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摘 要：新工科建设重视创新型、综合化的工程教育理念。文章从计算方法教学现状入手，分析了计算方法对于培养创新能力的必要性和创新性。鉴于计算方法的思想和方法在数学建模中应用广泛，文章探究如何把数学建模思想融入计算方法教学中，并介绍了作者在计算方法课堂教学中讲解数学建模思想的案例。实践证明，该项研究对于提高新工科背景下学生的实践和创新能力具有一定的意义。
关键词：计算方法;数学建模;教学改革
中图分类号：G640 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2020）18-0074-03
Abstract： New engineering construction attaches great importance to innovative and comprehensive engineering education concept. Starting from the present situation of the teaching of computing method， this paper analyzes the necessity and innovation of computing method for the cultivation of innovation ability. In view of the wide application of the idea and method of computing method in mathematical modeling， this paper explores how to integrate the idea of mathematical modeling into the teaching of computing method， and introduces the case that the author explains the idea of mathematical modeling in the teaching of computing method. It has been proved that the research is of great significance to improve the students' practice and innovation ability under the background of new engineering.
Keywords： computing method; mathematical modeling; teaching reform
为推动工程教育改革创新，教育部在复旦大学召开高等工程教育发展战略研讨会。新工科以立德树人为引领，以应对变化、塑造未来为建设理念，以继承与创新、交叉与融合、协调与共享为主要途径，培养未来多元化、创新型卓越工程人才，具有战略型、创新性、系统化、開放式的特征。
计算方法是高等院校信息与计算科学专业、应用数学专业的主要基础课程和部分理工科专业的公共课。计算方法主要阐述了现代科学计算中使用的数值计算方法和它的基本原理，具有广泛的实际应用价值，是数学原理与实际问题和计算机的有机结合。
计算方法教学中如仅仅上课时传授定理的证明和计算方法的推导，然后上机实习，忽视计算方法思想的讲授。学生上课时会产生晦涩难懂的感觉，应用起来无从下手。理论与实际结合是该课程的特点之一。数学建模中大量应用了计算方法课程中的思想和方法，如插值和拟合法，最小二乘法，微分方程数字求解法。如果将数学建模的思想加入到计算方法的教学中，理论联系实际，不仅为计算方法提供了应用背景，还会激发学生的积极性。
一、计算方法课程的特点及传统教学中存在的问题
计算方法课程是为了解决实际问题而产生的，具有广泛的实际实用价值。从教授课程的教学经历看，学生比较重视该门课程。但计算方法的教学内容理论性强，公式较多，直观性差。传统教学中存在的问题，我们总结了三点：
1. 重视理论证明和公式推导，模拟算法少。计算方法课程的宗旨是提高学生创新能力，传统的教学模式忽视计算方法实际应用，注重讲授数值方法的原理，而结果是学生掌握了一些理论性的数值计算方法，实际运用能力不足。
2. 重视数值模拟，而忽略了探索研究。由于学生教学软件运用能力的限制和实践性教学内容匮乏，学生最多利用已有的Matlab软件模拟一下数值计算案例，但学生很少有机会运用计算方法来解决其他的实际问题。
3. 老师在教学过程中重视知识传授，忽视学生的学习积极性。计算方法课程在教学内容的安排上，众多理论证明，相对繁、难。学生的学习方式也单一，学生总是被动地接受知识，使学生失去了创新学习的能力，并且长期以来以闭卷考试的成绩作为衡量学生掌握该课程的主要标准。这些情况会造成部分学生的学习积极性逐渐丧失，而且“高分低能”现象成了现代教育的普遍现象。
二、数学建模融入计算方法教学
（一）采用“问题驱动式”教学方法
首先对“计算方法”中的教学内容进行新的设计和构造。创设具有实际背景和应用价值的问题，很多问题均与数学建模有关。这样能激发学生学习求知的兴趣。在教学过程中，给予学生思考时间，部分推导可以让学生自己独立完成。例如：在讲解插值法之前，可引入体现数学建模思想的案例。
在一天24小时内，从零点开始每间隔2小时测得的环境温度数据分别为
12，9，9，10，18，24，28，27，25，20，18，15，13
推测中午1点的温度，并做出24小时温度曲线图。 案例会引起学生的好奇心，进而来讲解插值法公式，最后来求解该题。
（二）注重算法的讲解，能实际应用到数学建模中
