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(淮安市金湖县实验小学，江苏淮安211600)
【案例]苏教国标版小学数学五年级下册：奇妙的图形密铺
“奇妙的图形密铺”是教材中安排的数学实践活动。课堂上，在让学生理解密铺的含义后，我让学生猜想、判断教材中提供的几个平面图形能否密铺。在课堂交流中，学生一致认为：平行四边形可以，梯形可以，正三角形可以，正五边形可以，就圆形不可以。
师：怎么就圆形不可以密铺呢?
生：圆上没有角，圆与圆放在一起，中间总有空隙，不能密铺。
师：你们确信其他的图形都能密铺吗?有没有怀疑?
生：确信!
师：哦，这么确信?你们拼过吗?
生：没有。
师：那怎么这么确信呢?
生：其他的图形上都有角，拼起来后就不会像圆形那样中间有空隙。
师：哦，善于观察，又善于分析，在观察和分析的基础上大胆猜想，厉害(老师给他们竖起了大拇指)!这样不用动手拼就能很有把握地判断出这些图形哪些能密铺了。
生开心，脸上洋溢着喜悦。
师：我们动手拼一拼，看拼出来的密铺图案是什么样的好吗?
学生拿出课前已经剪下的教材附页中的图片，很有兴致地拼着，拼好一个就喊老师去看，希望得到老师的鼓励。
当拼到正五边形时，只见他们调整来调整去，就是拼不好，但是谁也不服输，没有人喊不能密铺，一个劲儿在那不停地忙调整。
老师等……
过了好长时间，有个同学说：我怎么拼不起来呀?
老师对他说：怎么会拼不起来呢?刚刚讨论过了，正五边形是可以密铺的呀?
老师又对大家说：他说他拼不起来，谁拼好了就来帮帮他!
没有人理睬老师，都在那颠三倒四摆来摆去。
老师说：怎么突然冷静起来啦?有没有谁拼好了?
有一个学生苦笑着摇摇头：还没有拼好。
老师问：还想继续拼下去吗?
生：再试试看。
拼了一会儿，有很多同学都放下了手里的纸片，在小组中与同学讨论着调整的方法。
又过了一会儿，学生灰心了：老师，拼不起来。你拼给我们看吧!
老师说：别把希望落在我身上，告诉大家，我拼不出来，过去的许多数学家也都拼过，都没有拼出来!
生一阵笑。
老师又说：刚刚讨论的时候，你们都说能拼出来，老师以为要有新的数学家诞生了!
生又是一阵笑。
师：大家敢于向权威挑战，是好事!许多新的科学家就是在否定前人的基础上诞生的。
学生的脸上洋溢着自信的笑容。
师：刚刚我们用正五边形来密铺，结果是——
生：拼不出来!
师：拼不出来，说明了什么?
生：正五边形不能密铺!
师：可开始我们通过观察分析都认为能密铺，这又想到了什么?
生：光凭眼睛看，凭感觉猜想是不够的，要动手验证一下。
师：所以一位伟大的人说过：“实践出真知!”
师：现在看这几个图形，你能得出什么结论?
生：正五边形和圆形不能密铺，平行四边形、梯形和正三角形都能密铺。
师：你还想到什么问题?
生：为什么平行四边形、梯形和正三角形都能密铺，而为正五边形同它们一样都有角，怎么就不能密铺了?是不是其中有什么原因?
师：这个问题值得研究，数学家也研究过这样的问题，有兴趣课后可以去探究一翻，看看与数学家们发现的结论是否一致。
生：我还想知道，还有哪些正多边形能够密铺?哪些正多边形不能密铺?
