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胡锦涛同志在党的十六届五中全会讲话中强调，必须提高自主创新能力，把自主创新能力作为科学技术发展的战略基本和调整产业结构、转变增长方式的中心环节，大力提高原始创新能力、集成创新能力和引进消化吸收再创新能力，要加快建设国家创新体系. 温家宝总理指出：最重要的是提高自主创新能力，要把增强自主创新能力作为国家战略，致力于建设创新型国家. 随着数学教学改革深入，“通过义务教育阶段的数学学习，使学生能够具有初步的创新精神和实践能力”的创新能力教育已成为数学教学的一个重点.
初中阶段对学生进行正确的创新教育是培养学生创新能力的关键时期. 因为初中阶段是青少年智力发展的最佳时期，也是身心发展的最主要时期，这时应该把培养他们的创新精神放在突出的位置上. 但在实际教学过程中很多教师只重视知识的传授，停留在教师讲、学生听，课下学生做题教师讲题. 学生在题海中饱受折磨，许多学生失去学习兴趣. 在这种模式下培养出的学生高分低能，将来怎能创造性地为社会服务？改革现在的数学教学状况，只有对学生进行创新思维和创新能力的培养，找到培养和发展学生创新能力的有效途径，在数学教学中愈来愈显得重要.
一、在课堂教学中培养学生的创新思维能力
数学教学大纲指出：“数学教学中，发展思维能力是培养能力的核心. ”这就是说数学的课堂教学不仅是数学知识的传授，更重要的是利用数学知识这个载体来发展学生的思维能力. 数学思维的创新是思维品质的最高层次，只有多种品质协调一致发生作用才能有助于创新思维能力的培养. 学生创新思维能力的培养，创新的课堂教学是主渠道. 要使这条主渠道顺利畅通，就要采用科学探究性的教学模式和创造性培养的教学模式.
1. 培养学生创新思维习惯
（1）按课程的逻辑程序设计问题，培养学生独立思维的习惯. 著名的数学教育家波利亚认为：“高质量的提问，使学生不断产生‘是什么’、‘为什么’的定向反射. ”高质量的提问在课堂教学中不仅可以长时间的维持学生的有意注意，而且还会很好地培养学生的思维习惯.
（2）充分发挥学生的主体作用，培养学生独立思维习惯. 例如，在讲解圆和圆的位置关系时，从学生已有的知识入手，要求学生猜想两圆有哪几种位置关系？并画出相应的图形. 这样学生的思维经历了一个由旧知识到新知识的创新思考的过程.然后通过学生交流，教师拿出两张圆片，一张透明、一张不透明. 演示两圆运动过程，学生观察、归纳两圆的位置关系，进一步寻找每种位置关系对应的数量关系. 然后让学生自己编题巩固所学知识.
这样在设计上注重了结论的探求过程和方法的思考过程的研究，由于学生亲自参与知识的产生过程，由此对知识产生有一种亲近感，由此而陶冶出来的基本态度和思维能力则可以长久地保持并对变化的情况有广泛的适应性.
（3）鼓励大胆质疑、释疑，培养学生敢于思维的习惯. 教师在教学中应不失时机地设疑提问并给学生留有思考的余地；对学生经思考回答的问题正确的应及时给予肯定和鼓励，回答不完善的不应马上否定，而应让学生再想一想，把问题回答得更完善或更准确，以充分保护学生思维的积极性，使学生养成敢于思维的习惯.
2. 培养学生思维的灵活性和独特性
数学是思维的体操. 在教学中，教师应结合教材内容，从新知与旧知、本类与它类、纵向与横向等方面引导学生展开联想，弄清知识之间的联系，以拓宽学生的知识面开拓学生的思维. 在教学中有意识地引导学生一题多解，让学生用不同的思路、方法来解，有利于培养学生思维的广阔性.
例如，课本上有这样一道习题：如图1, AE∥BF,AC平分∠BAD，交BF于点C，BD平分∠ABC，交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD. 求证：四边形ABCD是菱形.
此题是一道不得多得的好题，能把这一节所学的平行四边形和菱形的判定定理结合起来，现作一说明.
（一）利用一组邻边相等的平行四边形是菱形
证法1：由一组对边平行且相等得平行四边形
∵ AC平分∠BAD，∴∠1=∠2.
∵ AE∥BF，∴∠3=∠2.∴∠1=∠3.
∴ AB=BC，同理 AB=AD.
∴ AD∥BC，AD=BC.
∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=CD,
∴平行四边形ABCD是菱形.
