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摘 要：在高三数学复习中，含参问题主要是函数、数列、不等式、参数方程等知识中含有参数的一类问题，也是高考考查的重点。很多高三学生在解决含参问题时，会出现不同程度的错误，这会对学生数学复习质量提升带来一定效果。对此，本文主要剖析了高三学生解决数学含参问题常见的错误，并在此基础上提出了强化数学含参问题教学策略。
关键词：高中数学;含参问题;教学
引言：高中数学含参问题涉及的知识点比较多，其解法比较多样，具有较强的综合性，是高中数学学习中十分重要的部分，也是高考中的常考点[1]。很多高三学生在遇到含参问题后，会出现不同程度的错误，并且出错的原因也各有不同，如对知识理解程度不到、解题思维问题、教师教学因素等。所以在实际中，进一步提高对数学含参问题的教学研究显得十分重要[2]。
一、高三学生解决含参问题常见错误分析
为了更好地梳理高三学生在解决含参问题时的错误情况，下面结合不同的类型进行分析。
（一）集合中的含参问题
已知集合，，试求实数a的取值范围是多少？
A.a≥2 B.a≤1 C.a<1 D.a>2
对于这道题目，其主要考察的是集合运算及数轴表示的相关知识。在这个题目中，很多学生会选择错误答案D。主要是学生虽然掌握了集合运算，但是在数轴上画出集合A、集合CRB表示的不等式以后，针对a是否可以取得临界值会出现问题，学生对能否取临界值的处理方法缺乏良好认知，这种错误属于策略性错误[3]。
（二）不等式中的含参问题
求解x的不等式。
典型错解：时，可以求得，从而得出;时，求得，得出或。这种错误主要是由于学生疏忽大意造成，对学生的解题过程进行分析，可以看出学生已经掌握了不等式的解法，也可以灵活的应用对数函数单调性除不等式两边对数符号，整个解题过程思路比较清晰。但是学生在解题过程中，没有考虑到该不等式作为对数不等式，整数部分为正，也就是说学生没有考虑到不等式成立的条件，导致解题范围变大。这种错误在学生解决不等式含参问题上是很常见的[4]。
（三）参数方程问题
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是，其中t为参数，已知抛物线y2=4x与直线l相交在A、B两点，试求线段AB的长度。
典型错解：，得x2-10x+9=0由于从而得出AB=10+2=12。出现这种错误的学生比较多，学生虽然在直线参数方程转变成普通方程时不会出错，但是在解决后半部分问题时，學生会直接将抛物线方程和直线方程联立，通过焦点弦公式进行求解，没有考虑到直线是否会经过抛物线的焦点。对学生这种现象进行深入剖析可以看出，学生大多是记住了公式结论，不了解其适用范围，在解题中会出现套用公式的情况，这属于典型的知识性错误问题。
二、高中数学含参问题教学策略
对高三学生来说，他们在解决含参问题时，多以知识性错误为主，如公式用错、概念理解错误，同时也会出现策略性错误、疏忽性错误、运算错误等情况。为了帮助学生可以更加高效率的掌握含参问题，减少这类问题的失分情况，教师就需要对教学模式进行优化调整。
（一）强化第一次教学有效性
对学生出错情况进行剖析，发现知识性错误是最为严重的，很多学生会在解题中出现概念混淆、公式用错、定理用错等情况。对学生的这种现象进行剖析可以看出，这与教师在第一次教学时，忽视概念、定理生成讲解有一定关联[5]。含参问题虽然主要是在高三复习阶段进行讲解，但是学生出错的主要原因则是在高中一、二年级没有牢固掌握相关知识。很多时候高中数学教师在高一、二年级讲解知识时，为了赶进度，在课堂上讲解知识的速度比较快，如弦长问题、焦点弦问题等，教师大多是给出学生一个例题，让学生进行分析，然后记忆结论，这就会造成学生对公式、定理并没有深刻的认知，也没有了解到公式推导过程，在看到类似题目后会生硬的套用。
含参问题教学虽然集中在高三复习阶段，但是高三学生本身的复习压力很大，为了减少学生在解决含参问题时的错误现象，就需要教师在第一次教学时，提高有效性。学生在初学阶段，对知识理解不到位，单纯的凭借死记硬背结论，然后进行大量练习，很容易出现在高三复习阶段出现知识混乱现象[6]。所以教师要强化对第一次教学的重视度，为学生打下良好基础，从而提高含参问题解题准确性。
（二）注重思维方法培养
在学生解题过程中，只有掌握了相应的数学思维方法，才可以形成良好的知识脉络，更加系统的分析问题。高中数学教师要意识到，数学思想方法的培养和数学知识的传授是存在一定差别的，数学知识的内容相对比较集中，前后联系比较大，并且有各种针对性的训练，大部分学生都可以掌握。但是数学思想方法相对比较分散，教师必须在开展数学思想方法教学中进行系统的安排，并将数学思想方法培养贯穿于整个高中数学教学中。教师要意识到数学思想方法教学是无法在朝夕之间完成的，要随着学生数学思维水平的不断提升，逐步深化。在教学中需要结合教学目标，对学生的思维方法进行培育，促使学生可以在遇到含参问题后，能综合的把握知识点关联，找准解题思路，提升解题准确性[7]。
