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一、问题的提出
【例1】甲乙两枚大小相等的硬币。现将硬币甲固定，让硬币乙沿硬币甲的周围滚动，当硬币乙滚动一周，回到原来位置时，硬币乙旋转了几圈？
当时很多人认为硬币乙旋转了1圈，但如果我们亲自拿硬币做个试验，就会发现：硬币乙竟然旋转了2圈。
实际结果怎么会跟我们想象的不一样？因为我们将非常熟悉物体在直线上滚动的规律运用到物体在圆周上滚动的情形，实际上这两者却有着重大区别。那应该如何理解硬币乙旋转了2圈呢？
预备定理：一个圆滚动前进，这个圆的圆心所经过路径（轨迹）的长度就等于这个圆所滚动过的路径的长度。”
证明：如图2，圆和直线l相切于A点，这个圆从A点开始沿着直线滚动一周后再和这条直线相切于A′点，这时圆心所经过路径长度为线段OO′的长度，圆周所滚过的路径长度为线段AA′的长度，这两个长度是一样的。
事实上，因为“圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的轨迹”，滚动时圆上的点前进多少，圆心也会前进多少。因此，不管圆怎样滚动，圆心所经过轨迹的长度一定会等于圆周所滚动过的长度。
利用以上的结论，对于例1，可以这样去理解：甲硬币固定不动，乙硬币沿甲硬币的周围自我滚动，当乙硬币把甲硬币的圆周滚完后又回到起始点时，乙硬币的圆心所经过的轨迹就是一个以甲硬币的圆心为中心的圆。如图3，设这个大圆的半径为R，这个大圆的周长=乙硬币的圆心所经过轨迹的长度=2πR。利用预备定理：这个圆的圆心所经过路径（轨迹）的长度就等于这个圆所滚动过的路径的长度。所以当硬币乙沿硬币甲的周围滚动一周后再回到起始点时，硬币乙滚动过的距离也等于2πR，而硬币乙自己滚动一周的长度为2πr（本圆的周长）。这里R=2r，所以2πR是2πr的2倍，即硬币乙一共旋转了2圈。
因此，只要看出这个滚动物体的圆心所经过的路径（轨迹），并求出这个路径（轨迹）的长度，再用这个长度去除以这个物体自身滚动一周所经过的长度，就得到物体所旋转的圈数。
推广到更一般的情况：当圆乙在圆甲的外圆周上作无滑动的滚动一周时，圆乙自身旋转的圈数为2π（R甲+R乙）÷（2πR乙）=（R甲 + R乙）÷R乙=+1。
二、思考
事物是普遍联系的，我们不妨用由以上结论来类比出其他一些平面图形旋转圈数的规律，并以合情推理的思想给出证明。我们知道圆从极限角度来看是一个正无穷边形，它属于正多边形的范畴，于是对上面的结论做进一步推广。
1.圆在一个凸多边形上滚动的圈数
【例2】如图4，三角形ABC的周长为9.42厘米，现有一个直径为1厘米的圆从A点开始沿着三角形的边（圆和三角形的边始终相切）作无滑动的滚动，当圆这样滚动一周再回到原来位置时，这个圆自己旋转了几圈？
解析：首先观察这个圆的圆心的轨迹。因为这个圆是从A点开始滚动的，所以一开始圆就和三角形的边AB相切于A点。当这个圆从A点滚动到B点时，圆就和三角形的边AB相切于B点，这时圆心经过轨迹的长度就是线段AB的长度，如图4-1。
然后这个圆还要滚动经过B点，使圆和BC这条边相切于B点。在这个过程中圆心的轨迹是怎样的呢？如图4-2，圆心的轨迹是“以B点为圆心，OB为半径，∠OBO′为圆心角的一段圆弧”。这儿∠OBA+∠ABC+∠O′BC+∠O′BO=360°，而∠OBA=∠O′BC=90°，所以∠ABC+∠OBO′=180°， 即∠OBO′的度数和∠ABC的外角度数是一样的。所以这段圆弧的弧长为×2πr。
以此类推，当这个圆从B点滚动到C点时，圆心经过轨迹的长度就是线段BC的长度，滚动经过C点和三角形的边AC相切于C点时，圆心轨迹为“以C点为圆心，OC为半径，∠C的外角为圆心角的一段圆弧”。这段圆弧的弧长为×2πr。这个圆从C点滚动到A点时，圆心经过轨迹的长度就是线段CA的长度，最后滚动经过A点回到原来位置时，圆心轨迹的长度为×2πr。
那么这个圆沿三角形的外侧作无滑动的滚动一周，最后再回到A点时，圆心经过轨迹的长度为“线段AB+BC+CA+×2πr+×2πr+×2πr= 三角形ABC的周长+（++）×2πr。而三角形的外角和为360°，所以（++）×2πr=×2πr=2πr。所以圆心轨迹的长度一共为（9.42+2πr），而这个圆滚动一周经过的长度为2πr，根据上面的预备定律，那么这个圆共旋转了（9.42+3.14）÷3.14=3+1=4（圈）。
