关于复变函数中“∞”的几个注记

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  摘 要: 无穷远点是复平面上一个非常重要的点,正确理解无穷远点的含义及有关概念对学习复变函数理论至关重要.本文在扩充复平面的几何模型复球面上,对无穷远点的含义及相关性质做了说明和注释.
  关键词: 无穷远点 复球面 复平面 注记
  1.复球面
  把一个球面放在z平面上,切点为原点O,通过O的直径与球面交于N,O是南极,N为北极(见图).设Z为复平面上的一点,连接Z与球面相交于P点,这样就建立起球面上的点和复平面上的点间的一一对应,南极点对应坐标原点,北极点N无法找到复平面上一个有限点与之对应,为此我们假设N对应复平面的无穷远点,记作∞.复平面加上∞后称为扩充的复平面,记作C■,与它对应的就是整个球面,称为复球面.扩充复平面的一个几何模型就是复球面.
  几点说明:
  ①扩充复平面上任一条直线对应复球面上经过北极点的一个圆,通过原点的直线对应大圆,这说明扩充复平面上任一条直线都通过∞点,直线可以看成圆(广义圆).
  ②扩充复平面上两条平行线对应着复球面上两个相交于北极点的圆,所以扩充复平面上两条平行线相交于无穷远点.
  ③扩充复平面上两条相交直线也交于无穷远点.
  2.关于“∞”的几个注记
  注记1:∞的模、辐角及实部与虚部
  复数z=x iy的模r=|z|=■,可以说是点z到原点的距离,∞不是有限点,所以规定|∞|= ∞.复数的辐角定义为实轴正向到非零复数z=x iy所对应向量■见的夹角θ,合于tanθ=■.由于经过原点的所有直线都可以到达无穷远点,因此无穷远点的辐角无法确定,即无穷远点的辐角没有意义,无穷远点的实部、虚部也不确定.
  注记2:∞远点与实数系中无穷大的区别与联系
  在复平面上,∞是一个假想的点,和实数系中的无穷大既有区别又有联系,实数系中的无穷大是绝对值无限增大的变量,有正无穷大和负无穷大之分,但在复变函数中把无穷大看作一个点,无穷远点的模|∞|= ∞(实数系中的正无穷大),实部、虚部可以取到∞(实数系中的无穷大),无穷远点的实部、虚部不确定,但至少有一个是无穷大.
  注记3:关于∞的运算
  在C■上∞可以参与各种运算,但需做一些规定:
  (1)运算∞±∞,0·∞,■,■无意义.
  说明:∞的实部、虚部不确定,∞±∞也不确定,即∞±∞无意义;∞和0的辐角不确定,0的模是0,所以运算0·∞,■,■无意义;
  (2)α≠∞时,■=∞,■=0,∞±α=α±∞=∞.
  说明:在运算■,■时,第一个的模为 ∞,第二个的模为0,所以规定■=∞,■=0;虽然∞的实部和虚部不确定,但至少有一个为∞,对于有限复数α,∞±α,α±∞的实部或虚部,至少有一个是∞,所以∞±α=α±∞=∞;
  (3)b≠0(但可为∞)时,∞·b=b·∞=∞,■=∞.
  说明:当b≠0时,∞·b,·∞,■的模都为 ∞,所以规定∞·b=b·∞=∞,■=∞;
  由上面的讨论不难看出这些规定的合理性.
  注记4:∞的邻域
  在复球面上,北极点N邻域是一个以北极点为中心的一个球盖,边界是纬线,投影到复平面上就是一个以原点为心的圆周的外部,所以在扩充复平面上,无穷远点的邻域应理解为以原点为心的某圆周的外部,即∞的ε一邻域N■(∞)是指合于条件|z|>■的点集;去掉北极点N的一个球盖对应着∞的去心邻域,是指合条件的■<|z|< ∞点集.
  注记5:有关概念推广到∞
  在扩充复平面上,聚点、内点和边界点等概念均可以推广到点∞,于是,复平面以∞为其唯一的边界点;扩充复平面以∞为内点,且它是唯一的无边界的区域.例如:∞是无穷点集{i,2i,3i,…,ni,…}的聚点,是扩充复平面上点集E={z||z|>1}的内点,是上半平面lmz>0的边界点.含有∞的区域在复平面上和扩充的复平面上的连通性不一样,如以原点为心的圆周的外部,在复平面上是二连通区域,在扩充的复平面上则是单连通区域.
  注记6:广义极限
  在扩充复平面上,点∞可以在函数的定义域中,函数值也可以取到∞,因此,函数的极限与连续性的概念可以推广.在关系■f(z)=f(z■)中,如果z■及f(z■)之一或者它们同时取∞,就称f(z)在点z■为广义连续的,极限就称为广义极限.在这种广义的意义下,极限和连续的ε-δ说法要相应修改.广义极限的几种形式:
  (1)■f(z)=w■?圳任给ε>0,存在δ>0,只要|z|>■时就有|f(z)-w■|<ε.
  (2)■f(z)=∞?圳任给ε>0,存在δ>0,只要0<|z-z■|<δ时就有|f(z)|>■.
  (3)■f(z)=∞?圳任给ε>0,存在δ>0,只要|z|>■时就有|f(z)|>■.
  3.结语
  复平面加上非正常复数称为扩充复平面,复球面与扩充复平面的可以建立一一对应,通过复球面这个模型,我们不仅看到了的存在性,而且说明了唯一性,在复变函数中是一个非常重要的点.本文通过复球面这个模型,对的几何特性及有关概念作了深入的阐述,使读者能全面深刻地理解扩充复平面上的,为进一步研究的其他性质,如的辐角原理、奇点性质及留数计算打下坚实的基础.
  参考文献:
  [1]钟玉泉.复变函数论[M].北京:高等教育出版社,2004:38-41.
  [2]马忠军,王祝梅,黄文韬.复变函数中的无穷远点[J].桂林电子科技大学学报,2007,27(4).
  [3]张子珍.函数在无穷远点(∞)的性态[J].雁北师范学院学报,2004,20(5).
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