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摘 要：图形计算器于数列有多元表征优势，突破数列教学的难点可以在手持技术的支撑下：列表比较中认识递推，图象直观中感受叠加，数形结合中研究性质；以让学生在亲身操作中感受数列的递推迭代思想；教学实践带来启示和思考：图形计算器于数列有多元表征优势，能为学生“做数学”提供有效载体，让手持技术走近学生需要教师不断挖掘课题资源．
关键词：图形计算器；多元表征；数列教学；递推迭代
作为一种反映自然规律的基本数学模型，数列在现实生活中有着广泛的应用；因此课程标准要求教学时需注重背景和应用，关注学生的参与和发现，注重将数列作为一种特殊的函数来学习． 但数列教学的现状却令人不安，往往仍是将已构造好的现成的数学知识（如等差、等比数列的通项公式、求和公式等）端给学生，让他们“理解掌握、灵活运用”． 究其原因：学生的认知背景以连续数集为主，对数列这样一种离散的有次序变化的过程，对数列特有的递推迭代思想，心理上很难“同化”；而缺乏理想的教学手段也是一原因，因为数列的离散性，常用的技术手段很难呈现．笔者在教学实践中发现，图形计算器对数列有多元表征（列举、图像、符号等）优势，引进图形计算器于数列教学，可以让学生在亲身操作中感受数列的递推迭代思想，在自身的“再创造”而自然“生长”出新的有效而能发展的知识． 本文以Casio fx-9750GⅡ为工具平台，在功能介绍、方法操作中体现图形计算器于数列的多重表征优势．
应用图形计算器于数列教学的实践举例
1． 列表比较中认识递推
递推是数列的特有语言，强调的是相邻两项或三项之间的关系，传统的数列教学对于数列的递推公式及“递归”思想关注较少，往往只是给出一些有递归特性的语言描述（如：一个非零数列从第二项起，每一项与它前面一项的比等于同一个常数）． 下文以问题“已知数列｛an｝满足a1=2，an+1=（n∈N*），求a2011”为例，体现图形计算器在帮助学生熟悉“递归”思想方面的天然优越性．
方案一：利用功能键Ans实现递推
fx-9750GⅡ有功能键“Ans”，其操作方式是按Ln，作用在于记忆上次的运算结果并带入到下一次运算，我们可以用此功能键实现简单的递推．具体操作步骤（斜体字是对按键步骤的说明）如下：
①1（选择进入运算矩阵模式）；
②2l（输入首项）；
③j5Ln-13kMj3Ln-7kl（输入递推公式，并执行得数列的第二项）；
④l（以同种递推公式得第三项）；
⑤l；
⑥l．
效果如图1所示，可以发现数列｛an｝以3为周期呈周期性变化，这样可知a2011=a1=2．
RUN?MAT运算矩阵模式只能进行简单递推运算，复杂些的递推运算则需在RECUR数列递归模式下进行操作．
方案二：RECUR模式下实现递推
进入RECUR数列递归模式后，主菜单如图2所示，其中功能键TYPE表示递推的类型选择，SET表示递推数列的开始项和结束项的设置，TABLE则是将递推数列按项数n和生成表格；按w键进入“Select Type”菜单（如图3），可以发现fx-9750GⅡ有非递推数列（即通项公式）、两项递推和多项递推数列三种类型（本例选择w）；主菜单中按y键进入递推数列初终值设置界面，按图4所示进行设置． 具体的操作步骤如下：
①6（选择进入RECUR数列递归模式）；
②ew（选择递推公式样式为两项递推）；
③j5w-13kMj3w-7kl（输入递推公式）；
④y2008l2012lw2l（设置数列的首项和表格显示项）；
⑤du（生成表格）．
效果如图5，可以发现a2011=2．
利用图形计算器的表格功能为递推数列提供了很好的表征形式，学生在亲身操作中可以直观地感受递推思想． 而面对“玉兔子孙世代传，棋盘麦塔上摩天． 坛坛罐罐求堆垛，步步为营算连环”这样的递推问题可以让学生直观感受．
