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摘 要：外汇期权属于期权家族中的一种，它与其他种类的期权有共同点，也有不同点，外汇期权涉及的是两种货币，牵扯到两种货币利率的问题。这里我们针对美式期权的定价做一探讨：以一个USD Call/JPY Put美式外汇期权为例，说明如何利用二项式模型为美式外汇期权定价。
关键词：外汇期权；期权定价；美式外汇期权定价
中图分类号：F83文献标识码：A文章编号：1672-3198（2008）01-0082-01
美式外汇期权是指，期权的买方可以在成交日至期权到期日之间的任何时间要求卖方履约-按照预先确定的某个汇率即执行价格(Exercise Price)用一定数量的货币购买(美式买权或美式看涨)或卖出(美式卖权或美式看跌)另一种货币。
美式外汇期权有提前履行的特点，所以对于其他各要素均相同的欧式外汇期权来说，美式 外汇期权的价值大于或等于欧式外汇期权的价值。因为履约时间的不确定性，美式外汇期权得不到解析定价公式，但我们可以用二项式期权定价原理为美式外汇期权定价。
这里我们以一个USD Call/JPY Put美式外汇期权为例，说明如何利用二项式模型为美式外汇期权定价。
假设目前日元对美元汇率是S=120，未来每一期汇率变动的可能是上涨为原来的u倍或下跌为原来的d倍(设u=l.02，d=0.98)，期权有效期为一个月，在期权有效期内，日元的一个月定期年利率是rd=0.01%，美元的一个月定期年利率是rd=0.5%，设一个月期的USD Call/JPY Put美式期权(期权合约面值l美元)的协定汇率是120。
现在我们根据二项式定价模型计算该美式买权的初始价值:
(l)期权有效期分为两期:t=0至t=1和t=l至t=2。首先计算美元在未来两期的可能变动情况，见图1所示:
(2)根据美元的可能变动情况与协定汇率计算该美元买权的执行价值(执行价值是结束美式期权的价格，执行价值=max(S-X，O))，见图2所示:
(3)根据第二步骤的执行价值，计算该美元买权的合理价格(合理价格是活着的价格，即不被执行的价格，等于下一期期望价格的贴现值)。其中所采用的上涨、下降的概率如下面的公式:
现证明如下:
首先利用期权和美元债券建立一个无风险投资组合。假设某投资者期末持有一单位美元债券多头和H个美元买权空头，那么，以日元衡量的套期保值组合的期末价值Vt，其结果参见下表1:
期末一单位美元债券多头的价值美元Callad期权空头期末价值套期保值组合期末总价值Vt
为了使套期保值组合的期末总价值中性，则必须要求Vt不随St变化而变化，即保持期权组合风险中性，则必须要求
解方程即得:
其次，计算一下该投资者期初总支出Vo。期末一单位美元债券多头贴现回期初，以美元计价的债券期初价格为1×e-rft，投资者当时所支出日元则为1×e-rft×S;投资者期初同时卖出H个美元Call期权，每个Call期权价格为Co(以日元计价)，所收取的日元为H×Co，这样就减少了期初的日元支出，则以日元衡量的套期保值组合期初总支出Vo为
再次，通过构造无风险投资组合，求出美元Call期权价值。显然，只有当以本币衡量的套期保值组合的期末价值Vt与期初价值Vo之比等于日元资金市场上无风险收益率时，这种组合就不存在超额无风险利润(若期末价值与期初价值之比不等于日元无风险收益率，就会有获取超额无风险利润的套利机会)，即：
最后解得
如果将图1二项式分支过程理解为一个伯努利概率过程，那么这个p值可理解为期初即期汇率S上升到期末即期汇率us的概率;当然从S下降到ds的概率为(1-P)。特别要指出的是，只有当这个p值与u、d的关系满足式(3-19)时，才有可能构造无风险投资组合，该组合既不存在汇率变动风险，也不存在获取超额无风险利润的套利机会;并且，当式(3-19)满足时，则在p、u和d三个变量中，一个变量可由另外两个变量所确定。
在t=l时，当美元上升至122.4时，该美元的合理价格2.3765，低于执行价格2.4，故应在此时提前执行该美元买权较有利。
(4)t=0时，该美元买权合理价格的计算应以在t=l的理性执行策略为主:
在t=l时，该买权的可能合理(这里的可能合理是基于概率意义上的理性合理)价格为2.4(=Cu)与0(=Cd)，故在t=0时该美元买权的合理价格为:
到此，我们已经推算出该美式美元买权的初始价格为C=1.176(日元)。
在外汇市场中应用的期权定价模型一般分为欧式外汇期权定价和美式外汇期权定价。本文从二项式期权定价模型入手，结合了外汇期权自身的特点，在二项期权定价模型基础上推导出了美式外汇期权的定价公式，并以USD Call/JPY Put美式外汇期权为例，说明了如何利用二项树模型为美食外汇期权定价。
在美式外汇期权定价中，当将有效期划分的期数越多的时候，计算出的期权价格精确度会变得越高。以上所推演的美式外汇买权二项式定价模型同样适用于美式卖权的定价，与计算美式买权唯一不同的是美式卖权的执行价值应为max(X-S，0)。
参考文献
［1］姜礼尚.期权定价的数学模型和方法［M］.北京:高等教育出版社，2003.
