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摘 要：“数”与“形”是数学领域两大研究主题，“数”就是数量关系，准确、可操作、易于掌握，“形”则是空间形式，生动、直观、易于理解.数形结合可以把二者进行转化统一，从而达到认识数学本质的效果.
关键词：数变形;观察讨论;形变数
一、数变形，直观发现数的关系
在数学学习的过程中，有些数量关系十分抽象，学生难以理解，而图形的优点就是直观、形象.考虑到数与形本来就存在一种对应关系，我们可以把“数”转换成“形”，利用图形解决有关数量的问题.
例1求|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值.
【教学片段一】
师：题目中给出的式子，你是如何理解的？这个式子又为何会有最小值呢？
生1：这个式子表示的是三个绝对值运算的和，由于式子中含有未知数x，x每取一个值这个式子就会有一个值与它相对应，所以式子的值是可以变化的，在变化过程中存在一个最小值.师：非常好，你的分析十分到位.怎样研究这个最小值呢？我们先从简单的入手.（把难题分解成一个个小问题，由易及难，一步步解决）师：|x+1|有最小值吗？最小值是什么？此时x的取值是什么？
生2：由于绝对值运算具有非负性，即|m|≥0，所以|x+1|≥0，易知|x+1|的值最小是0，此时x=-1.师：（追问）是的，没错，绝对值运算的结果都是非负数，这是什么原因呢？生2：绝对值代表的是一段距离，是两个点之间的距离，如|-2|就是-2到原点的距离，|m|就是m到原点的距离，师：这是绝对值的定义，你记得真清楚，给你点赞！那么|x+1|可以看成两点之间的距离吗？是哪两个点之间的距离呢？（引导学生从几何角度思考问题，为下面揭示数形结合思想做铺垫）
生3：可以看成x到-1的距离.师：（追问）什么情况下x到-1的距离最短呢？生3：x与-1重合的时候距离最短，最短距离是0.师：很好，这是我们从几何的角度对|x+1|的最小值进行的分析，下面难度升级，我们进一步讨论|x+1|+|x-2|的最小值.
生4：|x+1|+|x-2|的最小值就是x到-1的距离与x到2的距离之和的最小值.师：看来你想从几何角度解决这个问题，那这个最小值该怎么研究呢？老师给出一个小提示，还记得我们的老朋友“数轴”吗？认真思考一下，在学习小组中交流自己的想法.
生5：可以借助数轴，在数轴上找到-1、2的位置，记为点A、B，而x由于可以取不同的值，所以x可以看成一个动点C，可以取数轴上的任意点.师：你的想法太好了！大家自己动手按照这个思路画一画数轴，标出-1和2的位置，观察在x变化过程中，动点落在哪个位置时式子的值最小，并与同桌交流一下你的想法.学生自己动手操作，经历画图、观察、讨论的过程，借助图形分析数量的变化.
生6：根据数轴分析A、B两个定点及动点C，发现当点C落在点A、B间任意位置时，点C到点A、B的距离之和都等于点A与B之间的距离3，而当动点C落在点A的左边和点B的右边的位置时，点C到点A、B的距离之和都大于3.因此|x+1|+|x-2|的最小值就是-1与2的距离3.师：大家也是这样思考的吗？我们一起来给这位同学鼓鼓掌，讲得真好！师：有没有同学从代数角度思考呢？学生沉默.师：看来从代数角度出发的同学都遇到了困难，难以找到思路，而当我们换一个角度，把数变形之后，从几何角度出发，思路就很清晰了.师：接下来，我们就进行最后一步的研究，|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值是什么呢？你们有什么想法？生7：还是从几何角度入手，把-1、2、3看成定点A、B、C，x是动点D，|x+1|+|x-2|+|x-3|就是动点D到定点A、B、C的距离之和，在数轴上表示出定点的位置，观察在动点D运动的过程中距离的变化规律.师：（追问）随着动点D的变化，再结合前面的研究，你有什么发现？
生7：在研究第二种情形时，我们发现当动点落在点A、B之间时，距离之和最小，推测第三种情形下当动点D与定点B重合时，距离和最短，即为点A、C之间的距离4.师：大家同意他的看法吗？看来大家已经初步掌握了借助数轴分析这类问题的方法，解题过程中最重要的一步便是将绝对值的运算变成几何方面的问题，借助图形研究数量把数变形.