证法2：由对角线相互平分得平行四边形
∵ AC平分∠BAD， BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，∠4=∠5.
∵ AE∥BF，∴∠3=∠2.∴∠1=∠3.
∴ AB=BC. ∴△ABO≌△CBO. ∴ AO=CO.
同理 BO=DO.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵ AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形.
（二）利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形
证法1：由一组对边平行且相等得平行四边形
∵ AC平分∠BAD，∴∠1=∠2.
∵ AE∥BF， ∴∠3=∠2， ∴∠1=∠3.
∴ AB=BC，同理 AB=AD.
∴ AD∥BC，AD=BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵ BD平分∠ABC，∴∠4=∠5.
又∵AE∥BF，∴∠EAB+∠ABC=180°.
∴∠1+∠4=90°. ∴ AC⊥BD.
∴平行四边形ABCD是菱形.
证法2：由对角线互相平分得平行四边形
∵ AC平分∠BAD，∴∠1=∠2.
∵ AE∥BF， ∴∠3=∠2. ∴∠1=∠3.
∵ BD平分∠ABC，
∴∠4=∠5. ∴△ABO≌△CBO.
∴ AO=CO.同理 BO=DO.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵ AE∥BF, ∴∠EAB+∠ABC=180°.
∴∠1+∠4=90°. ∴ AC⊥BD.
∴平行四边形ABCD是菱形.
（三）利用四边相等的四边形是菱形
证法1：∵ AC平分∠BAD， ∴∠1=∠2.
∵ AE∥BF， ∴∠3=∠2.∴∠1=∠3.
∵ BD平分∠ABC， ∴∠4=∠5.
∴△ABO≌△CBO. ∴ AO=CO.
∵ AE∥BF， ∴∠EAB+∠ABC=180°.
∴∠1+∠4=90°. ∴ AC⊥BD.
∴ BD垂直平分AC. ∴ DA=DC，BA=BC.
同理 AB=AD.
∴ AB=BC=CD=DA.
∴四边形ABCD是菱形.
证法2：∵ AC平分∠BAD， ∴∠1=∠2.
∵ AE∥BF， ∴∠3=∠2.
∴∠1=∠3.
∵ BD平分∠ABC， ∴∠4=∠5.
∴△ABO≌△CBO.
∴ AO=CO. ∴ AB=BC.
同理 BO=DO， AB=AD.
∵∠AOB=∠COD，
∴△ABO≌△CDO. ∴ AB=CD.
∴ AB=BC=CD=DA.
∴四边形ABCD是菱形.
通过上面分析，证出了△ABO≌△CBO、△ABO≌△CDO后，还可以利用边角关系证明四边形两组对边相等、两组对角相等、两组对边平行来证明四边形ABCD是平行四边形.
另外，有意通过一题多变、一题多答等具有发散性的题型进行训练、培养学生思维的创新性. 例如，在讲相似三角形的应用时，课本有一道测量金字塔高度的例题，在教学中可引导学生将此例稍作改编然后进行一题多变的练习. 已知某一时刻物高与影长的比为2：1，此时学校旗杆在地面上影长为10米，求旗杆高？（这一问题学生很容易解决）
变式1：如果旗杆在地面上影长CD为8米，同时在墙上也形成了2米的影子（BD=2）. 如图2所示，此时旗杆高AC还是20米吗？
有的同学将8米加上2米等于10米，所以认为此时旗杆高还是20米. 另有一些同学在思维上有了新的想法，认为这两部分影长是不可以相加的，从而积极探索新的解法：过点B作BE⊥AC于点E，易得AE =16，所以AC=AE+EC=16+2=18米.
变式2：如果旗杆在地面上影长CD仍为8米，另一部分影子落在了主席台上如图3所示，DF=1米，FB=1米，此时旗杆高 AC又是多少米呢？
解：过点B作BE⊥AC于点E，易得EB=9，AE=18，所以AC=AE+EC=18+1=19米.
变式3：如果旗杆在地面上影长CD仍为8米，另一部分影子落在了台阶上，如图4所示，DB=2，∠CDB=135°，怎样求此时旗杆高？
解：过点B作BE⊥AC于点E，易得BE=8+ ，AE=16+2 ，EC= ，AC=AE+EC=16+3 .
变式4：如果旗杆在地面上影长CD仍为8米，另一部分影子落在了斜坡上. 如图5所示，∠CDB=150°，DB=2此时旗杆高又是多少米呢？
解：过点B作BE⊥AC于E，易得CE=1，BE=8+ ，
AE=16+2 ，AC=AE-CE=15+2 .
