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摘 要：数学普遍被认为是一门枯燥且难以学懂的学科，多数学生对数学学习的兴趣也不是太高。根据组合数学教学中的实践谈一下这门课在提高学生学习数学兴趣上的一些作用。
关键词：组合数学；学习兴趣；教材
从小学的算术到大学的高等数学，数学是我们各学习阶段的一个基础课程。大学以前的数学教育多数在于应付各种考试，学习的内容及讲授方法比较古板，使学生逐渐失去了对数学的兴趣。在高等教育阶段，我们有更多的精力、更多的能力去接触数学的各个方面，应该了解数学的多样性，增加学生对学习的兴趣。在此，我们谈一下本科阶段数学专业的组合数学课。
一、开设组合数学课程的必要性
组合数学是离散数学的一个重要分支，一直是计算机及相关专业的一门必修课程。在本科阶段，针对数学相关专业开设这门课的学校比较少。从全国来看，即使开设了这门课的学校，也都各自采用不同的教材，各自制订相应的教学大纲，总体呈无序化。
由于数学学科的特点，数学系本科生的课程设置一直比较稳定，虽然历经多次改革，但变动甚微。老师对课程的设置及教学的认识都形成了固定的模式，较难改变。学生在本科阶段学习的大多数课程是基于连续系统的，对于离散系统的介绍则少之又少。本科新生从入校开始就函数的极限、连续、可导、可微开始，都是研究连续系统。这些内容的学习需要逻辑严谨，运用的定理和公式较多，计算量也较大，而且晦涩难懂。对于初入大学的学生来说，学习起来枯燥无味，甚至影响到学习的情绪，对数学失去耐心和信心。从另外一方面讲，这些基础课程是高等数学教育的基石，又是不可或缺的。因此，如何引导学生正确地认识数学，如何让学生保持对数学的兴趣就至关重要。组合数学作为离散系统的重要分支，具有自身独特的特点，可以让学生认识到一个完全不同的数学世界。
二、组合数学简介
由于组合数学和计算机技术的独特关系，随着计算机的快速发展，组合数学发展迅速。我国信息产业发展则相对滞后，在我国，组合数学的发展相对缓慢。但是组合数学的起源可以追溯到我国的河图洛书，历史悠久。此后，欧拉解决了著名的七桥问题则开启了组合数学的一个分支——图论的发展。近代，美国伊利诺伊大学的数学家在20世纪70年代借助于计算机的帮助证明了著名的四色定理①。
其实，在高中时代我们已经接触到了一部分组合数学的内容，即排列与组合。作为一个学生，当时学习这些内容时，就感觉其与其他部分的内容有很不一样的感觉，有趣而又有点“难”。排列组合是组合数学课内不可或缺的一块，在现行的普通教材中都要占一到二个章节，这也是后续内容的基础。就其基本内容来说，主要有排列组合、鸽巢原理、生成函数、图论、组合设计等内容。
三、如何提高学生学习的兴趣，及教学中的一些尝试
纵观组合数学的发展，它都与游戏不可分割，本身就具有趣味性，较容易引起学生的兴趣。
河南大学数学学院在2011年秋季开始开设组合数学课程，安排在本科三年级的第一个学期。作为此课的第一个主讲教师，心里有些忐忑。这门课可以把自己的主要研究内容和基础教学紧密地结合起来，也很有兴趣和新鲜感。在教材的选用环节，我们坚决采用由美国布鲁迪教授编写的英文教材Introductory Combinatorics 的中文版。此教材历经多次修改，当时已经出版到第5版（当时国内只有第4版的翻译版），在北非被普遍采用为教材，非常受欢迎。从材料的选取、章节安排的顺序到习题的选配都较为合理，在我们一个学期的使用中，效果也很好，稍有不足的是翻译的质量稍微差一点点。