简单地说，就是这个圆滚动一周回到原来位置时，这个圆除了滚过三角形的外面一周外，还旋转了三角形的外角360度，而任何物体旋转360度就是旋转了1圈，所以这个圆一共旋转了（+1）圈。
那么当这个圆在一个任意凸多边形上滚动一周时，这个圆又要旋转几圈呢？其实道理是一样的。
【例3】如图5所示，⊙O沿着凸n边形A1 A2 A3…An-1An的外侧（圆和边相切）作无滑动的滚动一周回到原来的位置。
（1）当⊙O和凸n边形的周长相等时，证明：⊙O自身转动了两圈；
（2）当⊙O的周长是a，凸n边形的周长是b时，请写出此时⊙O自身转动的圈数。
解析：（1）证明：这个圆滚动一周回到原来位置时，这个圆除了滚过这个凸n边形的周长外，还旋转了凸n边形的外角，而任何一个凸n边形的外角都是360度，所以这个圆旋转了（+1）＝2圈。
（2）这里凸n边形的周长=a，圆本身的周长=b，所以圆旋转的圈数=+1。
结论：从上面两个例题可以看出，当一个圆在一个凸多边形的外侧上做无滑动的滚动一周时，这个圆自己旋转的圈数=凸多边形的周长÷圆的周长+1。
2.一个正凸多边形在另一个正凸多边形上的旋转圈数
【例4】如图6，小正六边形沿着大正六边形的边顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半。如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后回到出发时的位置，那么这个过程中线段OA绕O点旋转了几圈？ 分析：大正六边形周长是小正六边形周长的2倍，猜测：小正六边形旋转了2+1=3圈。
证明：小正六边形在大正六边形一边上旋转时，OA绕O点旋转了60度，当小正六边形由大正六边形的一边旋转到另一边时，OA绕O点旋转了120度，所以小正六边形绕大正六边形旋转一周，回到原来位置时，OA绕O旋转了六个60度和六个120度，共1080度，所以共旋转了1080÷360=3圈。
3.一般的凸多边形在凸多边形上旋转的圈数
任意取两个等腰直角三角形，不妨设小等腰直角三角形边长为1，大等腰直角三角形边长为2。那么小等腰直角三角形斜边长为，大等腰直角三角形斜边长为2。
我们知道一个图形旋转几圈，它的对应边也旋转几圈。首先（如图7-1）小三角形绕B点旋转135度让O点落在大三角形的斜边上，此时O点离大三角形的一个顶点还有-1，如图7-2；然后小三角形绕O点旋转90度，此时小三角形的边OB超出大三角形的顶点2-，如图7-3；接着小三角形绕大三角形右边的顶点点旋转135度，此时A点落在大三角形的直角边上，离大三角形的直角顶点的距离为，如图7-4；小三角形绕A点旋转135度，此时B点刚好落在大三角形的直角顶点上，如图7-5；小三角形绕B点旋转225度，此时O点落在大三角形的另一条直角边上，离大三角形的一个顶点距离为1，如图7-6；小三角形绕O点旋转90度，此时A点落在大三角形顶点上，如图7-7；最后小三角形绕A点旋转270度，刚好回到一开始的位置，如图7-8。
在这个过程中，小三角形一共旋转了135+90+135+135+225+90+270=1080度，而自己旋转一圈为360度，所以1080÷360=3圈。
类比前面的结论，大三角形周长是小三角形周长的2倍，所以大三角形周长÷小三角形周长+1=3圈。结论又一次成立。
三、感想
一叶而知秋，窥一斑而知全貌。从特殊图形——圆入手，通过先联想、类比，再验证等手段，逐步得出了一般图形的旋转规律，体现了数学的一种内在的统一美和简洁美。
在兴奋之余，静下心来反思：当研究出圆的旋转圈数问题后，是什么促使我们进一步去研究另外的旋转情况？又是什么让我们把它们联系起来考虑？这其实就是类比思想。
从学习论来分析，类比是一种主动的学习，能帮助我们引起丰富的联想并开拓思路；从认知论来分析，类比是一种有效的认知策略，能使知识更加系统化、结构化、网络化；从心理学来分析，类比更是一种有效、主动的迁移，使我们已有的经验系统发生顺应性改造，建立新的认知结构；从解决问题来考虑，它更是解决问题的一种重要手段，因为类比是一种从特殊到一般的思想。波利亚曾经认为类比是“获得发现的伟大源泉”就是最佳的诠释。
