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摘要:本文从教学中遇到的几个易使学生困惑的问题入手,进而找寻出使问题得以顺畅解决的方法进行了一些探讨.问题都是从正面难于解决的,那么能不能从它的对立面入手,探究解决问题的途径呢?利用矛盾双方既对立又统一原则分析问题,运用矛盾双方互相转化的关系,正确认识和处理数学中的转化等等的思维方式,解决一些数学问题,从而培养和提高学生的辩证思维能力和抽象思维能力,即探究对立原则在数学教学中的应用.
关键词:对立;转化;应用
中图分类号:G633.6 文献标志码:A 文章编号:1674-9324(2014)07-0239-02
数学学习堪称是“思维的体操”.在教学中,怎样激发学生求异思维、展开学生的想象思维的翅膀,最大限度地吸引学生进入积极思维的学习状态,打开学生的数学思维的大门,是当前二期课改的重要课题之一.在数学教学中,经常遇到学生讲:“没思路、想不到……”教师怎么去帮助学生解决这些学习上的问题呢?教师一定要千方百计地为学生创设促进思维的情境,构建一个互动的平台,使数学教育真正面向全体学生,充分发挥数学在提高学生的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面的独特作用.叩开学生的数学思维的心扉,学生思维能力才能不断发展,素质才能不断提高.解题的过程,实际就是转化的过程,每个命题都有多个不同的转化方向和路线.因此怎样探索和如何选择最佳的转化方向和线路就成了解题的关键.矛盾的双方是对立的也是统一的.如果矛盾着的双方各向其对立的转化,就是本文要探讨的对立原则,它是解题的一个指导原则,也是培养和发展思维能力的重要课题,以下就从几个方面加以解析.
一、“未知”与“已知”的相互转化
在解题时,面对陌生的数学题目,我们要设法找出已经熟悉的东西,要尽可能地与自己已有知识、方法和经验挂上钩,想办法把不熟悉转化为熟悉的.“已知”与“未知”这一对矛盾的双方加以转化,没有较强的辩证思维能力,就难以实现这种转化.同时引导学生注意到知识的迁移,通过这样的悉心引导,使学生能积极主动地参与知识的发生过程,例如:
解方程x3 (1 ■)x2-2=0
这是关于x的一元三次方程,不便求解,如能转化为熟悉的一次方程或二次方程才便于求解,为此我们把x看作已知数而把■看作未知数,将原方程转化为关于■的二次方程(■)2-x2■-(x3 x2)=0,解得■=-x或 ■=x2 x,这两个方程我们都很熟悉,都是解过的,这就实现了转化.教学时,要认真研究所要解决的问题与学生已有的认知结构,两者之间有什么样的联系,然后探索转化的方法,同时引导学生注意到知识的迁移,通过这样的悉心引导,反复地在数学思想方面接受熏陶,从而逐步形成自觉运用数学思想的意识.
二、“动”与“静”相互转化
“动”与“静”是一对矛盾,“动”是绝对的,“静”是相对,利用好“动”与“静”相互转化来解决问题会得到意想不到的结果.
边长为a的正三角形顶点A在x正半轴上(含原点)移动,且顶点B在60°角的终边(含原点)上移动.求顶点C到原点O距离的最大值与最小值.把运动的△ABC看作“静止”的,静止的坐标看作“运动”的,那么点O的轨迹是以AB为弦与点C在AB异侧含60°圆周角所得弓形弧,当点O与A(或B)重合时,|OC|取最小值a,当点O与CO’延长直线上时,|OC|取最大值,|CD| |DO’| |SO’|=■a ■a ■a=■a.
三、“变”与“不变”的相互转化
没有一成不变的事物,任何事物都处于相互联系和发展变化之中,数学问题也是这样,“变”与“不变”是相对的,也是相互转化的.
四、“一般”与“特殊”的相互轉化
欲解特殊性问题,不妨先去考虑它的一般性,待发现它的“一般”规律之后,再回到“特殊”性之中,问题就可迎刃而解.对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题,可先用特殊情形探求解题思路或命题结论,再在一般情况下给出证明,这不失为一种解题的明智之举.
数列{an}满足a1=1且8an 1an-16an 1 2an 5=0(n≥1)
记bn=■(n≥1)
(Ⅰ)求b1、b2、b3、b4的值;
(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn.
分析:(Ⅰ)a1=1,故b1=■=2;a2=■,故b2=■=■;a3=■,故b3=■=4;a4=■,故b4=■
五、“平面”与“立体”的转化
立体几何中所蕴含的数学思想方法非常丰富,其中最重要的就是转化的思想方法,它贯穿立体几何教学的始终,在立体几何教学中占有很重要的地位.立体几何中的转化主要是空间问题向平面问题的转化,转化的目的是为了发现问题、分析问题和解决问题.如下问题6就是把某一立体的问题转化为平面的问题,从而使问题得到解决,就是一个较为典型的数学转化实例.四面体各顶点的三个面角之和都是1800,则三组相对的棱分别相等.在立体几何里,很难找到多面体的面角与棱的因果关系,解这道题如果是循常规走老路,很难打开思路,要另辟蹊径,以巧取胜.如把四面体沿其棱剪开,展成平面图形,即可把问题转化为平面几何问题来处理.
统一离不开对立,一方的性质依赖于另一方来规定,这就是平常说的“相比较而存在”.其次,对立离不开统一,什么样的东西才互相排斥呢?必须是具有某种共同的基础、相互依存的东西,才同时呈现出排斥的倾向.如果不是相互依存的东西,那就意味着“彻底分离”、“毫不相干”,还谈什么排斥呢?因此,有了这种转化使问题由难变易,由繁变简.数学中的转化方法不胜枚举,常见的其他转化方法还有“分与合”、“进与退”的转化等等,只要我们在教学中正确地利用好“对立原则”这一指导思想去解题,对于培养学生的科学精神、创新意识和实践能力起着很重要的作用.