做了这样的变式训练后，学生对利用相似解决物高与影长的问题有了更加深刻的认识，甚至有的同学还会想到让一部分影子落在抛物线型的坑中或抛物线型的土堆上，这样又能将相似、二次函数在坐标系中充分结合起来.
数学教学中，“一题多解”、“一题多变”是培养学生思维灵活的一种良好手段，通过“一题多解”、“一题多变”的训练能沟通知识之间的内在联系，提高学生应用所学的基础知识与基本方法的能力. 所以教师在教学过程中要多挖掘一些行之有效的“一题多解”、“一题多变”的例题和习题，培养学生思维的灵活性与独特性. 在实际教学中，让学生结合实际问题自编题目，也有助于创新性思维的培养.
二、克服思维定势，培养学生创新思维和创新能力
1. 思维定势简单地说就是人的一种习惯性思维对后继学习活动的影响，比如我们常说的“经验”，但也有它不利的一面，会影响思维的灵活性，因而在教学中应设法克服学生的某些思维定势，注重多角度思维，培养学生思维的灵活性和全面性.
例如：解方程（2008-x）2+（x-2007）2=1，如果按常规解法去括号、化简整理，难以奏效，但仔细观察、分析不难发现2008与2007的差恰好为1，把方程等号右边的1化成2008－2007并配以－x＋x则可迎刃而解.原方程可化为
（2008-x）2+（x-2007）2=[（2008-x）+（x-2007）]2
化简整理得2（2008－x）（x－2007）=0
解得x1=2008，x2=2007.
2. 在学生的思维定势处巧设陷阱
思维定势对于形成学生的解题能力是有必要的，但思维定势也限制了学生思维创造性，教学中要注意克服学生的思维定势.
例如： m是什么数时，关于x的一元二次方程mx2－（2m＋1）x＋m＝0有两个不相等的实数根？
很多同学只注意由△＝［－（2m＋1）］2－4m•m＝4m2＋4m＋1－4m2＝4m＋1＞0，推得m＞－ .而如果把m＞－ 作为本题答案那就错了，因为当m＝0时，原方程不是二次方程，所以在m＞－ 还得把m＝0这个值排除.
总之，培养学生的创新思维和创新能力是实施“科教兴国”战略的重要举措，是素质教育的重要组成部分，也是构建创新型国家的重要切入点. 教师要全面发展学生，只有在以学生发展为本理念的指引下，大胆探索，激发学生创新意识，张扬学生学习数学的个性，在激发学生兴趣的基础上，科学引导，开发创新潜能，授之以渔，就可让学生在广阔的渔场中用“渔”去捕捉更多的“鱼”.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
初中阶段对学生进行正确的创新教育是培养学生创新能力的关键时期. 因为初中阶段是青少年智力发展的最佳时期，也是身心发展的最主要时期，这时应该把培养他们的创新精神放在突出的位置上. 但在实际教学过程中很多教师只重视知识的传授，停留在教师讲、学生听，课下学生做题教师讲题. 学生在题海中饱受折磨，许多学生失去学习兴趣. 在这种模式下培养出的学生高分低能，将来怎能创造性地为社会服务？改革现在的数学教学状况，只有对学生进行创新思维和创新能力的培养，找到培养和发展学生创新能力的有效途径，在数学教学中愈来愈显得重要.
一、在课堂教学中培养学生的创新思维能力
数学教学大纲指出：“数学教学中，发展思维能力是培养能力的核心. ”这就是说数学的课堂教学不仅是数学知识的传授，更重要的是利用数学知识这个载体来发展学生的思维能力. 数学思维的创新是思维品质的最高层次，只有多种品质协调一致发生作用才能有助于创新思维能力的培养. 学生创新思维能力的培养，创新的课堂教学是主渠道. 要使这条主渠道顺利畅通，就要采用科学探究性的教学模式和创造性培养的教学模式.
1. 培养学生创新思维习惯
（1）按课程的逻辑程序设计问题，培养学生独立思维的习惯. 著名的数学教育家波利亚认为：“高质量的提问，使学生不断产生‘是什么’、‘为什么’的定向反射. ”高质量的提问在课堂教学中不仅可以长时间的维持学生的有意注意，而且还会很好地培养学生的思维习惯.
（2）充分发挥学生的主体作用，培养学生独立思维习惯. 例如，在讲解圆和圆的位置关系时，从学生已有的知识入手，要求学生猜想两圆有哪几种位置关系？并画出相应的图形. 这样学生的思维经历了一个由旧知识到新知识的创新思考的过程.然后通过学生交流，教师拿出两张圆片，一张透明、一张不透明. 演示两圆运动过程，学生观察、归纳两圆的位置关系，进一步寻找每种位置关系对应的数量关系. 然后让学生自己编题巩固所学知识.
