解函数零点存在性定理，能够根据定理进行零点的判断，理解等与不等的联系、整体与局部的关系. 4. 在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义与价值，提高对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用.
学习难点：1. 零点的意义的理解，零点的探索. 2. 构造函数，数与形，直观判断和代数表述. 3. 体会用函数的角度去思考方程，理解等与不等的辩证关系.
1. 整合情境，温故知新（填空形式）
探究1 画出二次函数y=x2-2x-3的图象，指出当x=__________时， y=0.
我们把使二次函数y=x2-2x-3的值为0的__________（即二次方程x2-2x-3=0的__________）称为二次函数y=x2-2x-3的零点，从图象上看它是抛物线与x轴交点的__________坐标.
探究2 当a>0时，二次函数y=ax2 bx c的零点，图象与二次方程ax2 bx c=0的实根之间的关系. （表格形式）
探究3 根据函数y=2x-4，y=
x-2，y=ln（x-3），y=x3-1的图象，观察函数图象与x轴交点的横坐标和相应方程的根的关系.
2. 自然而然，新知探索
通过你所体会的，你能给出零点的概念吗？_________________________.
你对零点是怎么理解的？
_____________________________.
探究4 下列函数是否有零点？如果有，说出零点.
（1）y=x2-2x 1；
（2）f（x）=
x
-2，x∈[1，3]；
（3）f（x）=2x-1；
（4）f（x）=lgx.
总结求函数零点的方法：
（1）_________________________；
（2）_________________________.
3. 小试牛刀，彰显智慧
例1 判断函数f（x）=x2-2x-1在区间（2，3）上是否存在零点.
问题1 若二次函数y=f（x）的零点是-1和3，则 f（-2）f（1）______0，f（2）f（4）______0.
问题2 对二次函数y=f（x），若f（-2）·f（1）<0，f（2）f（4）<0，则y=f（x）的零点范围是______.
问题3 对于函数f（x）=，f（-2）f（1）______0，能否说函数f（x）=在（-2，1）上有零点？
[?] 先学后导之“后导”
教师检查学生的预习案，充分了解学生，把预设和学生现状进行再统一. 学生在得到预习反馈后，即产生①自豪感，②急需解惑，③与他人比较，暗下决心更努力、更细心，对于课堂便有了期望，有了积极学习的动力.
（一）针对预习案中概念的理解和定理生成的点拨
一导：针对学生存在的问题，做好以下工作：第一、课堂上与学生一起从特殊函数——二次函数出发，从特殊到一般，通过几何画板的动画探究，体会并给出新概念——零点. 产生联想，零点、方程的根、图象与x轴交点的横坐标，甚至不等式解集的端点，皆与之相关（统一），在运动的过程中体会零点的本质是图形交点状况的直观表现，是方程有解与否的直接反映. 得出结论：（1）零点不是点，是实数；（2）三者统一；（3）二次函数Δ=0时，有两个相等实根，只有一个零点x=-.
二导：实物投影学生对探究3、4的作图，由学生自身或同组或其他组的同学进行评价，指出存在的问题是什么？需要注意什么？把特征量表现出来. 接着由学生总结求函数零点的方法：（1）图象法：即函数图象与x轴交点的横坐标；（2）代数法：令f（x）=0，解出x. 三导：通过例1的三连问抛出问题：大家能否归纳出什么情况下才会存在零点？学生通过不断尝试、补充、完善，概括零点存在性定理：若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）<0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点.
（二）针对学生对零点存在定理理解的导示
问题4 在零点存在定理中，（a，b）内只有一个零点吗？
问题5 如果x0是函数y=f（x）的零点，且m 对于零点存在性定理的理解与分析：由学生合作画图研究——分组展示——勾画关键字词——举出反例图形，加深学生对定理的理解，同时学习如何使用定理，教师可以在学生自主合作仍未解决的问题上进行指导，或再抛砖引玉，或故布疑阵，如“为什么不是在闭区间上有零点呢”. 得出结论（1）存在性：（a，b）内的零点至少存在一个，还可能有其他根，个数不确定，并不一定唯一；当函数单调时，零点存在且唯一；（2）反之不成立，如二次函数可能出现两个根或者相等的根.端点值可以为零，一个零点在区间里.