在讲授的环节，从学习背景的介绍到抽象为数学理论都注重“故事性”。本身有很多内容都是从现实中来，它具有其真实的现实背景，这些材料本身就很有趣味。如，36军官问题：“有一次，普鲁士腓特烈大王决定举行一次盛大的阅兵典礼，打算从6支部队里面，各选出6名不同军衔（例如上校、中校、少校；上尉、中尉、少尉）的军官各一人，合计36人，排成一个每边正好6人的方阵，要求每行每列都必须有各个部队和各种军衔的代表，既不准重复，也不能遗漏。这件事情看来很好办，不料命令传达下去之后，却根本无法执行。阅兵司令接二连三地吹哨子，喊口令，排来排去，始终不符合国王的要求，他急得像只热锅上的蚂蚁。执事官员和国王的侍从们一见事情不妙，只好临时找个借口，支吾過去。但这已使腓特烈大王在众多外国贵宾面前窘态毕露，出足洋相。事后，腓特烈大王对这件事情始终耿耿于怀，认为阅兵司令竟连这点小事也办不好，真是个草包。他就自己动手试试，在纸上编排一下，可是试来试去，竟无法成功。于是他去向许多有学问的人请教，可是他们也都束手无策。最后，他不得不去请教当时欧洲第一流的大数学家欧拉，希望能找出一个解决方案。那时欧拉已经很老了，在此之前，不知有多少个令人望而生畏的数学难题在他手里迎刃而解。但是这样一个小孩子也明白其意义的，看上去非常简单的‘36军官问题’，竟然也把他难住了。经过长期苦心研究，他终于认为国王的要求是无法满足的，也就是说，那样的6阶方阵是排不出来的”。
这个有趣的“36军官问题”引申出来的数学问题就是正交拉丁方，而更有趣的是根据现在已知的数学理论，只有6阶的正交拉丁方是不存在的。这个腓特烈大王的运气确实差了一点，给属下恰好就安排了一个不可能完成的任务。如果他选择从任何不等于6的k个部队里挑出k个不同的军衔排成他需要的方阵都是可解的。在我们讲授时尽可能用通俗的语言把这个故事讲给学生，学生可能最后会哄堂大笑，但就是因此学生会有兴趣去听这个课，会愿意去学习由此引申出来的数学理论。这样的故事也有利于学生理解数学理论。
教学实践中，我注意和学生的沟通，期末让学生写出对这门课的想法和感受及任何想对老师说的话。经统计，几乎所有学生都认真地完成了作业。甚至一部分学生用四五页的纸写了他们的感悟。从这些反馈来看，学生的第一感觉是惊喜，他们很多人没有想到数学不只是枯燥的，还有这么有趣的东西，数学还有它活泼的一面，如果早认识到这些就好了。第二个感受是轻松。不少学生认为这门课是他们学过的课程里最简单的一门课，在轻松活泼中学到了相关的知识。第三个感受是学生和老师的距离拉近了，学生更多的想和老师交流他们的想法，和老师探讨学习中的一些问题。
四、进一步的思考
这门课在提高学生学习兴趣方面确有很大的积极作用，这不仅仅由于这门课本身的特点，更多的是让学生从思想上改变对数学的看法，让他们愿意学习数学。基于这门课的作用及它本身需要的基础知识较少，建议把这门课安排在本科学习的最初阶段，甚至是大学一年级。
在讲授的过程中，要重视它的科普性。数学不都是高深难懂的理论，它也有通俗的一面，可以为广大普通群众接受的一面。目前，数学文化、数学知识的普及工作比较缺乏。普通大众，哪怕是受过高等教育的学生提到数学都认为非常难，无法理解高深的理论。我们可以利用这门课的特点，作一些科普工作，甚至尝试在学校开设面向全校的选修课。
参考文献：
布鲁迪（Richard A.Brualdi）.组合数学（原书5版）[M].冯速，译.机械工业出版社，2012-05.
Effect of the Combination of Mathematics Inimproving the Students’ Interest in Learning
Wang Tao
Abstract：Mathematics is generally considered a boring and difficult to understand the subject，The majority of students interest in learning of mathematics is not too high.According to the practice of combined in mathematics teaching about the course in improving students’ learning some mathematics of interest.