［2］陈舜著.期权定价理论及其应用［M］.北京:中国金融出版社，1998.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
关键词：外汇期权；期权定价；美式外汇期权定价
中图分类号：F83文献标识码：A文章编号：1672-3198（2008）01-0082-01
美式外汇期权是指，期权的买方可以在成交日至期权到期日之间的任何时间要求卖方履约-按照预先确定的某个汇率即执行价格(Exercise Price)用一定数量的货币购买(美式买权或美式看涨)或卖出(美式卖权或美式看跌)另一种货币。
美式外汇期权有提前履行的特点，所以对于其他各要素均相同的欧式外汇期权来说，美式 外汇期权的价值大于或等于欧式外汇期权的价值。因为履约时间的不确定性，美式外汇期权得不到解析定价公式，但我们可以用二项式期权定价原理为美式外汇期权定价。
这里我们以一个USD Call/JPY Put美式外汇期权为例，说明如何利用二项式模型为美式外汇期权定价。
假设目前日元对美元汇率是S=120，未来每一期汇率变动的可能是上涨为原来的u倍或下跌为原来的d倍(设u=l.02，d=0.98)，期权有效期为一个月，在期权有效期内，日元的一个月定期年利率是rd=0.01%，美元的一个月定期年利率是rd=0.5%，设一个月期的USD Call/JPY Put美式期权(期权合约面值l美元)的协定汇率是120。
现在我们根据二项式定价模型计算该美式买权的初始价值:
(l)期权有效期分为两期:t=0至t=1和t=l至t=2。首先计算美元在未来两期的可能变动情况，见图1所示:
(2)根据美元的可能变动情况与协定汇率计算该美元买权的执行价值(执行价值是结束美式期权的价格，执行价值=max(S-X，O))，见图2所示:
(3)根据第二步骤的执行价值，计算该美元买权的合理价格(合理价格是活着的价格，即不被执行的价格，等于下一期期望价格的贴现值)。其中所采用的上涨、下降的概率如下面的公式:
现证明如下:
首先利用期权和美元债券建立一个无风险投资组合。假设某投资者期末持有一单位美元债券多头和H个美元买权空头，那么，以日元衡量的套期保值组合的期末价值Vt，其结果参见下表1:
期末一单位美元债券多头的价值美元Callad期权空头期末价值套期保值组合期末总价值Vt
为了使套期保值组合的期末总价值中性，则必须要求Vt不随St变化而变化，即保持期权组合风险中性，则必须要求
解方程即得:
其次，计算一下该投资者期初总支出Vo。期末一单位美元债券多头贴现回期初，以美元计价的债券期初价格为1×e-rft，投资者当时所支出日元则为1×e-rft×S;投资者期初同时卖出H个美元Call期权，每个Call期权价格为Co(以日元计价)，所收取的日元为H×Co，这样就减少了期初的日元支出，则以日元衡量的套期保值组合期初总支出Vo为
再次，通过构造无风险投资组合，求出美元Call期权价值。显然，只有当以本币衡量的套期保值组合的期末价值Vt与期初价值Vo之比等于日元资金市场上无风险收益率时，这种组合就不存在超额无风险利润(若期末价值与期初价值之比不等于日元无风险收益率，就会有获取超额无风险利润的套利机会)，即：
最后解得
如果将图1二项式分支过程理解为一个伯努利概率过程，那么这个p值可理解为期初即期汇率S上升到期末即期汇率us的概率;当然从S下降到ds的概率为(1-P)。特别要指出的是，只有当这个p值与u、d的关系满足式(3-19)时，才有可能构造无风险投资组合，该组合既不存在汇率变动风险，也不存在获取超额无风险利润的套利机会;并且，当式(3-19)满足时，则在p、u和d三个变量中，一个变量可由另外两个变量所确定。
在t=l时，当美元上升至122.4时，该美元的合理价格2.3765，低于执行价格2.4，故应在此时提前执行该美元买权较有利。
(4)t=0时，该美元买权合理价格的计算应以在t=l的理性执行策略为主:
在t=l时，该买权的可能合理(这里的可能合理是基于概率意义上的理性合理)价格为2.4(=Cu)与0(=Cd)，故在t=0时该美元买权的合理价格为:
到此，我们已经推算出该美式美元买权的初始价格为C=1.176(日元)。
在外汇市场中应用的期权定价模型一般分为欧式外汇期权定价和美式外汇期权定价。本文从二项式期权定价模型入手，结合了外汇期权自身的特点，在二项期权定价模型基础上推导出了美式外汇期权的定价公式，并以USD Call/JPY Put美式外汇期权为例，说明了如何利用二项树模型为美食外汇期权定价。
在美式外汇期权定价中，当将有效期划分的期数越多的时候，计算出的期权价格精确度会变得越高。以上所推演的美式外汇买权二项式定价模型同样适用于美式卖权的定价，与计算美式买权唯一不同的是美式卖权的执行价值应为max(X-S，0)。
参考文献
［1］姜礼尚.期权定价的数学模型和方法［M］.北京:高等教育出版社，2003.
［2］陈舜著.期权定价理论及其应用［M］.北京:中国金融出版社，1998.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。