（三）提高学生解题信心
部分数学基础比较差的学生，在遇到含参数学问题时，缺乏良好的自信心，所以教师在教学中，不仅要引导学生掌握相应的数学知识点、数学解题方法、数学思维方法，还需要培养学生的数学解题自信心，使得学生可以敢于面对困难。高考不仅是考查学生对知识的掌握情况，同时也是对学生心理素质的考查，心理素质会对学生高考成绩带来很大影响。由于高中数学涉及的知识点比较多，运算量大、解题技巧灵活多变，教师在教学中，需要正确看待学生解题中的错误，并尊重学生的个体差异，引导学生可以逐步纠正错误，更加严谨的解决数学问题，促进学生数学解题自信心的提升。同时教师在日常教学中要鼓励学生尝试解决复杂性问题，并适当地对学生进行批评，促使学生可以正确的解题。 （四）合理应用错误资源
高中数学教师在引导学生解决含参问题时，应该灵活的应用学生的错题资源，深入分析学生在解题中的出错原因，并设定针对性的解决方案。如对于比较常见的低级性错误，如没有看清已知条件、计算错误等，教师不能简单地说“下次注意”，而是要培养学生认真细致审题、解题后回头检查的好习惯，通过好习惯来减少低级错误的出現[8]。在日常教学中，高中数学教师需要借助错误对学生学习效果进行诊断，学生在日常学习中，难免会出现一些错误，教师要将这些错误看作是重要的教学资源，分析学生出错的原因，判断学生对知识点的掌握状况，并指引学生长期积累错题，以此促进学生解题水平提升。
（五）培养学生自我纠错能力
学生是否具有良好的纠错能力，与学生自身的数学思维有极大关联，包括学生的数学批判思维、整体思维。学生在学习中，如果可以从解题错误中自己找出思维漏洞，并对其进行完善弥补，能在很大程度上提高学生的解题技巧。对高三数学教师来说，他们的教学任务比较重，而时间相对比较紧张，教师不仅要关注学生的错误状况，还要培养学生自我纠错能力，让学生可以对错误进行自我反思，这样会在很大程度上提高学生的学习效果。
（六）对学生开展个别化指导
对于高三学生，他们的学习方法、学习能力都是存在一定差异的，这也使得他们在解决含参问题时，出错的方式也有所不同。在同一个问题上，有的学生会出现典型性错误，也有的学生会出现一些比较特殊的错误。对于典型性错误，教师可以在课堂上集中讲解，单特殊性错误，可能只有几个，甚至是一两个学生存在这种错误，如果教师集中讲解难免会出现浪费时间的情况，对此教师可以对其进行个别化指导。事实上高三学生出现的特殊性错误大多是由于没有掌握好某个小知识点、某类题型解决方法、不理解特殊限定条件等，所以高中数学教师还应该针对学生的性格特点、对知识的掌握程度，对开展个别化指导教育。高三阶段的学生、教师时间都比较紧张，因此教师可以在课间，或者是自习课上，对学生进行单独指导，挖掘学生出错的原因，帮助学生深入理解相应的知识点，促使学生可以突破顽固性错误，以此强化学生的学习效果。
三、优化含参问题求解途径
（一）分离参数，借助函数量值求参数范围
已知函数，e是自然对数底数，a∈R，如果关于x的不等式在（-∞，2）上恒成立，求a的取值范围。
对于这个问题，可以通过分离参数的方式，将原来的含参数函数转变成求解函数最值问题，从而简化求解。
解：根据可以得出
得出，在任意的恒成立，即在任意的恒成立。由于x<2，得出。设在区间（-∞，2）上g（x）呈现单调递增，g（2）=0，得出a≥0，因此，a的取值范围是[0，+∞）。
（二）结合必要条件解题，减小参数范围
已知函数，若x∈[1，3]，A为f（x）的值域，，假设m、n分别是16、8，试求a的值。
在这个问题中，如果没有用到必要条件来求解参数a的值，在解题中需要开展分类讨论活动，对这三种情况下的函数单调性、最值进行讨论，接着求出不等式组。这种会使得整个过程十分复杂，学生也容易在运算过程中出错。
解：结合题意，可以得出，从而求得a=15。对该结果进行论证，a=15时，，f（x）是单调减函数，符合题意。
（三）变换主元，简化函数
假设不等式在时恒成立，试求x的取值范围。
在这个问题中，将a的范围进行限定，因此可以在解题时将主元变成a，把不等式对应的函数变成g（a），重新构建函数，简化求解。
解：设，时，函数的图像是一个线段，求，可以得出x>4或x<-1。
结束语
在高三学生总复习阶段，数学教师要进一步提高对含参数学问题的重视力度，帮助学生掌握含参数学问题的解决技巧，提高学生的数学解题能力，促使学生可以通过多样化的方式解决含参问题，提高学生数学复习效果，让学生可以更好地备战高考。
参考文献
[1]张晶.基于大数据的函数的含参问题教学策略[J]高考，2019（04）：153.
