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摘要： 中国是人类最古老的文明发源地之一，也是数学最早的发源地之一。希腊数学同样源远流长。但中国和希腊数学的萌芽、发展、衰落历程可谓是大相径庭。对中国与希腊数学之间的交流很少有研究，更开放的交流才能促进发展。
关键词： 数学 中国 希腊 对比 反思
任何学科的发展都离不开社会这个大环境。数学，由于不同的社会需求、传统文化和思维特征，在发展的过程中表现出了不同的侧重点和演变方式，从而形成了不同的数学内容和数学思想。希腊数学和中国数学的不同性质就是这一状况的表现。
1.中国与希腊数学的简要回顾
中国是人类最古老的文明发源地之一，也是数学最早的发源地之一。先秦时期是中国数学的萌芽和知识素材的积累时期。在这一阶段中国形成了以十进制为主的记数制，计算的工具是算筹。《周易》中包含了朴素的辩证思想；《墨子》中有了数学概念、定义的意识；《庄子·天下篇》称“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，是极限的观点；《周髀算经》中有相当丰富的数学内容：勾股定理（未加证明）、利用相似勾股形的性质测量日径、简单的等差级数计算以及繁杂的分数乘除运算等等。中国数学经初创时期数百年的知识积累，于汉唐时期形成了它的理论体系——“算经十书”中内容最丰富、影响最大的《九章算术》。不管是在内容还是在形式上，它都为后世的数学研究奠定了基础。
在这个时期里，希腊数学同样蓬勃发展。泰勒斯开创了演绎几何的先河；毕达哥拉斯学派成果卓著，突破了对数学本身的认识和研究方法；芝诺悖论无论在数学还是在哲学上都有着重大的意义；亚里士多德完成了逻辑演绎的系统化；欧几里德成功总结和整理了前人的数学成果，写出了《原本》，其影响“超过了任何别的书”；阿波罗尼斯对圆锥曲线进行了详细的研究，远远走在时代之前。亚历山大时期的希腊数学开始摆脱哲学的牵制，和力学、天文学等一起在经济和技术的影响下发展。希帕切斯、梅涅劳斯发展了希腊的三角学，丢番图的算术开创了符号代数的先河——简字代数，其意义和价值不可低估。
值得注意的是，尽管这只是早期的数学，但中国与希腊数学的侧重点的不同已经表露出来了。中国的数学着重计算，偏向应用；希腊数学着重逻辑演绎，偏向抽象理论。
罗马人的统治使古希腊的数学走向衰落，其后中国就成为世界上数学最发达的地方之一。当欧洲进入了中世纪漫长的黑暗时代时，中国的数学却在突飞猛进，出现了许多数学家和大量的数学著作。贾宪创立“增乘开方术”，《数书九章》中阐述的高次方程数值解法和一次同余式的理论都代表着当时的世界最高水平，李治的《测圆海镜》和《益古演段》改进和完善了“天元术”，朱世杰的《四元玉鉴》和《算学启蒙》创立了“四元术”和“垛积招差术”。
但是，到了明代，中国数学除了计算技术得到发展外，其余部分出现了停滞，从此走向了滑坡。在往后的数学发展过程中，解析几何的创立，微积分的发明，抽象代数的发展……无一与中国有缘。
2.中国与希腊数学发展史的对比分析
由上述对发展史的简要回顾，中国和希腊数学的萌芽、发展、衰落历程可谓是大相径庭。下面就两者在这三个阶段所显示出的重大差异展开对比分析。
2.1萌芽时期：算筹数系与字母数系。
建立数字系统只是数学萌芽走出的第一步，但也是关键的一步。它在很大程度上决定了数学的发展方向。在文字和书写用具的约束下，各地区的记数系统表现出很大差异，这正是产生不同数学思想和数学研究方法的原因之一。希腊的字母数系在各种数系中堪称“精巧”，记数简明、方便，并且在客观上蕴涵了序的思想。但一涉及运算，这种记数制似乎变得毫无优越性可言，而且很难产生变革。这是希腊实用算术和代数长期落后的原因之一。中国的算筹一直被很多人津津乐道。用一根根同样的算筹来记数，除了采用先进的位值制外别无选择。这确实使中国数学在起跑阶段就占得先机。但随着数学的发展，算筹明显暴露出不足之处，甚至成为中国数学本身存在着的缺陷。用算筹只能表示一般意义上的量，难以表示更高层次的抽象的量，难以进行逻辑论证。看来，我们要以长远发展的眼光来看待和评价记数系统。