通过即时反馈练习：判断下列函数在给定区间内是否存在零点？（1）f（x）= log2（x 2）-x，x∈[1，3]；（2）f（x）=x-，x∈（0，1），教师发现，原以为（1）是巩固定理的好题，设想学生会用定理直接进行处理，然而学生却采用画出y=log2（x 2），x∈[1，3]，y=x，x∈[1，3]图象，观察交点是否在[1，3]内的方法解答，这也为后面数形结合解题做了准备. 教师提出问题：若方程不便求解，那么如何确定零点？学生通过他们的实践发现可以利用图象交点来处理，也可以用零点存在定理直接求解.
（三）针对知识原理应用的互导
1. 学以致用，感受成功
例2 已知函数y=x2-（m 3）x m 6在（2，4）内有且只有一个零点，求m的取值范围.
上述二次函数开区间上已知零点个数，求变量范围的题例，是学生学习定理运用的升华，正向解决问题顺应认识与思维，逆向对思维的要求更高，考虑问题需更全面，分类标准明确，定理使用得当. 基于在零点存在定理的分析理解时已经对该题型的讨论做了铺垫，学生分组讨论完成情况较好. 通过本题，学生深刻理解定理，学会应用，锻炼分析能力、逻辑思维能力，体会等价转化、分类讨论、数形结合的数学思想方法，感受到成功的喜悦.
2. 拓展探究，锻炼思维
例3 探究函数f（x）=log2x x-4的零点个数.
出乎意料的学生导教师. 教师本打算学生先用好定理，然后再适当引导学生从图象的角度考虑，体会零点从几何角度理解的本质. 没想到学生思考后提出转化成两个函数的图象的交点个数（即横坐标个数）的方法，展现了对零点定义的更深层次的理解——y=f（x）图象与x轴（y=0）交点的横坐标的本质就是两个函数图象的交点. 只要是能够迅捷准确画出的函数就可以使用本法.教师及时给予肯定与表扬，并提醒学生规范书写，在同一坐标系内作图，尽量精确，标出特征量. 还有少数学生提出本题函数在定义域上是单调的，因此可以利用零点存在定理.学生很聪明，课堂气氛达到高潮. 于是他们又顺利解决了“若f（x）=
4x-x2
-a有4个零点，则a的取值范围是__________”这一问题.
3. 线面回点，反思总结
课堂接近尾声，即使意犹未尽，还是需要冷静总结，反思回顾，比较谁的收获多. 最终收获是：1. 零点的定义：函数的零点、对应方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标三者之间的统一，写作x=x0；二次函数与x轴相切时只有一个零点. 2. 零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f（a）f（b）<0，还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数的零点个数. 3. 求零点的方法：①直接求零点：令f（x）=0，如果能求出解，则有几个不同解就有几个零点；②依据零点存在定理判断，一定要说明连续（不间断）；③转化：画两个函数图象，观察其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
[?] 先学后导之深化“后研”
为了学生的深层发展和及时巩固，教师在课后需要提供锻炼学生思维的思考题、作业题及研究方向，以使学生进行深层探究，提高能力. 本课设计的思考题如下：1. 已知二次函数f（x）=ax2 bx c，（1）若a>b>c，且f（1）=0，试证明f（x）必有两个零点；（2）若对x1，x2∈R，且x1 特别需要注意的是，“后研”中布置的任务需要考虑学生的个体差异，利于其分层探究，及时掌握. 作业可以分为必做题和选做题两种，供不同层次的学生选做，及时掌握，体验成功.
