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随着经济的发展及数学理论的完善,数学与经济学的关系越来越密切,应用越来越广泛。微积分作为数学知识的基础,介绍微积分与经济学的书也越来越多,然而大部分书或者着重介绍经济学概念或者着重介绍数学理论,很少有主要介绍微积分在经济学中的应用的书。本文将通过对一些简单的微积分知识在经济学中的应用,以使人们意识到理论与实际结合的重要性。
一、极限在经济分析中的应用
设银行存款现值P和将来值B,年利率为r,则t年后的本利和即将来值B=(1+r)t
若一年分次计算复利,则每期利率为■,一年后的本利和即将来值为B=P(1+■)n而t年后的本利和即将来值为B=P(1+■)tn当n→∞时,则t年后的本利和即将来值为B=■P(1+■)m=Pet从而现值P和将来值B之间的关系为B=Pet或p=Be-t若现值P为1,利息r为100%,则得B=e
二、导数在经济分析中的应用
导数作为高等数学的重要组成部分,贯穿于数学作为研究工具与各学科交叉互用的整个过程,经济学自然也不例外。导数的引入为经济学分析带来了重大的变革,对其的运用可以解决许多之前无法定量分析的问题。对经济变量的边际分析和弹性的研究是导数在经济学中最为典型的应用方式。边际分析包括边际成本、边际收益和边际利润。其中边际成本是总成本函数c(q)关于产量q的导数,其经济含义是:当产量为q时,再生产一个单位(即△q=1) 所增加的总成本△c(q)。下面举例说明导数在边际成本分析中起到的作用。
例1 生产某种产品q个单位时,总成本函数为c(q)=500+0.5q2
则当产量为q0时,该产品的边际成本MC为 MC=c′(q0)=q0,当q=100时,MC=100;当q=80时,MC=80。
同理,在相应的收益函数、利润函数已知的情况下,利用导数的知识我们还可以分析厂商的边际收益和边际利润。边际分析只是导数在经济学分析中起到作用的一个部分,导数的另一个重要作用就是进行经济学中的弹性分析。函数■(x)在点x处的相对改变量△y/y 与自变量的相对改变量△x/x之商的极限,称为函数y=■(x)在点x处的弹性。经济学中的弹性用于衡量在一个经济模型中,一个变量对另一个变量变化的敏感程度,包括需求价格弹性、供给价格弹性、商品需求交叉弹性等等。其中,需求价格弹性是最常用的弹性概念,设某种商品的市场需求量为q,价格为p,需求函数q=q(p) 可导,则Ep=■q′(p)称为该产品的需求价格弹性。因为在一般情况下,需求函数为价格的递减函数,因此需求弹性Ep一般为负值,其经济意义为:当某种商品的价格下降(或上升) 1%时,其需求量将增加(或减少)EP%。实际的需求弹性计算见下面的例子:
例2在一个完全竞争市场中,某商品的总需求函数为q(p) =60-20■ ,则该商品在P0的需求价格弹性为
Ep=■q′(P0)=-■当p0时,Ep=1。
三、积分在经济中的应用
积分是微分的逆运算,因此,用积分的方法可以由边际函数求出总函数。设总量函数p(x)在区间I上可导,其边际函数为p′x,[a,x]∈I,则总有函数p(x)=■p■(u)du+P(a)
当 x 从a 变到b 时,p(x)的改变量为△p=p(x)-p(a)=■p■(u)du将 x 改为产量Q,且a=0 时,将P(x)代之以总成本C(Q)、总收入R(Q)、总利润L(Q),
可得C(Q)=■C■(x)dx其中C0即为固定成本,■C■(x)dx为可变成本R(Q)=■R■(x)dx (因为R(0)=0) L(Q)=■L■(x)dx-C(0)
案例 1[总量函数]已知某公司独家生产某产品,销售Q 单位商品时,边际收入函数为R■(Q)=■-c (元/单位)(a>0,b>0,c>0)。求:(1)公司的总收入函数;(2)该产品的需求函数。
解 (1)总收入函数为R(Q)=■R■(x)dx=■[■-c]dx=-■-cx|=a-■-cQ
(2)设产品的价格为P,则R=PQ=a-■-cQ ,得需求函数为P=■-■ -c=■- c
案例 2[收入流的现值]某企业想购买一台设备,该设备成本为5000 元。T 年后该
设备的报废价值为S(t)=5000-400t 元,使用该设备在t 年时可使企业增加收入850-40t(元)。
若年利率为5%,计算连续复利,企业应在什么时候报废这台设备?此时,总利润的现值是
多少?
解 T 年后总收入的现值为■(850-40t)e-0.05tdt
T 年后总利润的现值为L(T)=■(850-40t)e-0.05tdt+(5000-400T)e-0.05tdt-5000
L′(T)=(850-40t)e-0.05T-400e-0.05T-0.05(5000-400T)e-0.05Tdt=(200-20T)e-0.05T
令L′(T)=0,得T=10。当T<10 时,L′(T)>0,当T<10 时,L′(T)<0,则T=10 是惟一的极大值点。即T=10 时,总利润的现值最大,故应在使用10 年后报废这台机器。此时企业所得的利润的现值为L(10)=■(200-20T)e-0.05TdT=(400T+4000)e-0.05T=825.25(元)
参考文献:
[1]聂洪珍,朱玉芳.高等数学(一)微积分[M].北京:中国对外经济贸易出版社,2003.
[2]张丽玲.微积分在经济学中的应用[J].百色学院学报.2007.
[3]张素芬,王琳.浅谈数学在经济学中的应用[J].商场现代化.2008.