【反思】
1．精心为“猜想”之嫩苗“培土”，借错发挥，预约真理。
猜想，是创新的萌芽，可以说，没有大胆的猜想，就不可能有伟大的发明和创造。而小学生的数学猜想只是一颗柔弱的嫩苗，教师对于学生猜想的结论不管对与错都需要精心呵护和专心培育。只有精心“培土”，“猜想”的嫩苗才会茁壮成长，进发出令人欣喜的灵感和创造。案例中，当教师提供几个平面图形，让学生猜想它们能否密铺时，学生猜想出：平行四边形可以，梯形可以，正三角形可以，正五边形也可以，就圆形不可以。理由是：圆上没有角，圆与圆放在一起，中间总有空隙，不能密铺；其他的图形上都有角，铺起来后就不会像圆形那样中间有空隙，所以都能密铺，且对猜想得到的结论还非常确信。这时，老师没有及时指出学生的错误，而是将大拇指送给了在观察与分析的基础上敢于大胆猜想的同学，将预案中的验证过程不留痕迹地变为图形密铺后的展示过程：让学生动手拼一拼，看拼出来的密铺图案是什么样的?这样既保护了学生“猜想”的积极性，又为学生在错误中发现真理、感悟真理埋下了伏笔。
2．教学不是告诉，让学生在错误中感悟，实践出真知。
教学不只是一种告诉，而应是学生的一种体验、探究和感悟。对数学教学而言，不仅要着眼于数学知识的理解和掌握，更要关注学生在获得知识的同时，是否有助于学生个体的学习能力、思维品质、创造才能以及情感态度等多方面的发展。从这样的教学理念和追求出发，一个数学探究的过程如果仅仅立足于生成对某个具体的知识或结论的理解，可能还是不完善的，它的不足之处就在于学生从他们所经历的数学探究过程本身，也许没有获得多少具有科学方法论的价值引导。猜想是否有价值，最终要接受实践的验证。能否让学生充分认同这“验证”的重要性呢?案例中，老师充分利用学生得出的错误结论，让学生经历猜想与验证的过程，变“告诉”的方式为“引导”的方式，变学生“接受”的过程为“探求”过程。当学生发现正五边形不能密铺时，教师幽默地说：“刚刚讨论的时候，你们都说能拼出来，老师以为要有新的数学家诞生了!”学生自嘲地笑了，这时老师又指出：“敢于向权威挑战是好事，许多新的科学家就是在否定前人的基础上诞生的。”学生的脸上再次洋溢着自信的笑容。最终学生深刻体会到：光凭眼睛看，凭感觉猜想是不够的，要动手验证一下，真乃“实践出真知”。
3．给学生充足的探究时间，坚持瓜熟蒂落的等待，让等待成就精彩。
课堂教学要在有限的时间里完成规定的教学内容，很多时候，教师为了按预设时间完成教案进度，留给学生讨论、探究的时间不够充分，常常是刚刚布置，便匆匆收场，使得学生讨论肤浅，探究流于形式。德国教育家第斯多惠说：“教学艺术的本质不在于传授的本领，而在于唤醒、激励和鼓舞。”新课程理念中，教师首先要学会等待，要有足够耐心去唤醒、去等待学生智慧火花的点燃。学会等待，自然会瓜熟蒂落、水到渠成。
等待，是给学生充分考虑的时间，是给学生自主感悟的时间。“不愤不启，不悱不发”就包含着对启发时机的等待。案例中，学生拼到正五边形时，调整来调整去就是铺不出来，但是谁也不服输，没有人喊不能密铺，一个劲儿在那不停地忙调整。这时，老师等。当老师问：“还想继续拼下去吗?”学生说：“再试试看。”老师又等。直到学生说：“老师，拼不出来，你拼给我们看吧!”这时，老师才适时指出：谁也拼不出来!因为有了老师的充分等待，学生便有了对“猜想后需要验证”的深刻感悟。所以说，是等待成就了精彩。
等待，也是教者对学习者的尊重和理解，课堂上，我们一定要注意摈弃揠苗助长的提速，坚持瓜熟蒂落的等待。
(责任编辑：张华伟)
【案例]苏教国标版小学数学五年级下册：奇妙的图形密铺
“奇妙的图形密铺”是教材中安排的数学实践活动。课堂上，在让学生理解密铺的含义后，我让学生猜想、判断教材中提供的几个平面图形能否密铺。在课堂交流中，学生一致认为：平行四边形可以，梯形可以，正三角形可以，正五边形可以，就圆形不可以。
师：怎么就圆形不可以密铺呢?
生：圆上没有角，圆与圆放在一起，中间总有空隙，不能密铺。
师：你们确信其他的图形都能密铺吗?有没有怀疑?
生：确信!
师：哦，这么确信?你们拼过吗?
生：没有。
师：那怎么这么确信呢?
生：其他的图形上都有角，拼起来后就不会像圆形那样中间有空隙。
师：哦，善于观察，又善于分析，在观察和分析的基础上大胆猜想，厉害(老师给他们竖起了大拇指)!这样不用动手拼就能很有把握地判断出这些图形哪些能密铺了。
生开心，脸上洋溢着喜悦。
师：我们动手拼一拼，看拼出来的密铺图案是什么样的好吗?
学生拿出课前已经剪下的教材附页中的图片，很有兴致地拼着，拼好一个就喊老师去看，希望得到老师的鼓励。
当拼到正五边形时，只见他们调整来调整去，就是拼不好，但是谁也不服输，没有人喊不能密铺，一个劲儿在那不停地忙调整。
老师等……
过了好长时间，有个同学说：我怎么拼不起来呀?
老师对他说：怎么会拼不起来呢?刚刚讨论过了，正五边形是可以密铺的呀?
老师又对大家说：他说他拼不起来，谁拼好了就来帮帮他!
没有人理睬老师，都在那颠三倒四摆来摆去。
老师说：怎么突然冷静起来啦?有没有谁拼好了?
有一个学生苦笑着摇摇头：还没有拼好。
老师问：还想继续拼下去吗?
生：再试试看。
拼了一会儿，有很多同学都放下了手里的纸片，在小组中与同学讨论着调整的方法。
又过了一会儿，学生灰心了：老师，拼不起来。你拼给我们看吧!
老师说：别把希望落在我身上，告诉大家，我拼不出来，过去的许多数学家也都拼过，都没有拼出来!
生一阵笑。
老师又说：刚刚讨论的时候，你们都说能拼出来，老师以为要有新的数学家诞生了!
