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摘要： 图像碎片自动拼接技术是借助计算机把大量的图像碎片重新拼接成初始图像的完整模型.本文在综合分析的基础上，建立了阈值分割、动态规划等数学模型，通过利用边缘特征近似相等的原理将不同程度切割所得的碎纸片进行还原修复.
关键词： 阈值分割；碎纸片复原；动态规划；软件
1 绪论
1.1 研究背景
破碎文件的拼接在司法物证复原以及军事情报获取等领域都有着重要的应用.传统上，拼接复原工作需由人工完成，准确率较高，但是效率很低.特别是当碎片数量巨大，因此人工拼接很难在短时间内完成任务.随着计算机技术的发展，人们试图开发碎纸片的自动拼接技术，以提高图片拼接复原效率.要从成千上万的图像碎片中找到相互邻接的图像碎片，并最终拼出完整的图型，没有计算机的辅助是很难实现的.因此，一种能够快速且高效的恢复碎纸机数据文档技术的研究有巨大的现实意义.
2 模型假设
1.碎纸机横纵切割平滑，切割面完整.
2.切割图片时无数据量丢失.
3.两幅图像之间没有重叠部分.
4.碎纸片图像四周无全白.
5.碎纸机切割的图片全为大小规格相同的矩形.
3 符号说明
4 模型建立与求解
4.1 纵切碎纸片的模型建立和求解
为了得到碎纸片左右边缘的特征信息，首先将碎纸片进行图像碎片的预处理，对于碎纸片来说，就是将其数字化，获得可处理的图像碎片.本文首先应用软件设计程序将碎图片一次性导入到程序中，然后通过建立图像阈值分割模型对每张碎纸片進行二值化处理.
为了便于计算，本文将所有黑色像素点用灰度值0表示；白色像素点灰度值为1，表示背景. 本文将值定义为254，对所给图片进行二值化处理，得到所有图像二值化数据. 图像阈值化处理的变换函数形式如下：
将图像左右边缘二值化后的像素点所得灰度值看作单个向量，应用程序对两图片向量进行余弦值求解，通过图像右边缘向量与相邻图片像左边缘向量夹角余弦值近似等于1的原理复原图像.
在确立图像左边缘破碎图片的右边缘向量，用建立余弦求解模型时，需要对剩余所有图像的左边缘进行模型求解，筛选出其中最大值所对应的图片标号，继而用此标号所对应图片进行下一步余弦求解.在求解剩余图片对应余弦值时，已确定图片的数据需要人工删除.
动态规划模型也是求解这类问题的一种方法.其中，解决本问题所用到的方法是算法.
本文首先定义一初始全一列向量且与同维，，为了确定第一张碎片使得与的夹角余弦值最大或两向量与之差的模最小，令其所对应碎片的右向量为（即左起第一张碎片），将赋值给，确定第二张碎片，以此类推，直到找到第十九张碎片.因此，本文建立动态规划模型：
通过运用程序求解已確定左端图片位置的右边缘向量和剩余所有图片的左向量，并求出相应图片所对应编号.
经最短路问题，筛选所得最大余弦值结果并排序所得的碎纸片编码将所得碎纸片的图片编号依次整合，施以人工筛选，排序，通过依次导入程序中，便可得到碎纸片的复原图.
4.2 横纵切的模型建立和求解
本问题基于纵切图型增设了碎纸片的横向切割，在解决此问题时首先通过纵切建立的阈值切割模型将碎纸片二值处理，获得碎纸片左右及上下边缘的特征数据.根据模型一求解方法确定图象左右边缘的碎纸片，通过动态规划模型先确定左上第一张碎片位置，利用向量夹角余弦值或向量间模长最小值应用动态规划模型建立方程，确定其右端碎片和下端碎片位置，以此类推最终拼接复原出原图.因此本文建立以下动态规划模型：
4.3 双面碎纸片的模型建立和求解
本问题基于上述两大模型，在问题二基础上增加了纸张的正反面问题.首先对图像边缘数据进行二值化处理，根据图像正面左边缘就是图像反面右边缘继而确定原图片左右边缘碎纸片，图像的左右边缘数据一定满足其左边缘数据和相应反面的右边缘数据全为白色，即：
其中，为图像反面对应的右边缘向量.