计算方法着重讲解算法的理论以及推导过程。数学建模关注如何用，怎样用。我们可以通过上机，用Matlab软件进行验证算法，解决数学建模中的一些实际案例，让同学们掌握更多更有效的解决实际问题的手段，进而提高他们的创新和科研能力。例如，在讲解微分方程数值解法的时候，我们可以用Matlab来验证Euler方法，梯形方法。改进的Euler方法的收敛速度问题。
（三）考核方式改革
好的考核方式会提高学生的学习积极性。为了让学生积极参与讨论和学习，提高学生的实际操作能力。我们应有明确的考核标准。计算方法课程注重过程考核，可包括以下几个方面：1. 期末考试占80%。期末考试是教学过程中重要的组成部分，我们可以选取一些具有实际背景的题目，让学生利用课上学习的知识进行作答，加强学生应用能力。2. 讨论课及小作业情况占10%。3. 章节测试占10%。定期对学生进行章节测试，以掌握学生学习的状态。踏踏实实，每一章节都很扎实，知识方能积累。通过过程考核，能够培养学生认真思考，开拓创新的素质。
三、案例分析
教学内容：微分方程数值解，案例分析：导弹跟踪问题。
问题：某军队一导弹基地发现正北方向120km处海面上有敌艇一艘以90km/h的速度向正东方向行驶。该基地立即发射导弹跟踪追击敌艇，导弹速度为450km/h。自动导航系统使导弹在任意时刻都能对准敌艇。试问导弹在何时何处击中敌艇？
数学建模：微分方程建模的方法主要是依据守恒定律来建立等量关系式。对于这个问题，寻求等量关系是比较简单的。设坐标系如图1所示，取导弹基地为原点（0，0），x轴指向正东方，y轴指向正北方向。
模型求解：数值解法
将初值问题化为一阶微分方程组
取自变量y的步长为h=H/n，于是得分割点y0=0，y1=h，y2=2h，…，yn=nh=H。
下面介紹两种近似算法来进行数值处理。
1. Euler方法
Euler方法十分简单，就是利用数值积分给出计算公式。得到计算的迭代格式：
利用Matlab程序实现算法。表1是对于不同的 n 值所对应的计算结果。显然，n 越大（即 h 越小），结果就越精确。
此时的近似解：L≈24.15（km），T=0.268（h）。
2. 改进的Euler方法（预估-校正法）
对应的迭代公式为：
编写Matlab程序实现以上改进Euler法：将y的变化区间[0，H] 4等分，计算结果如下：
此时，L≈x4=21.2781，T≈L/ve=0.2364。
四、结束语
随着数字信息化的发展，计算方法的重要性日趋所见。将数学建模思想融入计算方法的教学中，可以推动学习的积极性，提高学生的创新和科研能力。但如何更好地把数学建模思想融入计算方法的教学课程中，是我们以后要研究的重点。
参考文献：
[1]李庆扬，王能超，易大义.数值分析[M].武汉：华中科技大学出版社，2001.
[2]张健.将数学建模思想融入计算方法课堂的探讨[J].中国电力教育，2012（17）：70-71.
[3]胡大勇，王永桢.计算方法的教学改革的探索[J].教育教学论坛，2018（14）：136-137.
[4]赵静，但琦.数学建模与数学实验（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2014.
[5]黄晓林，陈嘉艳，徐骏.以《计算方法》为例的经典课程课堂教学改革探索与实践[J].教育教学论坛，2019（16）：136-138.
关键词：计算方法;数学建模;教学改革
中图分类号：G640 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2020）18-0074-03
Abstract： New engineering construction attaches great importance to innovative and comprehensive engineering education concept. Starting from the present situation of the teaching of computing method， this paper analyzes the necessity and innovation of computing method for the cultivation of innovation ability. In view of the wide application of the idea and method of computing method in mathematical modeling， this paper explores how to integrate the idea of mathematical modeling into the teaching of computing method， and introduces the case that the author explains the idea of mathematical modeling in the teaching of computing method. It has been proved that the research is of great significance to improve the students' practice and innovation ability under the background of new engineering.
Keywords： computing method; mathematical modeling; teaching reform
为推动工程教育改革创新，教育部在复旦大学召开高等工程教育发展战略研讨会。新工科以立德树人为引领，以应对变化、塑造未来为建设理念，以继承与创新、交叉与融合、协调与共享为主要途径，培养未来多元化、创新型卓越工程人才，具有战略型、创新性、系统化、開放式的特征。