2. 图象直观中感受叠加
对于学生而言，数列的前n项和是另一理解难点，因为其中体现叠加思想不太容易被理解和接受，需要借助图形计算器提供直观感知的载体，下文以问题“数列｛an｝中，an=-3n+25，Sn为数列｛an｝的前n项和，求Sn的最大值”为例．
方案一：利用“∑ Display”选项实现求和
操作步骤如下：
①按Lp键进行系统设置，在弹出窗口中按NB键找到“∑ Display”选项，按q键打开选项（如图6）．
②主菜单中选择递推类型为q，输入数列的通项公式后按u进入TABLE窗口（如图7），可以发现表格中多了∑a一栏．
③按u后再按u作出数列的图象（如图8），可以按Lq实现指针跟踪显示，如果要出现相应数值，则还需要进行系统设置，其方式是按Lp键进行系统设置，在弹出窗口中按NB键找到“Coord”选项，按q开启指针位置处的坐标显示．
上述操作过程固然可以帮助学生正确理解Sn的最大值及取最大值时n的相应值，但数列的项an与和Sn的对应关系却很难呈现．
方案二：图象比较中认识求和
操作步骤如下：
①输入图9所示两数列的通项公式，其中bn=－n2+n（实为数列｛an｝的前n项和）；
②按u选择TABLE功能得到图10所示的表格，通过表格可以对比发现bn最大当且仅当an为最小的正数时；
③按u选择G-PLT功能得到图11所示两数列的图象，按Lq实现指针跟踪显示，按NB键可以即时显示an，bn中对应点．
我们也可输入图12所示的递推公式来替代步骤①中的操作，其中an+1=an-3，bn+1=bn+an-3，相应数列的初值设为a0=25，b0=0，可以一样得出图11所得的结论．
3. 数形结合中研究性质
数列是函数的离散化，因此需要与函数类比，研究数列的单调性、最大值与最小值、周期性等，但需高度重视其中可能产生的负迁移，因数列的特殊离散性，需要创设情境让学生有足够的体验和活动． 如对于问题“探讨数列an=3n+1×n的单调性，并结合单调性求｛an｝中的最大项”，我们固然可以做相应的代数推演an+1－an=3n+4×n+1－3n+1×n=n×=n×，从而得出结论：n≤5时｛an｝递增，n≥5时｛an｝递减． 但对于为什么用后一项减前一项来说明数列的单调性，结论为什么就说明a5为最大项却不甚明晰；如果让他们有机会看到图13所示的数列图象，相信必然会“不著一字，尽得风流”．
又对于“在平面直角坐标系中，直线y=-2x+5上有一系列点：P0（1，3），P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…，已知数列是首项为，公差为1的等差数列，是否存在一个半径最小的圆C，使得对一切n∈N*，点Pn（xn，yn）均在此圆的内部（包括圆周）？若存在，求出此圆的方程；若不存在，请说明理由”这样的复杂问题，不难得出xn=1+，yn=3－，但问题在于点Pn（xn，yn）的分布规律学生难以想象从而很难把握解题方向，最终只能望题兴叹，但如果借助fx-9750GⅡ提供的绘制相图功能，自然可以“轻舟已过万重山”． 具体操作步骤如下：
①输入两数列通项公式，并生成表格；
②按e键选择PHAS功能得到图14所示Pn（xn，yn）的散点图，可以发现当n→∞时，Pn（xn，yn）从P1（x1，y1）向P0（1，3）聚合，也就是说存在一以P0P1为直径的圆将所有点Pn（xn，yn）均包含在内． fx-9750GⅡ还可以绘制WEB图形验证数列的收敛或发散．
图形计算器在数列教学中的应用启示
1. 图形计算器于数列有多元表征优势