[2]韩卫明.含参零点问题突破策略的探究与思考[J]数学教学通讯，2020（03）：80-81.
[3]薛彦旭.一类含参导数问题的解决策略探究[J]数学学习与研究：教研版，2020（09）：149.
[4]高雄英.一类含参函数零点取点问题的策略研究[J]高中数学教与学，2019（06）：114.
[5]张礼勇.一类含参不等式恒成立问题的处理策略[J]中学数学教学参考，2015（5X）：47-51.
[6]周静、张立建.谈高三数学一轮复习的有效性——以“函数（含参）的零点”为例[J]数学教学研究，2016（04）：115-116.
[7]朱丽娟.避繁就简，优化含参问题的求解策略[J]中学数学教学参考：上旬，2016（4X）：48-49.
[8]曹磊.含参不等式恒成立问题的复习策略[J]数学学习与研究：教研版，2018（09）：137-138.
作者简介：尤越.出生年月：1980年9月，性别：女，民族：满，籍贯：辽宁开原，最高学历：大学本科，职称：中学一级，研究方向：数学教学，邮编：311251，单位：杭州市萧山区第二高级中学。
任教以来多次参加各种竞赛，曾获区教坛新秀，先进党员，撰写的论文获过杭州市专题二等奖以及区专题二等奖，区年会一等奖。
关键词：高中数学;含参问题;教学
引言：高中数学含参问题涉及的知识点比较多，其解法比较多样，具有较强的综合性，是高中数学学习中十分重要的部分，也是高考中的常考点[1]。很多高三学生在遇到含参问题后，会出现不同程度的错误，并且出错的原因也各有不同，如对知识理解程度不到、解题思维问题、教师教学因素等。所以在实际中，进一步提高对数学含参问题的教学研究显得十分重要[2]。
一、高三学生解决含参问题常见错误分析
为了更好地梳理高三学生在解决含参问题时的错误情况，下面结合不同的类型进行分析。
（一）集合中的含参问题
已知集合，，试求实数a的取值范围是多少？
A.a≥2 B.a≤1 C.a<1 D.a>2
对于这道题目，其主要考察的是集合运算及数轴表示的相关知识。在这个题目中，很多学生会选择错误答案D。主要是学生虽然掌握了集合运算，但是在数轴上画出集合A、集合CRB表示的不等式以后，针对a是否可以取得临界值会出现问题，学生对能否取临界值的处理方法缺乏良好认知，这种错误属于策略性错误[3]。
（二）不等式中的含参问题
求解x的不等式。
典型错解：时，可以求得，从而得出;时，求得，得出或。这种错误主要是由于学生疏忽大意造成，对学生的解题过程进行分析，可以看出学生已经掌握了不等式的解法，也可以灵活的应用对数函数单调性除不等式两边对数符号，整个解题过程思路比较清晰。但是学生在解题过程中，没有考虑到该不等式作为对数不等式，整数部分为正，也就是说学生没有考虑到不等式成立的条件，导致解题范围变大。这种错误在学生解决不等式含参问题上是很常见的[4]。
（三）参数方程问题
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是，其中t为参数，已知抛物线y2=4x与直线l相交在A、B两点，试求线段AB的长度。
典型错解：，得x2-10x+9=0由于从而得出AB=10+2=12。出现这种错误的学生比较多，学生虽然在直线参数方程转变成普通方程时不会出错，但是在解决后半部分问题时，學生会直接将抛物线方程和直线方程联立，通过焦点弦公式进行求解，没有考虑到直线是否会经过抛物线的焦点。对学生这种现象进行深入剖析可以看出，学生大多是记住了公式结论，不了解其适用范围，在解题中会出现套用公式的情况，这属于典型的知识性错误问题。
二、高中数学含参问题教学策略
对高三学生来说，他们在解决含参问题时，多以知识性错误为主，如公式用错、概念理解错误，同时也会出现策略性错误、疏忽性错误、运算错误等情况。为了帮助学生可以更加高效率的掌握含参问题，减少这类问题的失分情况，教师就需要对教学模式进行优化调整。