另外抛出问题：本节课我们在解题过程中碰到的问题是求零点（精确）、零点是否存在（估算）、数形结合判断零点的个数，若要较精确地确定不易求解的零点的范围，又该怎么做呢？以此为下节课做好铺垫.
[?] 结语
卓越课堂注重促进学生自主学习的程度、合作学习的效度和探究学习的深度！教师是学生学习的指导者、合作者、促进者和研究者，要把自己定位为学生的同伴，共同研究，要把自己定位为学生“随手可以翻开的字典”，需要有丰富的内涵，有先进的导学艺术.
学生课前“阅读教材，勾画重点，动手操作，尝试练习，写收获或问题”，主动学习，课堂上自导（自主学习），互导（合作学习），成为有思维的深度和广度，有坚忍不拔、刻苦钻研的精神，有敏锐的洞察力，有优秀的组织和表现能力，有丰富创造力和想象力的学习者. 问题是数学的心脏. “先学后导，问题引领”的课堂上，教师和学生关注单位时间的学习效益和质量. 教师提供的策略性、智慧性指导，能帮助学生学会在单位时间内如何提高学习绩效，提高学生在单位时间内发现问题、分析问题、解决问题的能力. “意外”发生时师生进行互导，从而教师也能在课堂中进步.
“先学后导”是一种教学模式的创新和超越，随着学生学习能力的发展，教师要逐步采用体现“先学后导”教学思维的教学方法，甚至还可以进行“先学后研”的学习，在教学实践中，需要结合“先教后学”，“先学后教”，根据学生身心发展规律、学习发展的需要来选择，一切以培养学生的终身学习能力为追求.
关键词：先学后导；建构；自主学习；合作学习；零点
“先学后导”是基于建构主义的教学思维 .“学”是指学生在教师指导下的自主合作探究学习；“导”是指在生生、师生在充分交流与对话的基础上，对学生仍觉困惑的问题在学习方法上给予引导、指导、启发. 学生是能动地学，新课程提倡“合作学习、主动学习，培养学生终身学习的能力”. 在以自主学习为核心的现代教学中，教师需要在熟悉教材、教改要求的基础上对知识进行分析，根据学生的认知水平进行科学的分析和预测，设计相应导学案. 课前学生主动地独立或合作预习，对知识源起、概念形成、公式推导、问题解决进行分析，主动建构. 课上师生进行自导、互导的有效学习，课后进行深入研究、反思与探索.
以下，以《函数的零点》为例，探讨“先学后导”的实践路径.
[?] 先学后导之“先学”
（一）教师方面：查阅资料，研读教材、参考书、课程标准，观摩，博采众长. 根据所带班级对于图象的重视熟悉程度，设想以图象为主线，辅以文字、符号等代数表述，深刻体会数形结合、函数与方程及等价转化思想，设计导学案.
（二）学生方面：根据教师设计的预习案先学. 明确学习的重点与难点.
（三）资源方面：教材和预习案，学生自备参考书.
预习案：
学习重点：1. 通过对二次函数图象的描绘，感受由具体到抽象的思想方法，了解函数零点的概念，体会函数零点与相应方程实数根之间的关系. 2. 理解提出零点概念的作用是沟通函数与方程的关系. 3. 通过实例了解函数零点存在性定理，能够根据定理进行零点的判断，理解等与不等的联系、整体与局部的关系. 4. 在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义与价值，提高对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用.
学习难点：1. 零点的意义的理解，零点的探索. 2. 构造函数，数与形，直观判断和代数表述. 3. 体会用函数的角度去思考方程，理解等与不等的辩证关系.
1. 整合情境，温故知新（填空形式）
探究1 画出二次函数y=x2-2x-3的图象，指出当x=__________时， y=0.
我们把使二次函数y=x2-2x-3的值为0的__________（即二次方程x2-2x-3=0的__________）称为二次函数y=x2-2x-3的零点，从图象上看它是抛物线与x轴交点的__________坐标.