如前所述，图形计算器能为学生提供“多元联系表征”的学习环境，帮助学生直观感受递推和叠加思想，在符号语言与表格、图象（如图13、14）间形成一有效的理解通道，从而对我们真实理解数学产生着重要影响． 事实上从数学学习心理的角度看，不同的数学思维形式、它们之间的转换及表达方式是数学学习的核心，用多种表达形式表示数学对象，从而透过现象把握数学本质，已然成为数学课程改革中需要关注的重点话题，因此发挥图形计算器的功能，应是数列教学改革的一个重要方向，因为“抽象的道理很重要，但要用一切办法使它们能看得见、摸得着”．
2． 图形计算器为学生“做数学”提供有效载体
与其他教学软件相区别的是，图形计算器与数学整合可以不囿于教师演示的局限，能真正交到学生手中． 事实上通过以上案例我们可以发现，无论什么数列我们只要输入相应的递推公式或通项公式，便可以在手持技术的支持下，自主地在“问题空间”里进行探索和做“数学实验”，在此过程中学生以研究者的身份进行学习，由“听数学”转为“做数学”，由过去被动接受转为主动参与，由以前做书本中的习题变为自己设计问题，由被动地学习变为主动地发现探索式学习． 笔者认为，发挥图形计算器的价值和作用，可以让数学的学习与研究在技术的支撑下插上想象的翅膀，因为图形计算器无疑是真正能交到学生手中、易于学生进行数学“再创造”的信息技术工具，因为教育技术只有交到学生手中才能发挥它的最大作用．
3. 图形计算器走近学生需要教师挖掘课题资源
将图形计算器交到学生手中，使他们有机会真实感受“数学是自然的，数学是清楚的，数学是水到渠成的”，固然需要我们研究技术本身，挖掘技术潜力，需要重视图形技术器与其他技术的优势比较，适时、适度地选用适当类型的信息技术，使学生“看他们以往只能‘想象’的数学，‘做’他们以往不能做的数学”；更为重要的是需要教师下力气提炼教学内容，化学术形态为教育形态，创设利于学生“再创造”的实验情境，正如弗莱登塔尔所认为的那样，“数学教育是一个活动过程，在整个活动过程中学生应该处于一个积极、创造的状态． 学生首先要参与这个活动，感觉到创造的需要，他才有可能进行再创造，而教师的任务就是为学生的发展、创造提供自由广阔的天地，就在于引导学生探索获得知识、技能的途径和方法，培养学生的创造力”．
关键词：图形计算器；多元表征；数列教学；递推迭代
作为一种反映自然规律的基本数学模型，数列在现实生活中有着广泛的应用；因此课程标准要求教学时需注重背景和应用，关注学生的参与和发现，注重将数列作为一种特殊的函数来学习． 但数列教学的现状却令人不安，往往仍是将已构造好的现成的数学知识（如等差、等比数列的通项公式、求和公式等）端给学生，让他们“理解掌握、灵活运用”． 究其原因：学生的认知背景以连续数集为主，对数列这样一种离散的有次序变化的过程，对数列特有的递推迭代思想，心理上很难“同化”；而缺乏理想的教学手段也是一原因，因为数列的离散性，常用的技术手段很难呈现．笔者在教学实践中发现，图形计算器对数列有多元表征（列举、图像、符号等）优势，引进图形计算器于数列教学，可以让学生在亲身操作中感受数列的递推迭代思想，在自身的“再创造”而自然“生长”出新的有效而能发展的知识． 本文以Casio fx-9750GⅡ为工具平台，在功能介绍、方法操作中体现图形计算器于数列的多重表征优势．
应用图形计算器于数列教学的实践举例
1． 列表比较中认识递推
递推是数列的特有语言，强调的是相邻两项或三项之间的关系，传统的数列教学对于数列的递推公式及“递归”思想关注较少，往往只是给出一些有递归特性的语言描述（如：一个非零数列从第二项起，每一项与它前面一项的比等于同一个常数）． 下文以问题“已知数列｛an｝满足a1=2，an+1=（n∈N*），求a2011”为例，体现图形计算器在帮助学生熟悉“递归”思想方面的天然优越性．
方案一：利用功能键Ans实现递推
