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【摘要】自回归模型是近些年来人们在日常的生活工作中探索总结出来的.所以，讨论非线性自回归模型的自回归分析与应用问题显得尤为重要.线性回归分析大致推广到7种自回归模型的自回归分析，得到其参数的估计标准误公式、估计公式、总体自回归系数的检验统计量等系数.本文对此做了自回归分析以及通过实际例子分析论证了自回归模型的应用.
【关键词】自回归模型；自回归分析；应用
一、自回归模型的定义
自回归模型的英文名称为autoregressive model，它的意义是说利用初期的某个特定时刻的随机变量的线性组合来描述后期某个时刻的随机变量的自回归模型.
二、自回归模型类型的自回归分析
自回归模型的自回归分析在于通过数学公式来概述一个变量是如何随其他变量的改变而变化.
引理 {（x，y）}={(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，…，(xn,yn)}为已得到的统计资料，如果要建立线性回归方程y=a+bx+ε，那么得到b=n∑xy-∑x∑yn∑x2-(∑x)2,=n-1(∑y-b∑x)，得到估计标准误值Sxy=∑y2-∑y-b∑xyn-2.如果x=x0，y0=+bx0，得到y的平均值置信区间为0±t(n-2)a2Syx n-1+n(x0-x)2n∑x2-(∑x)2.
在水平α下校验总体线性关系y=+βx+ε，即判断H0：β是否为拒绝为0.最后检验统计量
t=bSyx∑x2-n-1(∑x)2~t(n-2)a2.
1.线性自回归模型
序列{xt}为已知量，假设建立线性方程xt=a+bxt-1+ε，引理xt-1~x，xt~y，可以得到
b=(n-1)∑ni=2xi-1xi-∑ni=2xi-1∑ni=2xi(n-1)∑ni=2x2i-1-∑ni=2xi-12，xn+1=a+bxn,xn+1平均值置信区间为
n-1±t(n-3)a2Sxtxx-1•
(n-1)-1+(n-1)xn-(n-1)-1∑ni=2xi-12(n-1)∑ni=2x2i-1-∑ni=2xi-12.
在水平α下校验总体线性关系xt=a+βxt-1+ε，即判断H0：β是否为拒绝为0.最后由引理可知xt-1~x，xt~y,xt-1~x，xt~y.
检验统计量
t=bSxtxt-1∑ni=2x2i-1-(n-1)-1∑ni=2xi-12~t(n-3)a2.
2.AR(p)模型
p阶自回归模型称为AR(p)模型Xt=∑pj=2ajXt-j+εt(t∈Z).
当A(z)=1-∑pj=1ajzj(ap≠0)根均在单位圆外,εt~WN(0,σ2),由此可得平稳时间序列为:平稳解或AR(p)序列;称a=(a1,a2,…,ap)T是该模型的自回归系数;那么A(z)=1-∑pj=1ajzj≠0，|z|≤1就是稳定性条件或者最小相位条件.A(z)=1-∑pj=1ajzj是该模型的特征多项式;另外AR(p)模型也可写成:A(B)Xt=εt(t∈Z).
假定z1,z2,…,zk是A(z)的互异根,ρ为1<ρ<min{|zj|,j=1~k},那么A-1(z)=1A(z)在|z|≤ρ内求解,继而有级数展开A-1(z)=∑∞j=0Ψjzj，|z|≤ρ,在这其中，系数{Ψj}为平稳序列{Xt}的Wold系数.定义A-1(B)=∑∞j=0ΨjBj，所以Xt=A-1(B)εt=∑∞j=0Ψjεt-j(t∈Z)是AR(p)序列.
自回归模型除以上描述的两种意外还有非线性自回归模型、S型曲线自回归模型、幂函数自回归模型等等，它能充分利用数学公式来解决各个方面的问题.
三、实例讨论
我国某市的民营企业自1992年至2009年17年间的盈利分别为101，101，104，105，110，122，136，147，165，174，188，190，193，194，199，200，200，203(万元)（数据经专业人士统计，后面小数点经四舍五入取整处理）.先取坐标（xt-1，xt）作散点图，可以得出结论：该问题应该建立对数函数自回归模型进行自回归模型分析.利用专业软件可以得到主要结果，Xt=3269540Lgxt-1-526.944+ε，SxtLgxt-1=3.34，x2009=204.就是说2010年该民营企业的税后盈利约为204万元；x2009的平均值置信水平α=0.05的区间为［200.5,207］,即该民营企业2010年税后盈利的平均水平大约在200.5到207万元之间；在显著水平α=0.05的条件下检验总体对数函数Xt=α+βLgxt-1+ε，H0：β=0，H1：β≠0，t150040=2.5，可以明显得到结果t=92.4>2.5,符合自回归关系，因此，可以很大程度地肯定该民营企业税后的盈利初后期数值在总体上存在着对数函数的自回归关系.
除上述实例之外，还可以将其应用到井灌水稻需水量的应用过程中，将井灌水稻按生育期分为6个阶段，排成时间序列，然后选取需水量及日均气温、日照时间等参数作为影响因素，采用多维自回归模型进行分析，以6维序列带入，分析得出井灌水稻各期间的需水量.