二、形变数，挖掘图形中的隐含信息
利用数量来解决图形的问题，要充分利用几何图形的性质和意义挖掘出图形中的隐含条件，把图形问题转化成数量问题，并通过分析计算、逻辑推理解决图形问题.
例2《九章算术》中记录了这样一个问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”你能给出解答吗？
【教学片段二】
师：同学们，通过阅读例2，你们获得了哪些数学信息呢？生1：葭生池中央，所以B′C的长度是5尺，葭出水一尺，所以BC的长度是1尺.师：（追问）很好，这是题目直接告诉我们的信息，还有没有隐藏着的信息呢？认真阅读题目，你能发现葭有什么变化吗？
生1：我发现葭有两种状态，一种是在池中央出水一尺，另一种是葭赴岸与岸齐.师：（再问）这两种状态下，有什么量是不发生改变的？生1：葭长不变，也就是AB=AB′.师：对，这个隐藏信息是我们解题的一个突破口.还有没有同学能发现其他的隐藏条件呢？
生2：∠ACB′=90°，三角形ACB′是直角三角形.师：是的，葭与水平面是垂直的，结合这个隐藏条件，你们打算怎么解决这个问题呢？
生3：运用勾股定理解决.师：（追问）对哪个直角三角形用勾股定理？知道三角形中哪些条件？生3：在直角三角形ACB′中，∠ACB′=90°，B′C=5尺.师：（再问）勾股定理是关于直角三角形三边关系的，可是在直角三角形ACB′中我们只知道其中一边，怎么办呢？生3：可以设AC长为x尺，则AB长为x+1尺，即AB′为x+1尺.师：你说得非常好！AC和AB′是有聯系的，设出一个未知数，就可以把两个量都表示出来，这样直角三角形的三边就都表示出来了，也就可以用勾股定理了.
由以上两例可见，在教学过程中，教师如能有意识地渗透数形结合的思想方法，将对学生理解学习内容的数学本质有事半功倍的效果.
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
关键词：数变形;观察讨论;形变数
一、数变形，直观发现数的关系
在数学学习的过程中，有些数量关系十分抽象，学生难以理解，而图形的优点就是直观、形象.考虑到数与形本来就存在一种对应关系，我们可以把“数”转换成“形”，利用图形解决有关数量的问题.
例1求|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值.
【教学片段一】
师：题目中给出的式子，你是如何理解的？这个式子又为何会有最小值呢？
生1：这个式子表示的是三个绝对值运算的和，由于式子中含有未知数x，x每取一个值这个式子就会有一个值与它相对应，所以式子的值是可以变化的，在变化过程中存在一个最小值.师：非常好，你的分析十分到位.怎样研究这个最小值呢？我们先从简单的入手.（把难题分解成一个个小问题，由易及难，一步步解决）师：|x+1|有最小值吗？最小值是什么？此时x的取值是什么？
生2：由于绝对值运算具有非负性，即|m|≥0，所以|x+1|≥0，易知|x+1|的值最小是0，此时x=-1.师：（追问）是的，没错，绝对值运算的结果都是非负数，这是什么原因呢？生2：绝对值代表的是一段距离，是两个点之间的距离，如|-2|就是-2到原点的距离，|m|就是m到原点的距离，师：这是绝对值的定义，你记得真清楚，给你点赞！那么|x+1|可以看成两点之间的距离吗？是哪两个点之间的距离呢？（引导学生从几何角度思考问题，为下面揭示数形结合思想做铺垫）
生3：可以看成x到-1的距离.师：（追问）什么情况下x到-1的距离最短呢？生3：x与-1重合的时候距离最短，最短距离是0.师：很好，这是我们从几何的角度对|x+1|的最小值进行的分析，下面难度升级，我们进一步讨论|x+1|+|x-2|的最小值.