这样在设计上注重了结论的探求过程和方法的思考过程的研究，由于学生亲自参与知识的产生过程，由此对知识产生有一种亲近感，由此而陶冶出来的基本态度和思维能力则可以长久地保持并对变化的情况有广泛的适应性.
（3）鼓励大胆质疑、释疑，培养学生敢于思维的习惯. 教师在教学中应不失时机地设疑提问并给学生留有思考的余地；对学生经思考回答的问题正确的应及时给予肯定和鼓励，回答不完善的不应马上否定，而应让学生再想一想，把问题回答得更完善或更准确，以充分保护学生思维的积极性，使学生养成敢于思维的习惯.
2. 培养学生思维的灵活性和独特性
数学是思维的体操. 在教学中，教师应结合教材内容，从新知与旧知、本类与它类、纵向与横向等方面引导学生展开联想，弄清知识之间的联系，以拓宽学生的知识面开拓学生的思维. 在教学中有意识地引导学生一题多解，让学生用不同的思路、方法来解，有利于培养学生思维的广阔性.
例如，课本上有这样一道习题：如图1, AE∥BF,AC平分∠BAD，交BF于点C，BD平分∠ABC，交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD. 求证：四边形ABCD是菱形.
此题是一道不得多得的好题，能把这一节所学的平行四边形和菱形的判定定理结合起来，现作一说明.
（一）利用一组邻边相等的平行四边形是菱形
证法1：由一组对边平行且相等得平行四边形
∵ AC平分∠BAD，∴∠1=∠2.
∵ AE∥BF，∴∠3=∠2.∴∠1=∠3.
∴ AB=BC，同理 AB=AD.
∴ AD∥BC，AD=BC.
∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=CD,
∴平行四边形ABCD是菱形.
证法2：由对角线相互平分得平行四边形
∵ AC平分∠BAD， BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，∠4=∠5.
∵ AE∥BF，∴∠3=∠2.∴∠1=∠3.
∴ AB=BC. ∴△ABO≌△CBO. ∴ AO=CO.
同理 BO=DO.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵ AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形.
（二）利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形
证法1：由一组对边平行且相等得平行四边形
∵ AC平分∠BAD，∴∠1=∠2.
∵ AE∥BF， ∴∠3=∠2， ∴∠1=∠3.
∴ AB=BC，同理 AB=AD.
∴ AD∥BC，AD=BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵ BD平分∠ABC，∴∠4=∠5.
又∵AE∥BF，∴∠EAB+∠ABC=180°.
∴∠1+∠4=90°. ∴ AC⊥BD.
∴平行四边形ABCD是菱形.
证法2：由对角线互相平分得平行四边形
∵ AC平分∠BAD，∴∠1=∠2.
∵ AE∥BF， ∴∠3=∠2. ∴∠1=∠3.
∵ BD平分∠ABC，
∴∠4=∠5. ∴△ABO≌△CBO.
∴ AO=CO.同理 BO=DO.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵ AE∥BF, ∴∠EAB+∠ABC=180°.
∴∠1+∠4=90°. ∴ AC⊥BD.
∴平行四边形ABCD是菱形.
（三）利用四边相等的四边形是菱形
证法1：∵ AC平分∠BAD， ∴∠1=∠2.
∵ AE∥BF， ∴∠3=∠2.∴∠1=∠3.
∵ BD平分∠ABC， ∴∠4=∠5.
∴△ABO≌△CBO. ∴ AO=CO.
∵ AE∥BF， ∴∠EAB+∠ABC=180°.
∴∠1+∠4=90°. ∴ AC⊥BD.
∴ BD垂直平分AC. ∴ DA=DC，BA=BC.
同理 AB=AD.
∴ AB=BC=CD=DA.
∴四边形ABCD是菱形.
证法2：∵ AC平分∠BAD， ∴∠1=∠2.
∵ AE∥BF， ∴∠3=∠2.
∴∠1=∠3.
∵ BD平分∠ABC， ∴∠4=∠5.
∴△ABO≌△CBO.
∴ AO=CO. ∴ AB=BC.
同理 BO=DO， AB=AD.
∵∠AOB=∠COD，
∴△ABO≌△CDO. ∴ AB=CD.
∴ AB=BC=CD=DA.
∴四边形ABCD是菱形.
通过上面分析，证出了△ABO≌△CBO、△ABO≌△CDO后，还可以利用边角关系证明四边形两组对边相等、两组对角相等、两组对边平行来证明四边形ABCD是平行四边形.