计算方法是高等院校信息与计算科学专业、应用数学专业的主要基础课程和部分理工科专业的公共课。计算方法主要阐述了现代科学计算中使用的数值计算方法和它的基本原理，具有广泛的实际应用价值，是数学原理与实际问题和计算机的有机结合。
计算方法教学中如仅仅上课时传授定理的证明和计算方法的推导，然后上机实习，忽视计算方法思想的讲授。学生上课时会产生晦涩难懂的感觉，应用起来无从下手。理论与实际结合是该课程的特点之一。数学建模中大量应用了计算方法课程中的思想和方法，如插值和拟合法，最小二乘法，微分方程数字求解法。如果将数学建模的思想加入到计算方法的教学中，理论联系实际，不仅为计算方法提供了应用背景，还会激发学生的积极性。
一、计算方法课程的特点及传统教学中存在的问题
计算方法课程是为了解决实际问题而产生的，具有广泛的实际实用价值。从教授课程的教学经历看，学生比较重视该门课程。但计算方法的教学内容理论性强，公式较多，直观性差。传统教学中存在的问题，我们总结了三点：
1. 重视理论证明和公式推导，模拟算法少。计算方法课程的宗旨是提高学生创新能力，传统的教学模式忽视计算方法实际应用，注重讲授数值方法的原理，而结果是学生掌握了一些理论性的数值计算方法，实际运用能力不足。
2. 重视数值模拟，而忽略了探索研究。由于学生教学软件运用能力的限制和实践性教学内容匮乏，学生最多利用已有的Matlab软件模拟一下数值计算案例，但学生很少有机会运用计算方法来解决其他的实际问题。
3. 老师在教学过程中重视知识传授，忽视学生的学习积极性。计算方法课程在教学内容的安排上，众多理论证明，相对繁、难。学生的学习方式也单一，学生总是被动地接受知识，使学生失去了创新学习的能力，并且长期以来以闭卷考试的成绩作为衡量学生掌握该课程的主要标准。这些情况会造成部分学生的学习积极性逐渐丧失，而且“高分低能”现象成了现代教育的普遍现象。
二、数学建模融入计算方法教学
（一）采用“问题驱动式”教学方法
首先对“计算方法”中的教学内容进行新的设计和构造。创设具有实际背景和应用价值的问题，很多问题均与数学建模有关。这样能激发学生学习求知的兴趣。在教学过程中，给予学生思考时间，部分推导可以让学生自己独立完成。例如：在讲解插值法之前，可引入体现数学建模思想的案例。
在一天24小时内，从零点开始每间隔2小时测得的环境温度数据分别为
12，9，9，10，18，24，28，27，25，20，18，15，13
推测中午1点的温度，并做出24小时温度曲线图。 案例会引起学生的好奇心，进而来讲解插值法公式，最后来求解该题。
（二）注重算法的讲解，能实际应用到数学建模中
计算方法着重讲解算法的理论以及推导过程。数学建模关注如何用，怎样用。我们可以通过上机，用Matlab软件进行验证算法，解决数学建模中的一些实际案例，让同学们掌握更多更有效的解决实际问题的手段，进而提高他们的创新和科研能力。例如，在讲解微分方程数值解法的时候，我们可以用Matlab来验证Euler方法，梯形方法。改进的Euler方法的收敛速度问题。
（三）考核方式改革
好的考核方式会提高学生的学习积极性。为了让学生积极参与讨论和学习，提高学生的实际操作能力。我们应有明确的考核标准。计算方法课程注重过程考核，可包括以下几个方面：1. 期末考试占80%。期末考试是教学过程中重要的组成部分，我们可以选取一些具有实际背景的题目，让学生利用课上学习的知识进行作答，加强学生应用能力。2. 讨论课及小作业情况占10%。3. 章节测试占10%。定期对学生进行章节测试，以掌握学生学习的状态。踏踏实实，每一章节都很扎实，知识方能积累。通过过程考核，能够培养学生认真思考，开拓创新的素质。
三、案例分析
教学内容：微分方程数值解，案例分析：导弹跟踪问题。
问题：某军队一导弹基地发现正北方向120km处海面上有敌艇一艘以90km/h的速度向正东方向行驶。该基地立即发射导弹跟踪追击敌艇，导弹速度为450km/h。自动导航系统使导弹在任意时刻都能对准敌艇。试问导弹在何时何处击中敌艇？
数学建模：微分方程建模的方法主要是依据守恒定律来建立等量关系式。对于这个问题，寻求等量关系是比较简单的。设坐标系如图1所示，取导弹基地为原点（0，0），x轴指向正东方，y轴指向正北方向。
模型求解：数值解法
将初值问题化为一阶微分方程组
取自变量y的步长为h=H/n，于是得分割点y0=0，y1=h，y2=2h，…，yn=nh=H。
下面介紹两种近似算法来进行数值处理。
1. Euler方法
Euler方法十分简单，就是利用数值积分给出计算公式。得到计算的迭代格式：
利用Matlab程序实现算法。表1是对于不同的 n 值所对应的计算结果。显然，n 越大（即 h 越小），结果就越精确。
此时的近似解：L≈24.15（km），T=0.268（h）。
2. 改进的Euler方法（预估-校正法）
对应的迭代公式为：
编写Matlab程序实现以上改进Euler法：将y的变化区间[0，H] 4等分，计算结果如下：
此时，L≈x4=21.2781，T≈L/ve=0.2364。
四、结束语
随着数字信息化的发展，计算方法的重要性日趋所见。将数学建模思想融入计算方法的教学中，可以推动学习的积极性，提高学生的创新和科研能力。但如何更好地把数学建模思想融入计算方法的教学课程中，是我们以后要研究的重点。
参考文献：
[1]李庆扬，王能超，易大义.数值分析[M].武汉：华中科技大学出版社，2001.
[2]张健.将数学建模思想融入计算方法课堂的探讨[J].中国电力教育，2012（17）：70-71.
[3]胡大勇，王永桢.计算方法的教学改革的探索[J].教育教学论坛，2018（14）：136-137.
[4]赵静，但琦.数学建模与数学实验（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2014.
[5]黄晓林，陈嘉艳，徐骏.以《计算方法》为例的经典课程课堂教学改革探索与实践[J].教育教学论坛，2019（16）：136-138.