（责编 金 铃）
【例1】甲乙两枚大小相等的硬币。现将硬币甲固定，让硬币乙沿硬币甲的周围滚动，当硬币乙滚动一周，回到原来位置时，硬币乙旋转了几圈？
当时很多人认为硬币乙旋转了1圈，但如果我们亲自拿硬币做个试验，就会发现：硬币乙竟然旋转了2圈。
实际结果怎么会跟我们想象的不一样？因为我们将非常熟悉物体在直线上滚动的规律运用到物体在圆周上滚动的情形，实际上这两者却有着重大区别。那应该如何理解硬币乙旋转了2圈呢？
预备定理：一个圆滚动前进，这个圆的圆心所经过路径（轨迹）的长度就等于这个圆所滚动过的路径的长度。”
证明：如图2，圆和直线l相切于A点，这个圆从A点开始沿着直线滚动一周后再和这条直线相切于A′点，这时圆心所经过路径长度为线段OO′的长度，圆周所滚过的路径长度为线段AA′的长度，这两个长度是一样的。
事实上，因为“圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的轨迹”，滚动时圆上的点前进多少，圆心也会前进多少。因此，不管圆怎样滚动，圆心所经过轨迹的长度一定会等于圆周所滚动过的长度。
利用以上的结论，对于例1，可以这样去理解：甲硬币固定不动，乙硬币沿甲硬币的周围自我滚动，当乙硬币把甲硬币的圆周滚完后又回到起始点时，乙硬币的圆心所经过的轨迹就是一个以甲硬币的圆心为中心的圆。如图3，设这个大圆的半径为R，这个大圆的周长=乙硬币的圆心所经过轨迹的长度=2πR。利用预备定理：这个圆的圆心所经过路径（轨迹）的长度就等于这个圆所滚动过的路径的长度。所以当硬币乙沿硬币甲的周围滚动一周后再回到起始点时，硬币乙滚动过的距离也等于2πR，而硬币乙自己滚动一周的长度为2πr（本圆的周长）。这里R=2r，所以2πR是2πr的2倍，即硬币乙一共旋转了2圈。
因此，只要看出这个滚动物体的圆心所经过的路径（轨迹），并求出这个路径（轨迹）的长度，再用这个长度去除以这个物体自身滚动一周所经过的长度，就得到物体所旋转的圈数。
推广到更一般的情况：当圆乙在圆甲的外圆周上作无滑动的滚动一周时，圆乙自身旋转的圈数为2π（R甲+R乙）÷（2πR乙）=（R甲 + R乙）÷R乙=+1。
二、思考
事物是普遍联系的，我们不妨用由以上结论来类比出其他一些平面图形旋转圈数的规律，并以合情推理的思想给出证明。我们知道圆从极限角度来看是一个正无穷边形，它属于正多边形的范畴，于是对上面的结论做进一步推广。
1.圆在一个凸多边形上滚动的圈数
【例2】如图4，三角形ABC的周长为9.42厘米，现有一个直径为1厘米的圆从A点开始沿着三角形的边（圆和三角形的边始终相切）作无滑动的滚动，当圆这样滚动一周再回到原来位置时，这个圆自己旋转了几圈？
解析：首先观察这个圆的圆心的轨迹。因为这个圆是从A点开始滚动的，所以一开始圆就和三角形的边AB相切于A点。当这个圆从A点滚动到B点时，圆就和三角形的边AB相切于B点，这时圆心经过轨迹的长度就是线段AB的长度，如图4-1。
然后这个圆还要滚动经过B点，使圆和BC这条边相切于B点。在这个过程中圆心的轨迹是怎样的呢？如图4-2，圆心的轨迹是“以B点为圆心，OB为半径，∠OBO′为圆心角的一段圆弧”。这儿∠OBA+∠ABC+∠O′BC+∠O′BO=360°，而∠OBA=∠O′BC=90°，所以∠ABC+∠OBO′=180°， 即∠OBO′的度数和∠ABC的外角度数是一样的。所以这段圆弧的弧长为×2πr。
以此类推，当这个圆从B点滚动到C点时，圆心经过轨迹的长度就是线段BC的长度，滚动经过C点和三角形的边AC相切于C点时，圆心轨迹为“以C点为圆心，OC为半径，∠C的外角为圆心角的一段圆弧”。这段圆弧的弧长为×2πr。这个圆从C点滚动到A点时，圆心经过轨迹的长度就是线段CA的长度，最后滚动经过A点回到原来位置时，圆心轨迹的长度为×2πr。
那么这个圆沿三角形的外侧作无滑动的滚动一周，最后再回到A点时，圆心经过轨迹的长度为“线段AB+BC+CA+×2πr+×2πr+×2πr= 三角形ABC的周长+（++）×2πr。而三角形的外角和为360°，所以（++）×2πr=×2πr=2πr。所以圆心轨迹的长度一共为（9.42+2πr），而这个圆滚动一周经过的长度为2πr，根据上面的预备定律，那么这个圆共旋转了（9.42+3.14）÷3.14=3+1=4（圈）。