（一）强化第一次教学有效性
对学生出错情况进行剖析，发现知识性错误是最为严重的，很多学生会在解题中出现概念混淆、公式用错、定理用错等情况。对学生的这种现象进行剖析可以看出，这与教师在第一次教学时，忽视概念、定理生成讲解有一定关联[5]。含参问题虽然主要是在高三复习阶段进行讲解，但是学生出错的主要原因则是在高中一、二年级没有牢固掌握相关知识。很多时候高中数学教师在高一、二年级讲解知识时，为了赶进度，在课堂上讲解知识的速度比较快，如弦长问题、焦点弦问题等，教师大多是给出学生一个例题，让学生进行分析，然后记忆结论，这就会造成学生对公式、定理并没有深刻的认知，也没有了解到公式推导过程，在看到类似题目后会生硬的套用。
含参问题教学虽然集中在高三复习阶段，但是高三学生本身的复习压力很大，为了减少学生在解决含参问题时的错误现象，就需要教师在第一次教学时，提高有效性。学生在初学阶段，对知识理解不到位，单纯的凭借死记硬背结论，然后进行大量练习，很容易出现在高三复习阶段出现知识混乱现象[6]。所以教师要强化对第一次教学的重视度，为学生打下良好基础，从而提高含参问题解题准确性。
（二）注重思维方法培养
在学生解题过程中，只有掌握了相应的数学思维方法，才可以形成良好的知识脉络，更加系统的分析问题。高中数学教师要意识到，数学思想方法的培养和数学知识的传授是存在一定差别的，数学知识的内容相对比较集中，前后联系比较大，并且有各种针对性的训练，大部分学生都可以掌握。但是数学思想方法相对比较分散，教师必须在开展数学思想方法教学中进行系统的安排，并将数学思想方法培养贯穿于整个高中数学教学中。教师要意识到数学思想方法教学是无法在朝夕之间完成的，要随着学生数学思维水平的不断提升，逐步深化。在教学中需要结合教学目标，对学生的思维方法进行培育，促使学生可以在遇到含参问题后，能综合的把握知识点关联，找准解题思路，提升解题准确性[7]。
（三）提高学生解题信心
部分数学基础比较差的学生，在遇到含参数学问题时，缺乏良好的自信心，所以教师在教学中，不仅要引导学生掌握相应的数学知识点、数学解题方法、数学思维方法，还需要培养学生的数学解题自信心，使得学生可以敢于面对困难。高考不仅是考查学生对知识的掌握情况，同时也是对学生心理素质的考查，心理素质会对学生高考成绩带来很大影响。由于高中数学涉及的知识点比较多，运算量大、解题技巧灵活多变，教师在教学中，需要正确看待学生解题中的错误，并尊重学生的个体差异，引导学生可以逐步纠正错误，更加严谨的解决数学问题，促进学生数学解题自信心的提升。同时教师在日常教学中要鼓励学生尝试解决复杂性问题，并适当地对学生进行批评，促使学生可以正确的解题。 （四）合理应用错误资源
高中数学教师在引导学生解决含参问题时，应该灵活的应用学生的错题资源，深入分析学生在解题中的出错原因，并设定针对性的解决方案。如对于比较常见的低级性错误，如没有看清已知条件、计算错误等，教师不能简单地说“下次注意”，而是要培养学生认真细致审题、解题后回头检查的好习惯，通过好习惯来减少低级错误的出現[8]。在日常教学中，高中数学教师需要借助错误对学生学习效果进行诊断，学生在日常学习中，难免会出现一些错误，教师要将这些错误看作是重要的教学资源，分析学生出错的原因，判断学生对知识点的掌握状况，并指引学生长期积累错题，以此促进学生解题水平提升。
（五）培养学生自我纠错能力
学生是否具有良好的纠错能力，与学生自身的数学思维有极大关联，包括学生的数学批判思维、整体思维。学生在学习中，如果可以从解题错误中自己找出思维漏洞，并对其进行完善弥补，能在很大程度上提高学生的解题技巧。对高三数学教师来说，他们的教学任务比较重，而时间相对比较紧张，教师不仅要关注学生的错误状况，还要培养学生自我纠错能力，让学生可以对错误进行自我反思，这样会在很大程度上提高学生的学习效果。