探究2 当a>0时，二次函数y=ax2 bx c的零点，图象与二次方程ax2 bx c=0的实根之间的关系. （表格形式）
探究3 根据函数y=2x-4，y=
x-2，y=ln（x-3），y=x3-1的图象，观察函数图象与x轴交点的横坐标和相应方程的根的关系.
2. 自然而然，新知探索
通过你所体会的，你能给出零点的概念吗？_________________________.
你对零点是怎么理解的？
_____________________________.
探究4 下列函数是否有零点？如果有，说出零点.
（1）y=x2-2x 1；
（2）f（x）=
x
-2，x∈[1，3]；
（3）f（x）=2x-1；
（4）f（x）=lgx.
总结求函数零点的方法：
（1）_________________________；
（2）_________________________.
3. 小试牛刀，彰显智慧
例1 判断函数f（x）=x2-2x-1在区间（2，3）上是否存在零点.
问题1 若二次函数y=f（x）的零点是-1和3，则 f（-2）f（1）______0，f（2）f（4）______0.
问题2 对二次函数y=f（x），若f（-2）·f（1）<0，f（2）f（4）<0，则y=f（x）的零点范围是______.
问题3 对于函数f（x）=，f（-2）f（1）______0，能否说函数f（x）=在（-2，1）上有零点？
[?] 先学后导之“后导”
教师检查学生的预习案，充分了解学生，把预设和学生现状进行再统一. 学生在得到预习反馈后，即产生①自豪感，②急需解惑，③与他人比较，暗下决心更努力、更细心，对于课堂便有了期望，有了积极学习的动力.
（一）针对预习案中概念的理解和定理生成的点拨
一导：针对学生存在的问题，做好以下工作：第一、课堂上与学生一起从特殊函数——二次函数出发，从特殊到一般，通过几何画板的动画探究，体会并给出新概念——零点. 产生联想，零点、方程的根、图象与x轴交点的横坐标，甚至不等式解集的端点，皆与之相关（统一），在运动的过程中体会零点的本质是图形交点状况的直观表现，是方程有解与否的直接反映. 得出结论：（1）零点不是点，是实数；（2）三者统一；（3）二次函数Δ=0时，有两个相等实根，只有一个零点x=-.
二导：实物投影学生对探究3、4的作图，由学生自身或同组或其他组的同学进行评价，指出存在的问题是什么？需要注意什么？把特征量表现出来. 接着由学生总结求函数零点的方法：（1）图象法：即函数图象与x轴交点的横坐标；（2）代数法：令f（x）=0，解出x. 三导：通过例1的三连问抛出问题：大家能否归纳出什么情况下才会存在零点？学生通过不断尝试、补充、完善，概括零点存在性定理：若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）<0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点.
（二）针对学生对零点存在定理理解的导示
问题4 在零点存在定理中，（a，b）内只有一个零点吗？
问题5 如果x0是函数y=f（x）的零点，且m
通过即时反馈练习：判断下列函数在给定区间内是否存在零点？（1）f（x）= log2（x 2）-x，x∈[1，3]；（2）f（x）=x-，x∈（0，1），教师发现，原以为（1）是巩固定理的好题，设想学生会用定理直接进行处理，然而学生却采用画出y=log2（x 2），x∈[1，3]，y=x，x∈[1，3]图象，观察交点是否在[1，3]内的方法解答，这也为后面数形结合解题做了准备. 教师提出问题：若方程不便求解，那么如何确定零点？学生通过他们的实践发现可以利用图象交点来处理，也可以用零点存在定理直接求解.
（三）针对知识原理应用的互导
1. 学以致用，感受成功
例2 已知函数y=x2-（m 3）x m 6在（2，4）内有且只有一个零点，求m的取值范围.