综上所述，在人们的日常生活和工作中，已经极其频繁地应用了自回归模型的自回归分析，如上文所举实例，仅知道每年的利润即可以得出很多相关数据，减少了统计的时间；为水稻种植提供了有效的分析方法，节约用水,促进农业发展，为可持续发展提供了有效依据.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】自回归模型；自回归分析；应用
一、自回归模型的定义
自回归模型的英文名称为autoregressive model，它的意义是说利用初期的某个特定时刻的随机变量的线性组合来描述后期某个时刻的随机变量的自回归模型.
二、自回归模型类型的自回归分析
自回归模型的自回归分析在于通过数学公式来概述一个变量是如何随其他变量的改变而变化.
引理 {（x，y）}={(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，…，(xn,yn)}为已得到的统计资料，如果要建立线性回归方程y=a+bx+ε，那么得到b=n∑xy-∑x∑yn∑x2-(∑x)2,=n-1(∑y-b∑x)，得到估计标准误值Sxy=∑y2-∑y-b∑xyn-2.如果x=x0，y0=+bx0，得到y的平均值置信区间为0±t(n-2)a2Syx n-1+n(x0-x)2n∑x2-(∑x)2.
在水平α下校验总体线性关系y=+βx+ε，即判断H0：β是否为拒绝为0.最后检验统计量
t=bSyx∑x2-n-1(∑x)2~t(n-2)a2.
1.线性自回归模型
序列{xt}为已知量，假设建立线性方程xt=a+bxt-1+ε，引理xt-1~x，xt~y，可以得到
b=(n-1)∑ni=2xi-1xi-∑ni=2xi-1∑ni=2xi(n-1)∑ni=2x2i-1-∑ni=2xi-12，xn+1=a+bxn,xn+1平均值置信区间为
n-1±t(n-3)a2Sxtxx-1•
(n-1)-1+(n-1)xn-(n-1)-1∑ni=2xi-12(n-1)∑ni=2x2i-1-∑ni=2xi-12.
在水平α下校验总体线性关系xt=a+βxt-1+ε，即判断H0：β是否为拒绝为0.最后由引理可知xt-1~x，xt~y,xt-1~x，xt~y.
检验统计量
t=bSxtxt-1∑ni=2x2i-1-(n-1)-1∑ni=2xi-12~t(n-3)a2.
2.AR(p)模型
p阶自回归模型称为AR(p)模型Xt=∑pj=2ajXt-j+εt(t∈Z).
当A(z)=1-∑pj=1ajzj(ap≠0)根均在单位圆外,εt~WN(0,σ2),由此可得平稳时间序列为:平稳解或AR(p)序列;称a=(a1,a2,…,ap)T是该模型的自回归系数;那么A(z)=1-∑pj=1ajzj≠0，|z|≤1就是稳定性条件或者最小相位条件.A(z)=1-∑pj=1ajzj是该模型的特征多项式;另外AR(p)模型也可写成:A(B)Xt=εt(t∈Z).
假定z1,z2,…,zk是A(z)的互异根,ρ为1<ρ<min{|zj|,j=1~k},那么A-1(z)=1A(z)在|z|≤ρ内求解,继而有级数展开A-1(z)=∑∞j=0Ψjzj，|z|≤ρ,在这其中，系数{Ψj}为平稳序列{Xt}的Wold系数.定义A-1(B)=∑∞j=0ΨjBj，所以Xt=A-1(B)εt=∑∞j=0Ψjεt-j(t∈Z)是AR(p)序列.
自回归模型除以上描述的两种意外还有非线性自回归模型、S型曲线自回归模型、幂函数自回归模型等等，它能充分利用数学公式来解决各个方面的问题.
三、实例讨论
我国某市的民营企业自1992年至2009年17年间的盈利分别为101，101，104，105，110，122，136，147，165，174，188，190，193，194，199，200，200，203(万元)（数据经专业人士统计，后面小数点经四舍五入取整处理）.先取坐标（xt-1，xt）作散点图，可以得出结论：该问题应该建立对数函数自回归模型进行自回归模型分析.利用专业软件可以得到主要结果，Xt=3269540Lgxt-1-526.944+ε，SxtLgxt-1=3.34，x2009=204.就是说2010年该民营企业的税后盈利约为204万元；x2009的平均值置信水平α=0.05的区间为［200.5,207］,即该民营企业2010年税后盈利的平均水平大约在200.5到207万元之间；在显著水平α=0.05的条件下检验总体对数函数Xt=α+βLgxt-1+ε，H0：β=0，H1：β≠0，t150040=2.5，可以明显得到结果t=92.4>2.5,符合自回归关系，因此，可以很大程度地肯定该民营企业税后的盈利初后期数值在总体上存在着对数函数的自回归关系.
除上述实例之外，还可以将其应用到井灌水稻需水量的应用过程中，将井灌水稻按生育期分为6个阶段，排成时间序列，然后选取需水量及日均气温、日照时间等参数作为影响因素，采用多维自回归模型进行分析，以6维序列带入，分析得出井灌水稻各期间的需水量.
综上所述，在人们的日常生活和工作中，已经极其频繁地应用了自回归模型的自回归分析，如上文所举实例，仅知道每年的利润即可以得出很多相关数据，减少了统计的时间；为水稻种植提供了有效的分析方法，节约用水,促进农业发展，为可持续发展提供了有效依据.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文