【摘要】在求解多重积分的问题的时候,总会有一些特殊的情况是用一般的方法无法解决或者说很困难的,然而这些替米可以通过很特殊的对称性问题得以简便得解决,既方便又准确无误,本文将就多重积分求解中的对称性问题做一简短的总结归纳。
　　 【关键词】二重积分 三重积分 对称性 奇偶性
　　
　　 1.二重积分中的对称性问题。在计算二重积分的问题的时候,往往有些题目是通过一般方法无法解决的,而这些题目中会有一些题目是很特殊的对称性问题,通过使用固定的方法就能够迅速准确地算出答案,节省了时间,提高了效率和准确度。
　　 1.1 积分域关于轴的对称。
　　 1.1.1 关于x轴对称。
　　 设D关于x轴对称()
　　 其中,
　　 1.1.2 关于y轴对称。
　　 与关于x轴对称相似。
　　 例1.1.1 计算:,
　　 解:添,分域为
　　 1.2 积分域关于原点对称。
　　 与关于x轴对称相似。
　　 1.3 积分域关于直线y=x对称(即轮换对称性)
　　 设D关于y=x对称,()
　　 例1.3.1 D:D1是D在x≥0部分,则(B)
　　 A.B.
　　 C.D.
　　 解:A.=0,C.,D.
　　 B.
　　 评注:D关于y=x对称。
　　 例1.3.2 求其中
　　 解:区域D关于x,y轴均对称,对x,y均为偶函数。
　　 ,其中
　　 再用变量轮换对称性(把x与y互换,区域D1不变),
　　 于是
　　 因此,I=
　　 评注:D1关于y=x对称,于是。
　　 例1.3.3 计算,其中S是球面在第一卦限中的部分。
　　 解:直接化为二重积分计算。由于
　　 所以
　　 记,则
　　 评注:本题使用了轮换对称性。
　　 例1.3.4 计算 ,其中曲面S:, ; 是S向上的法向量。
　　 解:由于,所以
　　 根据曲面S关于坐标面的对称性,得
　　 再由S关于x,y的轮换对称性,得
　　 因此I=0。
　　 2.三重积分中的对称性问题。三重积分往往相对较麻烦,和二重积分一样,一些特殊的有关对称性的问题可以通过一些特殊的方法迎刃而解,方便迅速又准确无误。
　　 2.1 积分域关于面的对称。
　　 2.1.1 积分域关于xoy面对称。
　　 设Ω是空间中的有界闭区域,在Ω上可积。
　　 若Ω关于xoy平面对称,则
　　 其中
　　 例2.1.1 ,
　　 解:Ω关于xoy面对称,关于z轴为奇函数,I=0。
　　 2.1.2 积分域关于yoz面对称。
　　 与关于xoy轴对称相似。
　　 2.1.3 积分域关于xoz面对称。
　　 与关于xoy轴对称相似。
　　 2.2 积分域关于原点对称。
　　 若Ω关于原点对称,则
　　 其中或等。
　　 2.3 积分域的平移变换。
　　 若Ω有某种对称性(如Ω为球体,球心不在原点,或Ω为正方体,中心不在原点),经平移后变成了关于坐标平面对称的区域且被积函数变成有奇偶性时,可考虑选用平移变换。
　　 例2.3.1 ,其中Ω由所确定。
　　 解:选择平移交换可以用对称性
　　 令则Ω变成
　　 ,于是
　　 这里,关于wou平面對称,被积函数v对v为奇函数,所以
　　 单位球的体积
　　
　　参考文献
　　1 李正元.高等数学辅导.北京:国家行政学院出版社,2008
　　2 刘坤林等.微积分通用辅导讲义.北京:清华大学出版社, 2006