对已确定图像左右边缘的碎纸片图像进行相邻碎纸片图像的左右拼接，应用程序对两图片向量进行余弦值求解，通过求得图像右边缘向量与相邻图片像左边缘的所有向量夹角余弦值，应用最短路问题人工筛选干预，先确定每一小行图像片段.继而通过已拼接完成的碎纸片行图像片段进行上下边缘的夹角余弦值求解，重复应用问题二的求解方法解决上下行之间的排序问题.由于图像正反面成对称性，所以只要确定纸张的一面，另外一面通过逆序排列即可得到原图.
5 模型评价
5.1 阈值分割模型
阈值分割法因其实现简单，计算量小以用于很多领域.可以极大的压缩数据量而且也大大简化了分析和处理步骤.在阈值分割模型中，阈值的选取是图像阈值分割方法中的关键技术.若阈值的选择不恰当，最终结果会因为误差的增大导致差异.
5.2 动态规划模型：
建立的动态规划模型具有一般性，而且简单易懂可操作性强，同时还可以推广到其他的动态规划问题上.当出现两向量夹角余弦值相等时在选择的时候容易出现误差.且筛选数据时人工干预的次数太多，容易出现误差而导致结果的差异.
参考文献：
[1] 张强，王正林.精通MATLAB图像处理第二版[M].北京：电子工业出版社，2012.
[2] 吴炯圻，林培荣.数学思想方法[M]. 北京：高等教育出版社，2005.[6]
[3]张雄，李得虎等. 数学方法论与解题研究[M].北京：高等教育出版社，2005.
[4]徐树道. 数学方法论[M].桂林：广西师范大学出版社，2001.
[5]王子兴.数学方法论-问题解决的理论[M].长沙：中南大学出版社，2002.
[6]高秀莲，董立华.数学建模与数学实验[M].天津：天津教育出版社，2010.
关键词： 阈值分割；碎纸片复原；动态规划；软件
1 绪论
1.1 研究背景
破碎文件的拼接在司法物证复原以及军事情报获取等领域都有着重要的应用.传统上，拼接复原工作需由人工完成，准确率较高，但是效率很低.特别是当碎片数量巨大，因此人工拼接很难在短时间内完成任务.随着计算机技术的发展，人们试图开发碎纸片的自动拼接技术，以提高图片拼接复原效率.要从成千上万的图像碎片中找到相互邻接的图像碎片，并最终拼出完整的图型，没有计算机的辅助是很难实现的.因此，一种能够快速且高效的恢复碎纸机数据文档技术的研究有巨大的现实意义.
2 模型假设
1.碎纸机横纵切割平滑，切割面完整.
2.切割图片时无数据量丢失.
3.两幅图像之间没有重叠部分.
4.碎纸片图像四周无全白.
5.碎纸机切割的图片全为大小规格相同的矩形.
3 符号说明
4 模型建立与求解
4.1 纵切碎纸片的模型建立和求解
为了得到碎纸片左右边缘的特征信息，首先将碎纸片进行图像碎片的预处理，对于碎纸片来说，就是将其数字化，获得可处理的图像碎片.本文首先应用软件设计程序将碎图片一次性导入到程序中，然后通过建立图像阈值分割模型对每张碎纸片進行二值化处理.
为了便于计算，本文将所有黑色像素点用灰度值0表示；白色像素点灰度值为1，表示背景. 本文将值定义为254，对所给图片进行二值化处理，得到所有图像二值化数据. 图像阈值化处理的变换函数形式如下：
将图像左右边缘二值化后的像素点所得灰度值看作单个向量，应用程序对两图片向量进行余弦值求解，通过图像右边缘向量与相邻图片像左边缘向量夹角余弦值近似等于1的原理复原图像.