fx-9750GⅡ有功能键“Ans”，其操作方式是按Ln，作用在于记忆上次的运算结果并带入到下一次运算，我们可以用此功能键实现简单的递推．具体操作步骤（斜体字是对按键步骤的说明）如下：
①1（选择进入运算矩阵模式）；
②2l（输入首项）；
③j5Ln-13kMj3Ln-7kl（输入递推公式，并执行得数列的第二项）；
④l（以同种递推公式得第三项）；
⑤l；
⑥l．
效果如图1所示，可以发现数列｛an｝以3为周期呈周期性变化，这样可知a2011=a1=2．
RUN?MAT运算矩阵模式只能进行简单递推运算，复杂些的递推运算则需在RECUR数列递归模式下进行操作．
方案二：RECUR模式下实现递推
进入RECUR数列递归模式后，主菜单如图2所示，其中功能键TYPE表示递推的类型选择，SET表示递推数列的开始项和结束项的设置，TABLE则是将递推数列按项数n和生成表格；按w键进入“Select Type”菜单（如图3），可以发现fx-9750GⅡ有非递推数列（即通项公式）、两项递推和多项递推数列三种类型（本例选择w）；主菜单中按y键进入递推数列初终值设置界面，按图4所示进行设置． 具体的操作步骤如下：
①6（选择进入RECUR数列递归模式）；
②ew（选择递推公式样式为两项递推）；
③j5w-13kMj3w-7kl（输入递推公式）；
④y2008l2012lw2l（设置数列的首项和表格显示项）；
⑤du（生成表格）．
效果如图5，可以发现a2011=2．
利用图形计算器的表格功能为递推数列提供了很好的表征形式，学生在亲身操作中可以直观地感受递推思想． 而面对“玉兔子孙世代传，棋盘麦塔上摩天． 坛坛罐罐求堆垛，步步为营算连环”这样的递推问题可以让学生直观感受．
2. 图象直观中感受叠加
对于学生而言，数列的前n项和是另一理解难点，因为其中体现叠加思想不太容易被理解和接受，需要借助图形计算器提供直观感知的载体，下文以问题“数列｛an｝中，an=-3n+25，Sn为数列｛an｝的前n项和，求Sn的最大值”为例．
方案一：利用“∑ Display”选项实现求和
操作步骤如下：
①按Lp键进行系统设置，在弹出窗口中按NB键找到“∑ Display”选项，按q键打开选项（如图6）．
②主菜单中选择递推类型为q，输入数列的通项公式后按u进入TABLE窗口（如图7），可以发现表格中多了∑a一栏．
③按u后再按u作出数列的图象（如图8），可以按Lq实现指针跟踪显示，如果要出现相应数值，则还需要进行系统设置，其方式是按Lp键进行系统设置，在弹出窗口中按NB键找到“Coord”选项，按q开启指针位置处的坐标显示．
上述操作过程固然可以帮助学生正确理解Sn的最大值及取最大值时n的相应值，但数列的项an与和Sn的对应关系却很难呈现．
方案二：图象比较中认识求和
操作步骤如下：
①输入图9所示两数列的通项公式，其中bn=－n2+n（实为数列｛an｝的前n项和）；
②按u选择TABLE功能得到图10所示的表格，通过表格可以对比发现bn最大当且仅当an为最小的正数时；
③按u选择G-PLT功能得到图11所示两数列的图象，按Lq实现指针跟踪显示，按NB键可以即时显示an，bn中对应点．
我们也可输入图12所示的递推公式来替代步骤①中的操作，其中an+1=an-3，bn+1=bn+an-3，相应数列的初值设为a0=25，b0=0，可以一样得出图11所得的结论．
3. 数形结合中研究性质
数列是函数的离散化，因此需要与函数类比，研究数列的单调性、最大值与最小值、周期性等，但需高度重视其中可能产生的负迁移，因数列的特殊离散性，需要创设情境让学生有足够的体验和活动． 如对于问题“探讨数列an=3n+1×n的单调性，并结合单调性求｛an｝中的最大项”，我们固然可以做相应的代数推演an+1－an=3n+4×n+1－3n+1×n=n×=n×，从而得出结论：n≤5时｛an｝递增，n≥5时｛an｝递减． 但对于为什么用后一项减前一项来说明数列的单调性，结论为什么就说明a5为最大项却不甚明晰；如果让他们有机会看到图13所示的数列图象，相信必然会“不著一字，尽得风流”．