另外，有意通过一题多变、一题多答等具有发散性的题型进行训练、培养学生思维的创新性. 例如，在讲相似三角形的应用时，课本有一道测量金字塔高度的例题，在教学中可引导学生将此例稍作改编然后进行一题多变的练习. 已知某一时刻物高与影长的比为2：1，此时学校旗杆在地面上影长为10米，求旗杆高？（这一问题学生很容易解决）
变式1：如果旗杆在地面上影长CD为8米，同时在墙上也形成了2米的影子（BD=2）. 如图2所示，此时旗杆高AC还是20米吗？
有的同学将8米加上2米等于10米，所以认为此时旗杆高还是20米. 另有一些同学在思维上有了新的想法，认为这两部分影长是不可以相加的，从而积极探索新的解法：过点B作BE⊥AC于点E，易得AE =16，所以AC=AE+EC=16+2=18米.
变式2：如果旗杆在地面上影长CD仍为8米，另一部分影子落在了主席台上如图3所示，DF=1米，FB=1米，此时旗杆高 AC又是多少米呢？
解：过点B作BE⊥AC于点E，易得EB=9，AE=18，所以AC=AE+EC=18+1=19米.
变式3：如果旗杆在地面上影长CD仍为8米，另一部分影子落在了台阶上，如图4所示，DB=2，∠CDB=135°，怎样求此时旗杆高？
解：过点B作BE⊥AC于点E，易得BE=8+ ，AE=16+2 ，EC= ，AC=AE+EC=16+3 .
变式4：如果旗杆在地面上影长CD仍为8米，另一部分影子落在了斜坡上. 如图5所示，∠CDB=150°，DB=2此时旗杆高又是多少米呢？
解：过点B作BE⊥AC于E，易得CE=1，BE=8+ ，
AE=16+2 ，AC=AE-CE=15+2 .
做了这样的变式训练后，学生对利用相似解决物高与影长的问题有了更加深刻的认识，甚至有的同学还会想到让一部分影子落在抛物线型的坑中或抛物线型的土堆上，这样又能将相似、二次函数在坐标系中充分结合起来.
数学教学中，“一题多解”、“一题多变”是培养学生思维灵活的一种良好手段，通过“一题多解”、“一题多变”的训练能沟通知识之间的内在联系，提高学生应用所学的基础知识与基本方法的能力. 所以教师在教学过程中要多挖掘一些行之有效的“一题多解”、“一题多变”的例题和习题，培养学生思维的灵活性与独特性. 在实际教学中，让学生结合实际问题自编题目，也有助于创新性思维的培养.
二、克服思维定势，培养学生创新思维和创新能力
1. 思维定势简单地说就是人的一种习惯性思维对后继学习活动的影响，比如我们常说的“经验”，但也有它不利的一面，会影响思维的灵活性，因而在教学中应设法克服学生的某些思维定势，注重多角度思维，培养学生思维的灵活性和全面性.
例如：解方程（2008-x）2+（x-2007）2=1，如果按常规解法去括号、化简整理，难以奏效，但仔细观察、分析不难发现2008与2007的差恰好为1，把方程等号右边的1化成2008－2007并配以－x＋x则可迎刃而解.原方程可化为
（2008-x）2+（x-2007）2=[（2008-x）+（x-2007）]2
化简整理得2（2008－x）（x－2007）=0
解得x1=2008，x2=2007.
2. 在学生的思维定势处巧设陷阱
思维定势对于形成学生的解题能力是有必要的，但思维定势也限制了学生思维创造性，教学中要注意克服学生的思维定势.
例如： m是什么数时，关于x的一元二次方程mx2－（2m＋1）x＋m＝0有两个不相等的实数根？
很多同学只注意由△＝［－（2m＋1）］2－4m•m＝4m2＋4m＋1－4m2＝4m＋1＞0，推得m＞－ .而如果把m＞－ 作为本题答案那就错了，因为当m＝0时，原方程不是二次方程，所以在m＞－ 还得把m＝0这个值排除.
总之，培养学生的创新思维和创新能力是实施“科教兴国”战略的重要举措，是素质教育的重要组成部分，也是构建创新型国家的重要切入点. 教师要全面发展学生，只有在以学生发展为本理念的指引下，大胆探索，激发学生创新意识，张扬学生学习数学的个性，在激发学生兴趣的基础上，科学引导，开发创新潜能，授之以渔，就可让学生在广阔的渔场中用“渔”去捕捉更多的“鱼”.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文