2.2发展（常量数学）时期：实用数学与演绎数学。
这一差异是被大家经常提及的，并认为这也是东西方数学的最大不同之处。我们可以从希腊和中国在对待无理数的态度上初窥一二。毕氏学派尽管发现不可公度比确实客观存在着，却因为无法从理性上去认识它而排斥它。而中国数学早就接受了无理数。因为在实际问题中像求x的平方等于2中的x值这一类问题是屡见不鲜的。中国学者毫不犹豫地去接受它、使用它，虽然他们的工作只局限在提高无理数的近似值精确度而已。由此我们看到希腊的严谨逻辑与中国的实际经验的巨大反差。
在古代中国，数学完全是一种实用的工具，用于解决测量田亩面积、分配粮食、探天测地等实际问题，不曾思考数与几何图形自身的性质和关系，没有把数学作为一门独立的学科来研究。大数学家秦九韶在《数书九章》中就称自己写书的目的是“以拟于用”。相比之下，公元前200年左右，阿波罗尼斯就已经写下8大卷的《圆锥曲线论》，而在当时的生产力水平之下，这些理论是难以“以拟于用”的。希腊人是把数学作为认识自然界、认识宇宙规律的途径。他们更倾向于哲理的思考，使数学摆脱对实物的依赖，进行独立研究。
于是，中国“实用”的数学观念形成了以解决问题为中心的机械化算法体系。数学著作一般都取个带“算”字的名称，均由一系列的数学问题组成，更像是一本本的习题集。问题叙述十分具体，抽象度低。问题的解决大多通过计算，算法是解题基本的数学手段。可以说，这些问题都是“计算题”，而没有“论证题”。“术”即算法，是中国数学的主要研究对象，如《九章算术》中的今有术、衰分术、盈不足术、少广术，贾宪的“增乘开方术”等等。与此同时，希腊人却在想方设法地对一些显而易见的几何命题加以“论证”。他们看重的是逻辑的演绎，坚持从抽象的概念出发，以公理为基础，进行严格的演绎推理。事实上，在世界的几百种文明里，只有希腊人才有意识地自觉地完全用演绎推理来证明结论。他们把所有公理明确说出，并且在他们的著作中采取一开头就陈述公理的做法。希腊人发现定理与作出证明方面的能力很强：欧几里德《原本》含有467个命题，阿波罗尼斯《圆锥曲线》含有487个命题。但正是希腊数学坚持演绎推理的要求严重阻碍了算术和代数的发展。
2.3衰落：算法的桎梏与环境的恶化。
罗马人的入侵不仅使希腊数学，而且所有的希腊科学活动都遭受到灭顶之灾。基督教的兴起几乎毁灭了希腊所有的数学家和学者。希腊文化在创造了极其辉煌的成就，并完全有能力跨入人类现代文明之际，被强权暴力和宗教偏见扼杀殆尽。幸运的是，希腊的著作传入欧洲，于是开始了新一轮的数学发展的接力。当然，希腊数学的衰落还有其它因素的影响。数系的落后、惧怕无理数与无限思想，这些希腊数学自身的局限也是原因之一。但我认为主要原因还是社会环境的恶化。回顾亚历山大里亚时期，希腊数学“出现了哲学的数学向科学的数学的转变”，海伦、尼可马切斯和丢番图开始单独处理算术和代数问题，逐渐使其摆脱几何的依赖，成为独立的学科。若不是环境的恶化，相信希腊数学会顺利发展下去。
探究中国古代数学衰落的原因，我认为中国数学本身存在缺陷是主要方面，尤其是方法论意义不大的各种算法成为中国古代数学变革发展的桎梏。人们只满足于改进算法，以有效地解决实际问题。“实用数学”不能顾及数学的相对独立性，是很难发展完善的。罗马人就是太注重实用才毁掉了希腊数学。中国古代数学基本没什么实质性的变化，没有数学表述符号化的趋向，没有形成一般的方法论，没有对这门学科概括性的认识，有的只是算法的积累和增加。与希腊数学相比，中国数学衰落得更加彻底。前者至少得到了欧洲人的继承和发扬，而后者到现在都还是一蹶不振，目前的大学基础数学教材中很少看不到中国数学家的名字。
3.反思
经过上面一番对比分析，似乎中国和希腊数学都有着深远的历史根源，其实两者在发展过程中都存在弊端。开放、交流才能促进发展。数学的进步更需如此。闭关锁国、夜郎自大都是科学、国家和民族前进道路上的绊脚石。对于外来的先进的科技文化，我们不妨放下架子，取其精华，去其糟粕，跟上世界发展的潮流。
参考文献：
［1］杨泰良.数学思想史精读.
［2］袁小明.数学思想史导论.广西教育出版社，1991.
［3］M·克莱因.古今数学思想.上海科学技术出版社，1979.