又对于“在平面直角坐标系中，直线y=-2x+5上有一系列点：P0（1，3），P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…，已知数列是首项为，公差为1的等差数列，是否存在一个半径最小的圆C，使得对一切n∈N*，点Pn（xn，yn）均在此圆的内部（包括圆周）？若存在，求出此圆的方程；若不存在，请说明理由”这样的复杂问题，不难得出xn=1+，yn=3－，但问题在于点Pn（xn，yn）的分布规律学生难以想象从而很难把握解题方向，最终只能望题兴叹，但如果借助fx-9750GⅡ提供的绘制相图功能，自然可以“轻舟已过万重山”． 具体操作步骤如下：
①输入两数列通项公式，并生成表格；
②按e键选择PHAS功能得到图14所示Pn（xn，yn）的散点图，可以发现当n→∞时，Pn（xn，yn）从P1（x1，y1）向P0（1，3）聚合，也就是说存在一以P0P1为直径的圆将所有点Pn（xn，yn）均包含在内． fx-9750GⅡ还可以绘制WEB图形验证数列的收敛或发散．
图形计算器在数列教学中的应用启示
1. 图形计算器于数列有多元表征优势
如前所述，图形计算器能为学生提供“多元联系表征”的学习环境，帮助学生直观感受递推和叠加思想，在符号语言与表格、图象（如图13、14）间形成一有效的理解通道，从而对我们真实理解数学产生着重要影响． 事实上从数学学习心理的角度看，不同的数学思维形式、它们之间的转换及表达方式是数学学习的核心，用多种表达形式表示数学对象，从而透过现象把握数学本质，已然成为数学课程改革中需要关注的重点话题，因此发挥图形计算器的功能，应是数列教学改革的一个重要方向，因为“抽象的道理很重要，但要用一切办法使它们能看得见、摸得着”．
2． 图形计算器为学生“做数学”提供有效载体
与其他教学软件相区别的是，图形计算器与数学整合可以不囿于教师演示的局限，能真正交到学生手中． 事实上通过以上案例我们可以发现，无论什么数列我们只要输入相应的递推公式或通项公式，便可以在手持技术的支持下，自主地在“问题空间”里进行探索和做“数学实验”，在此过程中学生以研究者的身份进行学习，由“听数学”转为“做数学”，由过去被动接受转为主动参与，由以前做书本中的习题变为自己设计问题，由被动地学习变为主动地发现探索式学习． 笔者认为，发挥图形计算器的价值和作用，可以让数学的学习与研究在技术的支撑下插上想象的翅膀，因为图形计算器无疑是真正能交到学生手中、易于学生进行数学“再创造”的信息技术工具，因为教育技术只有交到学生手中才能发挥它的最大作用．
3. 图形计算器走近学生需要教师挖掘课题资源
将图形计算器交到学生手中，使他们有机会真实感受“数学是自然的，数学是清楚的，数学是水到渠成的”，固然需要我们研究技术本身，挖掘技术潜力，需要重视图形技术器与其他技术的优势比较，适时、适度地选用适当类型的信息技术，使学生“看他们以往只能‘想象’的数学，‘做’他们以往不能做的数学”；更为重要的是需要教师下力气提炼教学内容，化学术形态为教育形态，创设利于学生“再创造”的实验情境，正如弗莱登塔尔所认为的那样，“数学教育是一个活动过程，在整个活动过程中学生应该处于一个积极、创造的状态． 学生首先要参与这个活动，感觉到创造的需要，他才有可能进行再创造，而教师的任务就是为学生的发展、创造提供自由广阔的天地，就在于引导学生探索获得知识、技能的途径和方法，培养学生的创造力”．