（六）对学生开展个别化指导
对于高三学生，他们的学习方法、学习能力都是存在一定差异的，这也使得他们在解决含参问题时，出错的方式也有所不同。在同一个问题上，有的学生会出现典型性错误，也有的学生会出现一些比较特殊的错误。对于典型性错误，教师可以在课堂上集中讲解，单特殊性错误，可能只有几个，甚至是一两个学生存在这种错误，如果教师集中讲解难免会出现浪费时间的情况，对此教师可以对其进行个别化指导。事实上高三学生出现的特殊性错误大多是由于没有掌握好某个小知识点、某类题型解决方法、不理解特殊限定条件等，所以高中数学教师还应该针对学生的性格特点、对知识的掌握程度，对开展个别化指导教育。高三阶段的学生、教师时间都比较紧张，因此教师可以在课间，或者是自习课上，对学生进行单独指导，挖掘学生出错的原因，帮助学生深入理解相应的知识点，促使学生可以突破顽固性错误，以此强化学生的学习效果。
三、优化含参问题求解途径
（一）分离参数，借助函数量值求参数范围
已知函数，e是自然对数底数，a∈R，如果关于x的不等式在（-∞，2）上恒成立，求a的取值范围。
对于这个问题，可以通过分离参数的方式，将原来的含参数函数转变成求解函数最值问题，从而简化求解。
解：根据可以得出
得出，在任意的恒成立，即在任意的恒成立。由于x<2，得出。设在区间（-∞，2）上g（x）呈现单调递增，g（2）=0，得出a≥0，因此，a的取值范围是[0，+∞）。
（二）结合必要条件解题，减小参数范围
已知函数，若x∈[1，3]，A为f（x）的值域，，假设m、n分别是16、8，试求a的值。
在这个问题中，如果没有用到必要条件来求解参数a的值，在解题中需要开展分类讨论活动，对这三种情况下的函数单调性、最值进行讨论，接着求出不等式组。这种会使得整个过程十分复杂，学生也容易在运算过程中出错。
解：结合题意，可以得出，从而求得a=15。对该结果进行论证，a=15时，，f（x）是单调减函数，符合题意。
（三）变换主元，简化函数
假设不等式在时恒成立，试求x的取值范围。
在这个问题中，将a的范围进行限定，因此可以在解题时将主元变成a，把不等式对应的函数变成g（a），重新构建函数，简化求解。
解：设，时，函数的图像是一个线段，求，可以得出x>4或x<-1。
结束语
在高三学生总复习阶段，数学教师要进一步提高对含参数学问题的重视力度，帮助学生掌握含参数学问题的解决技巧，提高学生的数学解题能力，促使学生可以通过多样化的方式解决含参问题，提高学生数学复习效果，让学生可以更好地备战高考。
参考文献
[1]张晶.基于大数据的函数的含参问题教学策略[J]高考，2019（04）：153.
[2]韩卫明.含参零点问题突破策略的探究与思考[J]数学教学通讯，2020（03）：80-81.
[3]薛彦旭.一类含参导数问题的解决策略探究[J]数学学习与研究：教研版，2020（09）：149.
[4]高雄英.一类含参函数零点取点问题的策略研究[J]高中数学教与学，2019（06）：114.
[5]张礼勇.一类含参不等式恒成立问题的处理策略[J]中学数学教学参考，2015（5X）：47-51.
[6]周静、张立建.谈高三数学一轮复习的有效性——以“函数（含参）的零点”为例[J]数学教学研究，2016（04）：115-116.
[7]朱丽娟.避繁就简，优化含参问题的求解策略[J]中学数学教学参考：上旬，2016（4X）：48-49.
[8]曹磊.含参不等式恒成立问题的复习策略[J]数学学习与研究：教研版，2018（09）：137-138.
作者简介：尤越.出生年月：1980年9月，性别：女，民族：满，籍贯：辽宁开原，最高学历：大学本科，职称：中学一级，研究方向：数学教学，邮编：311251，单位：杭州市萧山区第二高级中学。
任教以来多次参加各种竞赛，曾获区教坛新秀，先进党员，撰写的论文获过杭州市专题二等奖以及区专题二等奖，区年会一等奖。