［4］郭华光，张晓磊.试论中国古代数学衰落的原因及启示.数学教育学报，2002.5.
（作者系华东师范大学06级教育硕士）
关键词： 数学 中国 希腊 对比 反思
任何学科的发展都离不开社会这个大环境。数学，由于不同的社会需求、传统文化和思维特征，在发展的过程中表现出了不同的侧重点和演变方式，从而形成了不同的数学内容和数学思想。希腊数学和中国数学的不同性质就是这一状况的表现。
1.中国与希腊数学的简要回顾
中国是人类最古老的文明发源地之一，也是数学最早的发源地之一。先秦时期是中国数学的萌芽和知识素材的积累时期。在这一阶段中国形成了以十进制为主的记数制，计算的工具是算筹。《周易》中包含了朴素的辩证思想；《墨子》中有了数学概念、定义的意识；《庄子·天下篇》称“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，是极限的观点；《周髀算经》中有相当丰富的数学内容：勾股定理（未加证明）、利用相似勾股形的性质测量日径、简单的等差级数计算以及繁杂的分数乘除运算等等。中国数学经初创时期数百年的知识积累，于汉唐时期形成了它的理论体系——“算经十书”中内容最丰富、影响最大的《九章算术》。不管是在内容还是在形式上，它都为后世的数学研究奠定了基础。
在这个时期里，希腊数学同样蓬勃发展。泰勒斯开创了演绎几何的先河；毕达哥拉斯学派成果卓著，突破了对数学本身的认识和研究方法；芝诺悖论无论在数学还是在哲学上都有着重大的意义；亚里士多德完成了逻辑演绎的系统化；欧几里德成功总结和整理了前人的数学成果，写出了《原本》，其影响“超过了任何别的书”；阿波罗尼斯对圆锥曲线进行了详细的研究，远远走在时代之前。亚历山大时期的希腊数学开始摆脱哲学的牵制，和力学、天文学等一起在经济和技术的影响下发展。希帕切斯、梅涅劳斯发展了希腊的三角学，丢番图的算术开创了符号代数的先河——简字代数，其意义和价值不可低估。
值得注意的是，尽管这只是早期的数学，但中国与希腊数学的侧重点的不同已经表露出来了。中国的数学着重计算，偏向应用；希腊数学着重逻辑演绎，偏向抽象理论。
罗马人的统治使古希腊的数学走向衰落，其后中国就成为世界上数学最发达的地方之一。当欧洲进入了中世纪漫长的黑暗时代时，中国的数学却在突飞猛进，出现了许多数学家和大量的数学著作。贾宪创立“增乘开方术”，《数书九章》中阐述的高次方程数值解法和一次同余式的理论都代表着当时的世界最高水平，李治的《测圆海镜》和《益古演段》改进和完善了“天元术”，朱世杰的《四元玉鉴》和《算学启蒙》创立了“四元术”和“垛积招差术”。
但是，到了明代，中国数学除了计算技术得到发展外，其余部分出现了停滞，从此走向了滑坡。在往后的数学发展过程中，解析几何的创立，微积分的发明，抽象代数的发展……无一与中国有缘。
2.中国与希腊数学发展史的对比分析
由上述对发展史的简要回顾，中国和希腊数学的萌芽、发展、衰落历程可谓是大相径庭。下面就两者在这三个阶段所显示出的重大差异展开对比分析。
2.1萌芽时期：算筹数系与字母数系。
建立数字系统只是数学萌芽走出的第一步，但也是关键的一步。它在很大程度上决定了数学的发展方向。在文字和书写用具的约束下，各地区的记数系统表现出很大差异，这正是产生不同数学思想和数学研究方法的原因之一。希腊的字母数系在各种数系中堪称“精巧”，记数简明、方便，并且在客观上蕴涵了序的思想。但一涉及运算，这种记数制似乎变得毫无优越性可言，而且很难产生变革。这是希腊实用算术和代数长期落后的原因之一。中国的算筹一直被很多人津津乐道。用一根根同样的算筹来记数，除了采用先进的位值制外别无选择。这确实使中国数学在起跑阶段就占得先机。但随着数学的发展，算筹明显暴露出不足之处，甚至成为中国数学本身存在着的缺陷。用算筹只能表示一般意义上的量，难以表示更高层次的抽象的量，难以进行逻辑论证。看来，我们要以长远发展的眼光来看待和评价记数系统。
2.2发展（常量数学）时期：实用数学与演绎数学。