Key words：combinatorial mathematics；learning interest；teaching materials
编辑 薄跃华
关键词：组合数学；学习兴趣；教材
从小学的算术到大学的高等数学，数学是我们各学习阶段的一个基础课程。大学以前的数学教育多数在于应付各种考试，学习的内容及讲授方法比较古板，使学生逐渐失去了对数学的兴趣。在高等教育阶段，我们有更多的精力、更多的能力去接触数学的各个方面，应该了解数学的多样性，增加学生对学习的兴趣。在此，我们谈一下本科阶段数学专业的组合数学课。
一、开设组合数学课程的必要性
组合数学是离散数学的一个重要分支，一直是计算机及相关专业的一门必修课程。在本科阶段，针对数学相关专业开设这门课的学校比较少。从全国来看，即使开设了这门课的学校，也都各自采用不同的教材，各自制订相应的教学大纲，总体呈无序化。
由于数学学科的特点，数学系本科生的课程设置一直比较稳定，虽然历经多次改革，但变动甚微。老师对课程的设置及教学的认识都形成了固定的模式，较难改变。学生在本科阶段学习的大多数课程是基于连续系统的，对于离散系统的介绍则少之又少。本科新生从入校开始就函数的极限、连续、可导、可微开始，都是研究连续系统。这些内容的学习需要逻辑严谨，运用的定理和公式较多，计算量也较大，而且晦涩难懂。对于初入大学的学生来说，学习起来枯燥无味，甚至影响到学习的情绪，对数学失去耐心和信心。从另外一方面讲，这些基础课程是高等数学教育的基石，又是不可或缺的。因此，如何引导学生正确地认识数学，如何让学生保持对数学的兴趣就至关重要。组合数学作为离散系统的重要分支，具有自身独特的特点，可以让学生认识到一个完全不同的数学世界。
二、组合数学简介
由于组合数学和计算机技术的独特关系，随着计算机的快速发展，组合数学发展迅速。我国信息产业发展则相对滞后，在我国，组合数学的发展相对缓慢。但是组合数学的起源可以追溯到我国的河图洛书，历史悠久。此后，欧拉解决了著名的七桥问题则开启了组合数学的一个分支——图论的发展。近代，美国伊利诺伊大学的数学家在20世纪70年代借助于计算机的帮助证明了著名的四色定理①。
其实，在高中时代我们已经接触到了一部分组合数学的内容，即排列与组合。作为一个学生，当时学习这些内容时，就感觉其与其他部分的内容有很不一样的感觉，有趣而又有点“难”。排列组合是组合数学课内不可或缺的一块，在现行的普通教材中都要占一到二个章节，这也是后续内容的基础。就其基本内容来说，主要有排列组合、鸽巢原理、生成函数、图论、组合设计等内容。
三、如何提高学生学习的兴趣，及教学中的一些尝试
纵观组合数学的发展，它都与游戏不可分割，本身就具有趣味性，较容易引起学生的兴趣。
河南大学数学学院在2011年秋季开始开设组合数学课程，安排在本科三年级的第一个学期。作为此课的第一个主讲教师，心里有些忐忑。这门课可以把自己的主要研究内容和基础教学紧密地结合起来，也很有兴趣和新鲜感。在教材的选用环节，我们坚决采用由美国布鲁迪教授编写的英文教材Introductory Combinatorics 的中文版。此教材历经多次修改，当时已经出版到第5版（当时国内只有第4版的翻译版），在北非被普遍采用为教材，非常受欢迎。从材料的选取、章节安排的顺序到习题的选配都较为合理，在我们一个学期的使用中，效果也很好，稍有不足的是翻译的质量稍微差一点点。