生4：|x+1|+|x-2|的最小值就是x到-1的距离与x到2的距离之和的最小值.师：看来你想从几何角度解决这个问题，那这个最小值该怎么研究呢？老师给出一个小提示，还记得我们的老朋友“数轴”吗？认真思考一下，在学习小组中交流自己的想法.
生5：可以借助数轴，在数轴上找到-1、2的位置，记为点A、B，而x由于可以取不同的值，所以x可以看成一个动点C，可以取数轴上的任意点.师：你的想法太好了！大家自己动手按照这个思路画一画数轴，标出-1和2的位置，观察在x变化过程中，动点落在哪个位置时式子的值最小，并与同桌交流一下你的想法.学生自己动手操作，经历画图、观察、讨论的过程，借助图形分析数量的变化.
生6：根据数轴分析A、B两个定点及动点C，发现当点C落在点A、B间任意位置时，点C到点A、B的距离之和都等于点A与B之间的距离3，而当动点C落在点A的左边和点B的右边的位置时，点C到点A、B的距离之和都大于3.因此|x+1|+|x-2|的最小值就是-1与2的距离3.师：大家也是这样思考的吗？我们一起来给这位同学鼓鼓掌，讲得真好！师：有没有同学从代数角度思考呢？学生沉默.师：看来从代数角度出发的同学都遇到了困难，难以找到思路，而当我们换一个角度，把数变形之后，从几何角度出发，思路就很清晰了.师：接下来，我们就进行最后一步的研究，|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值是什么呢？你们有什么想法？生7：还是从几何角度入手，把-1、2、3看成定点A、B、C，x是动点D，|x+1|+|x-2|+|x-3|就是动点D到定点A、B、C的距离之和，在数轴上表示出定点的位置，观察在动点D运动的过程中距离的变化规律.师：（追问）随着动点D的变化，再结合前面的研究，你有什么发现？
生7：在研究第二种情形时，我们发现当动点落在点A、B之间时，距离之和最小，推测第三种情形下当动点D与定点B重合时，距离和最短，即为点A、C之间的距离4.师：大家同意他的看法吗？看来大家已经初步掌握了借助数轴分析这类问题的方法，解题过程中最重要的一步便是将绝对值的运算变成几何方面的问题，借助图形研究数量把数变形.
二、形变数，挖掘图形中的隐含信息
利用数量来解决图形的问题，要充分利用几何图形的性质和意义挖掘出图形中的隐含条件，把图形问题转化成数量问题，并通过分析计算、逻辑推理解决图形问题.
例2《九章算术》中记录了这样一个问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”你能给出解答吗？
【教学片段二】
师：同学们，通过阅读例2，你们获得了哪些数学信息呢？生1：葭生池中央，所以B′C的长度是5尺，葭出水一尺，所以BC的长度是1尺.师：（追问）很好，这是题目直接告诉我们的信息，还有没有隐藏着的信息呢？认真阅读题目，你能发现葭有什么变化吗？
生1：我发现葭有两种状态，一种是在池中央出水一尺，另一种是葭赴岸与岸齐.师：（再问）这两种状态下，有什么量是不发生改变的？生1：葭长不变，也就是AB=AB′.师：对，这个隐藏信息是我们解题的一个突破口.还有没有同学能发现其他的隐藏条件呢？
生2：∠ACB′=90°，三角形ACB′是直角三角形.师：是的，葭与水平面是垂直的，结合这个隐藏条件，你们打算怎么解决这个问题呢？
生3：运用勾股定理解决.师：（追问）对哪个直角三角形用勾股定理？知道三角形中哪些条件？生3：在直角三角形ACB′中，∠ACB′=90°，B′C=5尺.师：（再问）勾股定理是关于直角三角形三边关系的，可是在直角三角形ACB′中我们只知道其中一边，怎么办呢？生3：可以设AC长为x尺，则AB长为x+1尺，即AB′为x+1尺.师：你说得非常好！AC和AB′是有聯系的，设出一个未知数，就可以把两个量都表示出来，这样直角三角形的三边就都表示出来了，也就可以用勾股定理了.
由以上两例可见，在教学过程中，教师如能有意识地渗透数形结合的思想方法，将对学生理解学习内容的数学本质有事半功倍的效果.
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.