这一差异是被大家经常提及的，并认为这也是东西方数学的最大不同之处。我们可以从希腊和中国在对待无理数的态度上初窥一二。毕氏学派尽管发现不可公度比确实客观存在着，却因为无法从理性上去认识它而排斥它。而中国数学早就接受了无理数。因为在实际问题中像求x的平方等于2中的x值这一类问题是屡见不鲜的。中国学者毫不犹豫地去接受它、使用它，虽然他们的工作只局限在提高无理数的近似值精确度而已。由此我们看到希腊的严谨逻辑与中国的实际经验的巨大反差。
在古代中国，数学完全是一种实用的工具，用于解决测量田亩面积、分配粮食、探天测地等实际问题，不曾思考数与几何图形自身的性质和关系，没有把数学作为一门独立的学科来研究。大数学家秦九韶在《数书九章》中就称自己写书的目的是“以拟于用”。相比之下，公元前200年左右，阿波罗尼斯就已经写下8大卷的《圆锥曲线论》，而在当时的生产力水平之下，这些理论是难以“以拟于用”的。希腊人是把数学作为认识自然界、认识宇宙规律的途径。他们更倾向于哲理的思考，使数学摆脱对实物的依赖，进行独立研究。
于是，中国“实用”的数学观念形成了以解决问题为中心的机械化算法体系。数学著作一般都取个带“算”字的名称，均由一系列的数学问题组成，更像是一本本的习题集。问题叙述十分具体，抽象度低。问题的解决大多通过计算，算法是解题基本的数学手段。可以说，这些问题都是“计算题”，而没有“论证题”。“术”即算法，是中国数学的主要研究对象，如《九章算术》中的今有术、衰分术、盈不足术、少广术，贾宪的“增乘开方术”等等。与此同时，希腊人却在想方设法地对一些显而易见的几何命题加以“论证”。他们看重的是逻辑的演绎，坚持从抽象的概念出发，以公理为基础，进行严格的演绎推理。事实上，在世界的几百种文明里，只有希腊人才有意识地自觉地完全用演绎推理来证明结论。他们把所有公理明确说出，并且在他们的著作中采取一开头就陈述公理的做法。希腊人发现定理与作出证明方面的能力很强：欧几里德《原本》含有467个命题，阿波罗尼斯《圆锥曲线》含有487个命题。但正是希腊数学坚持演绎推理的要求严重阻碍了算术和代数的发展。
2.3衰落：算法的桎梏与环境的恶化。
罗马人的入侵不仅使希腊数学，而且所有的希腊科学活动都遭受到灭顶之灾。基督教的兴起几乎毁灭了希腊所有的数学家和学者。希腊文化在创造了极其辉煌的成就，并完全有能力跨入人类现代文明之际，被强权暴力和宗教偏见扼杀殆尽。幸运的是，希腊的著作传入欧洲，于是开始了新一轮的数学发展的接力。当然，希腊数学的衰落还有其它因素的影响。数系的落后、惧怕无理数与无限思想，这些希腊数学自身的局限也是原因之一。但我认为主要原因还是社会环境的恶化。回顾亚历山大里亚时期，希腊数学“出现了哲学的数学向科学的数学的转变”，海伦、尼可马切斯和丢番图开始单独处理算术和代数问题，逐渐使其摆脱几何的依赖，成为独立的学科。若不是环境的恶化，相信希腊数学会顺利发展下去。
探究中国古代数学衰落的原因，我认为中国数学本身存在缺陷是主要方面，尤其是方法论意义不大的各种算法成为中国古代数学变革发展的桎梏。人们只满足于改进算法，以有效地解决实际问题。“实用数学”不能顾及数学的相对独立性，是很难发展完善的。罗马人就是太注重实用才毁掉了希腊数学。中国古代数学基本没什么实质性的变化，没有数学表述符号化的趋向，没有形成一般的方法论，没有对这门学科概括性的认识，有的只是算法的积累和增加。与希腊数学相比，中国数学衰落得更加彻底。前者至少得到了欧洲人的继承和发扬，而后者到现在都还是一蹶不振，目前的大学基础数学教材中很少看不到中国数学家的名字。
3.反思
经过上面一番对比分析，似乎中国和希腊数学都有着深远的历史根源，其实两者在发展过程中都存在弊端。开放、交流才能促进发展。数学的进步更需如此。闭关锁国、夜郎自大都是科学、国家和民族前进道路上的绊脚石。对于外来的先进的科技文化，我们不妨放下架子，取其精华，去其糟粕，跟上世界发展的潮流。
参考文献：
［1］杨泰良.数学思想史精读.
［2］袁小明.数学思想史导论.广西教育出版社，1991.
［3］M·克莱因.古今数学思想.上海科学技术出版社，1979.
［4］郭华光，张晓磊.试论中国古代数学衰落的原因及启示.数学教育学报，2002.5.
（作者系华东师范大学06级教育硕士）