在讲授的环节，从学习背景的介绍到抽象为数学理论都注重“故事性”。本身有很多内容都是从现实中来，它具有其真实的现实背景，这些材料本身就很有趣味。如，36军官问题：“有一次，普鲁士腓特烈大王决定举行一次盛大的阅兵典礼，打算从6支部队里面，各选出6名不同军衔（例如上校、中校、少校；上尉、中尉、少尉）的军官各一人，合计36人，排成一个每边正好6人的方阵，要求每行每列都必须有各个部队和各种军衔的代表，既不准重复，也不能遗漏。这件事情看来很好办，不料命令传达下去之后，却根本无法执行。阅兵司令接二连三地吹哨子，喊口令，排来排去，始终不符合国王的要求，他急得像只热锅上的蚂蚁。执事官员和国王的侍从们一见事情不妙，只好临时找个借口，支吾過去。但这已使腓特烈大王在众多外国贵宾面前窘态毕露，出足洋相。事后，腓特烈大王对这件事情始终耿耿于怀，认为阅兵司令竟连这点小事也办不好，真是个草包。他就自己动手试试，在纸上编排一下，可是试来试去，竟无法成功。于是他去向许多有学问的人请教，可是他们也都束手无策。最后，他不得不去请教当时欧洲第一流的大数学家欧拉，希望能找出一个解决方案。那时欧拉已经很老了，在此之前，不知有多少个令人望而生畏的数学难题在他手里迎刃而解。但是这样一个小孩子也明白其意义的，看上去非常简单的‘36军官问题’，竟然也把他难住了。经过长期苦心研究，他终于认为国王的要求是无法满足的，也就是说，那样的6阶方阵是排不出来的”。
这个有趣的“36军官问题”引申出来的数学问题就是正交拉丁方，而更有趣的是根据现在已知的数学理论，只有6阶的正交拉丁方是不存在的。这个腓特烈大王的运气确实差了一点，给属下恰好就安排了一个不可能完成的任务。如果他选择从任何不等于6的k个部队里挑出k个不同的军衔排成他需要的方阵都是可解的。在我们讲授时尽可能用通俗的语言把这个故事讲给学生，学生可能最后会哄堂大笑，但就是因此学生会有兴趣去听这个课，会愿意去学习由此引申出来的数学理论。这样的故事也有利于学生理解数学理论。
教学实践中，我注意和学生的沟通，期末让学生写出对这门课的想法和感受及任何想对老师说的话。经统计，几乎所有学生都认真地完成了作业。甚至一部分学生用四五页的纸写了他们的感悟。从这些反馈来看，学生的第一感觉是惊喜，他们很多人没有想到数学不只是枯燥的，还有这么有趣的东西，数学还有它活泼的一面，如果早认识到这些就好了。第二个感受是轻松。不少学生认为这门课是他们学过的课程里最简单的一门课，在轻松活泼中学到了相关的知识。第三个感受是学生和老师的距离拉近了，学生更多的想和老师交流他们的想法，和老师探讨学习中的一些问题。
四、进一步的思考
这门课在提高学生学习兴趣方面确有很大的积极作用，这不仅仅由于这门课本身的特点，更多的是让学生从思想上改变对数学的看法，让他们愿意学习数学。基于这门课的作用及它本身需要的基础知识较少，建议把这门课安排在本科学习的最初阶段，甚至是大学一年级。
在讲授的过程中，要重视它的科普性。数学不都是高深难懂的理论，它也有通俗的一面，可以为广大普通群众接受的一面。目前，数学文化、数学知识的普及工作比较缺乏。普通大众，哪怕是受过高等教育的学生提到数学都认为非常难，无法理解高深的理论。我们可以利用这门课的特点，作一些科普工作，甚至尝试在学校开设面向全校的选修课。
参考文献：
布鲁迪（Richard A.Brualdi）.组合数学（原书5版）[M].冯速，译.机械工业出版社，2012-05.
Effect of the Combination of Mathematics Inimproving the Students’ Interest in Learning
Wang Tao
Abstract：Mathematics is generally considered a boring and difficult to understand the subject，The majority of students interest in learning of mathematics is not too high.According to the practice of combined in mathematics teaching about the course in improving students’ learning some mathematics of interest.
Key words：combinatorial mathematics；learning interest；teaching materials
编辑 薄跃华