关键词:对立;转化;应用
中图分类号:G633.6 文献标志码:A 文章编号:1674-9324(2014)07-0239-02
数学学习堪称是“思维的体操”.在教学中,怎样激发学生求异思维、展开学生的想象思维的翅膀,最大限度地吸引学生进入积极思维的学习状态,打开学生的数学思维的大门,是当前二期课改的重要课题之一.在数学教学中,经常遇到学生讲:“没思路、想不到……”教师怎么去帮助学生解决这些学习上的问题呢?教师一定要千方百计地为学生创设促进思维的情境,构建一个互动的平台,使数学教育真正面向全体学生,充分发挥数学在提高学生的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面的独特作用.叩开学生的数学思维的心扉,学生思维能力才能不断发展,素质才能不断提高.解题的过程,实际就是转化的过程,每个命题都有多个不同的转化方向和路线.因此怎样探索和如何选择最佳的转化方向和线路就成了解题的关键.矛盾的双方是对立的也是统一的.如果矛盾着的双方各向其对立的转化,就是本文要探讨的对立原则,它是解题的一个指导原则,也是培养和发展思维能力的重要课题,以下就从几个方面加以解析.
一、“未知”与“已知”的相互转化
在解题时,面对陌生的数学题目,我们要设法找出已经熟悉的东西,要尽可能地与自己已有知识、方法和经验挂上钩,想办法把不熟悉转化为熟悉的.“已知”与“未知”这一对矛盾的双方加以转化,没有较强的辩证思维能力,就难以实现这种转化.同时引导学生注意到知识的迁移,通过这样的悉心引导,使学生能积极主动地参与知识的发生过程,例如:
解方程x3 (1 ■)x2-2=0
这是关于x的一元三次方程,不便求解,如能转化为熟悉的一次方程或二次方程才便于求解,为此我们把x看作已知数而把■看作未知数,将原方程转化为关于■的二次方程(■)2-x2■-(x3 x2)=0,解得■=-x或 ■=x2 x,这两个方程我们都很熟悉,都是解过的,这就实现了转化.教学时,要认真研究所要解决的问题与学生已有的认知结构,两者之间有什么样的联系,然后探索转化的方法,同时引导学生注意到知识的迁移,通过这样的悉心引导,反复地在数学思想方面接受熏陶,从而逐步形成自觉运用数学思想的意识.
二、“动”与“静”相互转化
“动”与“静”是一对矛盾,“动”是绝对的,“静”是相对,利用好“动”与“静”相互转化来解决问题会得到意想不到的结果.
边长为a的正三角形顶点A在x正半轴上(含原点)移动,且顶点B在60°角的终边(含原点)上移动.求顶点C到原点O距离的最大值与最小值.把运动的△ABC看作“静止”的,静止的坐标看作“运动”的,那么点O的轨迹是以AB为弦与点C在AB异侧含60°圆周角所得弓形弧,当点O与A(或B)重合时,|OC|取最小值a,当点O与CO’延长直线上时,|OC|取最大值,|CD| |DO’| |SO’|=■a ■a ■a=■a.
三、“变”与“不变”的相互转化
没有一成不变的事物,任何事物都处于相互联系和发展变化之中,数学问题也是这样,“变”与“不变”是相对的,也是相互转化的.
四、“一般”与“特殊”的相互轉化
欲解特殊性问题,不妨先去考虑它的一般性,待发现它的“一般”规律之后,再回到“特殊”性之中,问题就可迎刃而解.对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题,可先用特殊情形探求解题思路或命题结论,再在一般情况下给出证明,这不失为一种解题的明智之举.
数列{an}满足a1=1且8an 1an-16an 1 2an 5=0(n≥1)
记bn=■(n≥1)
(Ⅰ)求b1、b2、b3、b4的值;
(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn.
分析:(Ⅰ)a1=1,故b1=■=2;a2=■,故b2=■=■;a3=■,故b3=■=4;a4=■,故b4=■
五、“平面”与“立体”的转化
立体几何中所蕴含的数学思想方法非常丰富,其中最重要的就是转化的思想方法,它贯穿立体几何教学的始终,在立体几何教学中占有很重要的地位.立体几何中的转化主要是空间问题向平面问题的转化,转化的目的是为了发现问题、分析问题和解决问题.如下问题6就是把某一立体的问题转化为平面的问题,从而使问题得到解决,就是一个较为典型的数学转化实例.四面体各顶点的三个面角之和都是1800,则三组相对的棱分别相等.在立体几何里,很难找到多面体的面角与棱的因果关系,解这道题如果是循常规走老路,很难打开思路,要另辟蹊径,以巧取胜.如把四面体沿其棱剪开,展成平面图形,即可把问题转化为平面几何问题来处理.
统一离不开对立,一方的性质依赖于另一方来规定,这就是平常说的“相比较而存在”.其次,对立离不开统一,什么样的东西才互相排斥呢?必须是具有某种共同的基础、相互依存的东西,才同时呈现出排斥的倾向.如果不是相互依存的东西,那就意味着“彻底分离”、“毫不相干”,还谈什么排斥呢?因此,有了这种转化使问题由难变易,由繁变简.数学中的转化方法不胜枚举,常见的其他转化方法还有“分与合”、“进与退”的转化等等,只要我们在教学中正确地利用好“对立原则”这一指导思想去解题,对于培养学生的科学精神、创新意识和实践能力起着很重要的作用.