简单地说，就是这个圆滚动一周回到原来位置时，这个圆除了滚过三角形的外面一周外，还旋转了三角形的外角360度，而任何物体旋转360度就是旋转了1圈，所以这个圆一共旋转了（+1）圈。
那么当这个圆在一个任意凸多边形上滚动一周时，这个圆又要旋转几圈呢？其实道理是一样的。
【例3】如图5所示，⊙O沿着凸n边形A1 A2 A3…An-1An的外侧（圆和边相切）作无滑动的滚动一周回到原来的位置。
（1）当⊙O和凸n边形的周长相等时，证明：⊙O自身转动了两圈；
（2）当⊙O的周长是a，凸n边形的周长是b时，请写出此时⊙O自身转动的圈数。
解析：（1）证明：这个圆滚动一周回到原来位置时，这个圆除了滚过这个凸n边形的周长外，还旋转了凸n边形的外角，而任何一个凸n边形的外角都是360度，所以这个圆旋转了（+1）＝2圈。
（2）这里凸n边形的周长=a，圆本身的周长=b，所以圆旋转的圈数=+1。
结论：从上面两个例题可以看出，当一个圆在一个凸多边形的外侧上做无滑动的滚动一周时，这个圆自己旋转的圈数=凸多边形的周长÷圆的周长+1。
2.一个正凸多边形在另一个正凸多边形上的旋转圈数
【例4】如图6，小正六边形沿着大正六边形的边顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半。如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后回到出发时的位置，那么这个过程中线段OA绕O点旋转了几圈？ 分析：大正六边形周长是小正六边形周长的2倍，猜测：小正六边形旋转了2+1=3圈。
证明：小正六边形在大正六边形一边上旋转时，OA绕O点旋转了60度，当小正六边形由大正六边形的一边旋转到另一边时，OA绕O点旋转了120度，所以小正六边形绕大正六边形旋转一周，回到原来位置时，OA绕O旋转了六个60度和六个120度，共1080度，所以共旋转了1080÷360=3圈。
3.一般的凸多边形在凸多边形上旋转的圈数
任意取两个等腰直角三角形，不妨设小等腰直角三角形边长为1，大等腰直角三角形边长为2。那么小等腰直角三角形斜边长为，大等腰直角三角形斜边长为2。
我们知道一个图形旋转几圈，它的对应边也旋转几圈。首先（如图7-1）小三角形绕B点旋转135度让O点落在大三角形的斜边上，此时O点离大三角形的一个顶点还有-1，如图7-2；然后小三角形绕O点旋转90度，此时小三角形的边OB超出大三角形的顶点2-，如图7-3；接着小三角形绕大三角形右边的顶点点旋转135度，此时A点落在大三角形的直角边上，离大三角形的直角顶点的距离为，如图7-4；小三角形绕A点旋转135度，此时B点刚好落在大三角形的直角顶点上，如图7-5；小三角形绕B点旋转225度，此时O点落在大三角形的另一条直角边上，离大三角形的一个顶点距离为1，如图7-6；小三角形绕O点旋转90度，此时A点落在大三角形顶点上，如图7-7；最后小三角形绕A点旋转270度，刚好回到一开始的位置，如图7-8。
在这个过程中，小三角形一共旋转了135+90+135+135+225+90+270=1080度，而自己旋转一圈为360度，所以1080÷360=3圈。
类比前面的结论，大三角形周长是小三角形周长的2倍，所以大三角形周长÷小三角形周长+1=3圈。结论又一次成立。
三、感想
一叶而知秋，窥一斑而知全貌。从特殊图形——圆入手，通过先联想、类比，再验证等手段，逐步得出了一般图形的旋转规律，体现了数学的一种内在的统一美和简洁美。
在兴奋之余，静下心来反思：当研究出圆的旋转圈数问题后，是什么促使我们进一步去研究另外的旋转情况？又是什么让我们把它们联系起来考虑？这其实就是类比思想。
从学习论来分析，类比是一种主动的学习，能帮助我们引起丰富的联想并开拓思路；从认知论来分析，类比是一种有效的认知策略，能使知识更加系统化、结构化、网络化；从心理学来分析，类比更是一种有效、主动的迁移，使我们已有的经验系统发生顺应性改造，建立新的认知结构；从解决问题来考虑，它更是解决问题的一种重要手段，因为类比是一种从特殊到一般的思想。波利亚曾经认为类比是“获得发现的伟大源泉”就是最佳的诠释。
（责编 金 铃）