[4][美] 平狄克(Pindyck. R.) ,鲁宾费尔德(Rubinfeld ,D. L. ) . 微观经济学(第四版)[M] . 北京:中国人民大学出版社,2000.
(作者单位:长江大学信息与数学学院)
一、极限在经济分析中的应用
设银行存款现值P和将来值B,年利率为r,则t年后的本利和即将来值B=(1+r)t
若一年分次计算复利,则每期利率为■,一年后的本利和即将来值为B=P(1+■)n而t年后的本利和即将来值为B=P(1+■)tn当n→∞时,则t年后的本利和即将来值为B=■P(1+■)m=Pet从而现值P和将来值B之间的关系为B=Pet或p=Be-t若现值P为1,利息r为100%,则得B=e
二、导数在经济分析中的应用
导数作为高等数学的重要组成部分,贯穿于数学作为研究工具与各学科交叉互用的整个过程,经济学自然也不例外。导数的引入为经济学分析带来了重大的变革,对其的运用可以解决许多之前无法定量分析的问题。对经济变量的边际分析和弹性的研究是导数在经济学中最为典型的应用方式。边际分析包括边际成本、边际收益和边际利润。其中边际成本是总成本函数c(q)关于产量q的导数,其经济含义是:当产量为q时,再生产一个单位(即△q=1) 所增加的总成本△c(q)。下面举例说明导数在边际成本分析中起到的作用。
例1 生产某种产品q个单位时,总成本函数为c(q)=500+0.5q2
则当产量为q0时,该产品的边际成本MC为 MC=c′(q0)=q0,当q=100时,MC=100;当q=80时,MC=80。
同理,在相应的收益函数、利润函数已知的情况下,利用导数的知识我们还可以分析厂商的边际收益和边际利润。边际分析只是导数在经济学分析中起到作用的一个部分,导数的另一个重要作用就是进行经济学中的弹性分析。函数■(x)在点x处的相对改变量△y/y 与自变量的相对改变量△x/x之商的极限,称为函数y=■(x)在点x处的弹性。经济学中的弹性用于衡量在一个经济模型中,一个变量对另一个变量变化的敏感程度,包括需求价格弹性、供给价格弹性、商品需求交叉弹性等等。其中,需求价格弹性是最常用的弹性概念,设某种商品的市场需求量为q,价格为p,需求函数q=q(p) 可导,则Ep=■q′(p)称为该产品的需求价格弹性。因为在一般情况下,需求函数为价格的递减函数,因此需求弹性Ep一般为负值,其经济意义为:当某种商品的价格下降(或上升) 1%时,其需求量将增加(或减少)EP%。实际的需求弹性计算见下面的例子:
例2在一个完全竞争市场中,某商品的总需求函数为q(p) =60-20■ ,则该商品在P0的需求价格弹性为
Ep=■q′(P0)=-■当p0时,Ep=1。
三、积分在经济中的应用
积分是微分的逆运算,因此,用积分的方法可以由边际函数求出总函数。设总量函数p(x)在区间I上可导,其边际函数为p′x,[a,x]∈I,则总有函数p(x)=■p■(u)du+P(a)
当 x 从a 变到b 时,p(x)的改变量为△p=p(x)-p(a)=■p■(u)du将 x 改为产量Q,且a=0 时,将P(x)代之以总成本C(Q)、总收入R(Q)、总利润L(Q),
可得C(Q)=■C■(x)dx其中C0即为固定成本,■C■(x)dx为可变成本R(Q)=■R■(x)dx (因为R(0)=0) L(Q)=■L■(x)dx-C(0)
案例 1[总量函数]已知某公司独家生产某产品,销售Q 单位商品时,边际收入函数为R■(Q)=■-c (元/单位)(a>0,b>0,c>0)。求:(1)公司的总收入函数;(2)该产品的需求函数。
解 (1)总收入函数为R(Q)=■R■(x)dx=■[■-c]dx=-■-cx|=a-■-cQ
(2)设产品的价格为P,则R=PQ=a-■-cQ ,得需求函数为P=■-■ -c=■- c
案例 2[收入流的现值]某企业想购买一台设备,该设备成本为5000 元。T 年后该
设备的报废价值为S(t)=5000-400t 元,使用该设备在t 年时可使企业增加收入850-40t(元)。
若年利率为5%,计算连续复利,企业应在什么时候报废这台设备?此时,总利润的现值是
多少?
解 T 年后总收入的现值为■(850-40t)e-0.05tdt
T 年后总利润的现值为L(T)=■(850-40t)e-0.05tdt+(5000-400T)e-0.05tdt-5000
L′(T)=(850-40t)e-0.05T-400e-0.05T-0.05(5000-400T)e-0.05Tdt=(200-20T)e-0.05T
令L′(T)=0,得T=10。当T<10 时,L′(T)>0,当T<10 时,L′(T)<0,则T=10 是惟一的极大值点。即T=10 时,总利润的现值最大,故应在使用10 年后报废这台机器。此时企业所得的利润的现值为L(10)=■(200-20T)e-0.05TdT=(400T+4000)e-0.05T=825.25(元)
参考文献:
[1]聂洪珍,朱玉芳.高等数学(一)微积分[M].北京:中国对外经济贸易出版社,2003.
[2]张丽玲.微积分在经济学中的应用[J].百色学院学报.2007.
[3]张素芬,王琳.浅谈数学在经济学中的应用[J].商场现代化.2008.
[4][美] 平狄克(Pindyck. R.) ,鲁宾费尔德(Rubinfeld ,D. L. ) . 微观经济学(第四版)[M] . 北京:中国人民大学出版社,2000.
(作者单位:长江大学信息与数学学院)