在确立图像左边缘破碎图片的右边缘向量，用建立余弦求解模型时，需要对剩余所有图像的左边缘进行模型求解，筛选出其中最大值所对应的图片标号，继而用此标号所对应图片进行下一步余弦求解.在求解剩余图片对应余弦值时，已确定图片的数据需要人工删除.
动态规划模型也是求解这类问题的一种方法.其中，解决本问题所用到的方法是算法.
本文首先定义一初始全一列向量且与同维，，为了确定第一张碎片使得与的夹角余弦值最大或两向量与之差的模最小，令其所对应碎片的右向量为（即左起第一张碎片），将赋值给，确定第二张碎片，以此类推，直到找到第十九张碎片.因此，本文建立动态规划模型：
通过运用程序求解已確定左端图片位置的右边缘向量和剩余所有图片的左向量，并求出相应图片所对应编号.
经最短路问题，筛选所得最大余弦值结果并排序所得的碎纸片编码将所得碎纸片的图片编号依次整合，施以人工筛选，排序，通过依次导入程序中，便可得到碎纸片的复原图.
4.2 横纵切的模型建立和求解
本问题基于纵切图型增设了碎纸片的横向切割，在解决此问题时首先通过纵切建立的阈值切割模型将碎纸片二值处理，获得碎纸片左右及上下边缘的特征数据.根据模型一求解方法确定图象左右边缘的碎纸片，通过动态规划模型先确定左上第一张碎片位置，利用向量夹角余弦值或向量间模长最小值应用动态规划模型建立方程，确定其右端碎片和下端碎片位置，以此类推最终拼接复原出原图.因此本文建立以下动态规划模型：
4.3 双面碎纸片的模型建立和求解
本问题基于上述两大模型，在问题二基础上增加了纸张的正反面问题.首先对图像边缘数据进行二值化处理，根据图像正面左边缘就是图像反面右边缘继而确定原图片左右边缘碎纸片，图像的左右边缘数据一定满足其左边缘数据和相应反面的右边缘数据全为白色，即：
其中，为图像反面对应的右边缘向量.
对已确定图像左右边缘的碎纸片图像进行相邻碎纸片图像的左右拼接，应用程序对两图片向量进行余弦值求解，通过求得图像右边缘向量与相邻图片像左边缘的所有向量夹角余弦值，应用最短路问题人工筛选干预，先确定每一小行图像片段.继而通过已拼接完成的碎纸片行图像片段进行上下边缘的夹角余弦值求解，重复应用问题二的求解方法解决上下行之间的排序问题.由于图像正反面成对称性，所以只要确定纸张的一面，另外一面通过逆序排列即可得到原图.
5 模型评价
5.1 阈值分割模型
阈值分割法因其实现简单，计算量小以用于很多领域.可以极大的压缩数据量而且也大大简化了分析和处理步骤.在阈值分割模型中，阈值的选取是图像阈值分割方法中的关键技术.若阈值的选择不恰当，最终结果会因为误差的增大导致差异.
5.2 动态规划模型：
建立的动态规划模型具有一般性，而且简单易懂可操作性强，同时还可以推广到其他的动态规划问题上.当出现两向量夹角余弦值相等时在选择的时候容易出现误差.且筛选数据时人工干预的次数太多，容易出现误差而导致结果的差异.
参考文献：
[1] 张强，王正林.精通MATLAB图像处理第二版[M].北京：电子工业出版社，2012.
[2] 吴炯圻，林培荣.数学思想方法[M]. 北京：高等教育出版社，2005.[6]
[3]张雄，李得虎等. 数学方法论与解题研究[M].北京：高等教育出版社，2005.
[4]徐树道. 数学方法论[M].桂林：广西师范大学出版社，2001.
[5]王子兴.数学方法论-问题解决的理论[M].长沙：中南大学出版社，2002.
[6]高秀莲，董立华.数学建模与数学实验[M].天津：天津教育出版社，2010.