上述二次函数开区间上已知零点个数，求变量范围的题例，是学生学习定理运用的升华，正向解决问题顺应认识与思维，逆向对思维的要求更高，考虑问题需更全面，分类标准明确，定理使用得当. 基于在零点存在定理的分析理解时已经对该题型的讨论做了铺垫，学生分组讨论完成情况较好. 通过本题，学生深刻理解定理，学会应用，锻炼分析能力、逻辑思维能力，体会等价转化、分类讨论、数形结合的数学思想方法，感受到成功的喜悦.
2. 拓展探究，锻炼思维
例3 探究函数f（x）=log2x x-4的零点个数.
出乎意料的学生导教师. 教师本打算学生先用好定理，然后再适当引导学生从图象的角度考虑，体会零点从几何角度理解的本质. 没想到学生思考后提出转化成两个函数的图象的交点个数（即横坐标个数）的方法，展现了对零点定义的更深层次的理解——y=f（x）图象与x轴（y=0）交点的横坐标的本质就是两个函数图象的交点. 只要是能够迅捷准确画出的函数就可以使用本法.教师及时给予肯定与表扬，并提醒学生规范书写，在同一坐标系内作图，尽量精确，标出特征量. 还有少数学生提出本题函数在定义域上是单调的，因此可以利用零点存在定理.学生很聪明，课堂气氛达到高潮. 于是他们又顺利解决了“若f（x）=
4x-x2
-a有4个零点，则a的取值范围是__________”这一问题.
3. 线面回点，反思总结
课堂接近尾声，即使意犹未尽，还是需要冷静总结，反思回顾，比较谁的收获多. 最终收获是：1. 零点的定义：函数的零点、对应方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标三者之间的统一，写作x=x0；二次函数与x轴相切时只有一个零点. 2. 零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f（a）f（b）<0，还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数的零点个数. 3. 求零点的方法：①直接求零点：令f（x）=0，如果能求出解，则有几个不同解就有几个零点；②依据零点存在定理判断，一定要说明连续（不间断）；③转化：画两个函数图象，观察其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
[?] 先学后导之深化“后研”
为了学生的深层发展和及时巩固，教师在课后需要提供锻炼学生思维的思考题、作业题及研究方向，以使学生进行深层探究，提高能力. 本课设计的思考题如下：1. 已知二次函数f（x）=ax2 bx c，（1）若a>b>c，且f（1）=0，试证明f（x）必有两个零点；（2）若对x1，x2∈R，且x1
另外抛出问题：本节课我们在解题过程中碰到的问题是求零点（精确）、零点是否存在（估算）、数形结合判断零点的个数，若要较精确地确定不易求解的零点的范围，又该怎么做呢？以此为下节课做好铺垫.
[?] 结语
卓越课堂注重促进学生自主学习的程度、合作学习的效度和探究学习的深度！教师是学生学习的指导者、合作者、促进者和研究者，要把自己定位为学生的同伴，共同研究，要把自己定位为学生“随手可以翻开的字典”，需要有丰富的内涵，有先进的导学艺术.
学生课前“阅读教材，勾画重点，动手操作，尝试练习，写收获或问题”，主动学习，课堂上自导（自主学习），互导（合作学习），成为有思维的深度和广度，有坚忍不拔、刻苦钻研的精神，有敏锐的洞察力，有优秀的组织和表现能力，有丰富创造力和想象力的学习者. 问题是数学的心脏. “先学后导，问题引领”的课堂上，教师和学生关注单位时间的学习效益和质量. 教师提供的策略性、智慧性指导，能帮助学生学会在单位时间内如何提高学习绩效，提高学生在单位时间内发现问题、分析问题、解决问题的能力. “意外”发生时师生进行互导，从而教师也能在课堂中进步.
“先学后导”是一种教学模式的创新和超越，随着学生学习能力的发展，教师要逐步采用体现“先学后导”教学思维的教学方法，甚至还可以进行“先学后研”的学习，在教学实践中，需要结合“先教后学”，“先学后教”，根据学生身心发展规律、学习发展的需要来选择，一切以培养学生的终身学习能力为追求.