生又是一阵笑。
师：大家敢于向权威挑战，是好事!许多新的科学家就是在否定前人的基础上诞生的。
学生的脸上洋溢着自信的笑容。
师：刚刚我们用正五边形来密铺，结果是——
生：拼不出来!
师：拼不出来，说明了什么?
生：正五边形不能密铺!
师：可开始我们通过观察分析都认为能密铺，这又想到了什么?
生：光凭眼睛看，凭感觉猜想是不够的，要动手验证一下。
师：所以一位伟大的人说过：“实践出真知!”
师：现在看这几个图形，你能得出什么结论?
生：正五边形和圆形不能密铺，平行四边形、梯形和正三角形都能密铺。
师：你还想到什么问题?
生：为什么平行四边形、梯形和正三角形都能密铺，而为正五边形同它们一样都有角，怎么就不能密铺了?是不是其中有什么原因?
师：这个问题值得研究，数学家也研究过这样的问题，有兴趣课后可以去探究一翻，看看与数学家们发现的结论是否一致。
生：我还想知道，还有哪些正多边形能够密铺?哪些正多边形不能密铺?
【反思】
1．精心为“猜想”之嫩苗“培土”，借错发挥，预约真理。
猜想，是创新的萌芽，可以说，没有大胆的猜想，就不可能有伟大的发明和创造。而小学生的数学猜想只是一颗柔弱的嫩苗，教师对于学生猜想的结论不管对与错都需要精心呵护和专心培育。只有精心“培土”，“猜想”的嫩苗才会茁壮成长，进发出令人欣喜的灵感和创造。案例中，当教师提供几个平面图形，让学生猜想它们能否密铺时，学生猜想出：平行四边形可以，梯形可以，正三角形可以，正五边形也可以，就圆形不可以。理由是：圆上没有角，圆与圆放在一起，中间总有空隙，不能密铺；其他的图形上都有角，铺起来后就不会像圆形那样中间有空隙，所以都能密铺，且对猜想得到的结论还非常确信。这时，老师没有及时指出学生的错误，而是将大拇指送给了在观察与分析的基础上敢于大胆猜想的同学，将预案中的验证过程不留痕迹地变为图形密铺后的展示过程：让学生动手拼一拼，看拼出来的密铺图案是什么样的?这样既保护了学生“猜想”的积极性，又为学生在错误中发现真理、感悟真理埋下了伏笔。
2．教学不是告诉，让学生在错误中感悟，实践出真知。
教学不只是一种告诉，而应是学生的一种体验、探究和感悟。对数学教学而言，不仅要着眼于数学知识的理解和掌握，更要关注学生在获得知识的同时，是否有助于学生个体的学习能力、思维品质、创造才能以及情感态度等多方面的发展。从这样的教学理念和追求出发，一个数学探究的过程如果仅仅立足于生成对某个具体的知识或结论的理解，可能还是不完善的，它的不足之处就在于学生从他们所经历的数学探究过程本身，也许没有获得多少具有科学方法论的价值引导。猜想是否有价值，最终要接受实践的验证。能否让学生充分认同这“验证”的重要性呢?案例中，老师充分利用学生得出的错误结论，让学生经历猜想与验证的过程，变“告诉”的方式为“引导”的方式，变学生“接受”的过程为“探求”过程。当学生发现正五边形不能密铺时，教师幽默地说：“刚刚讨论的时候，你们都说能拼出来，老师以为要有新的数学家诞生了!”学生自嘲地笑了，这时老师又指出：“敢于向权威挑战是好事，许多新的科学家就是在否定前人的基础上诞生的。”学生的脸上再次洋溢着自信的笑容。最终学生深刻体会到：光凭眼睛看，凭感觉猜想是不够的，要动手验证一下，真乃“实践出真知”。
3．给学生充足的探究时间，坚持瓜熟蒂落的等待，让等待成就精彩。
课堂教学要在有限的时间里完成规定的教学内容，很多时候，教师为了按预设时间完成教案进度，留给学生讨论、探究的时间不够充分，常常是刚刚布置，便匆匆收场，使得学生讨论肤浅，探究流于形式。德国教育家第斯多惠说：“教学艺术的本质不在于传授的本领，而在于唤醒、激励和鼓舞。”新课程理念中，教师首先要学会等待，要有足够耐心去唤醒、去等待学生智慧火花的点燃。学会等待，自然会瓜熟蒂落、水到渠成。
等待，是给学生充分考虑的时间，是给学生自主感悟的时间。“不愤不启，不悱不发”就包含着对启发时机的等待。案例中，学生拼到正五边形时，调整来调整去就是铺不出来，但是谁也不服输，没有人喊不能密铺，一个劲儿在那不停地忙调整。这时，老师等。当老师问：“还想继续拼下去吗?”学生说：“再试试看。”老师又等。直到学生说：“老师，拼不出来，你拼给我们看吧!”这时，老师才适时指出：谁也拼不出来!因为有了老师的充分等待，学生便有了对“猜想后需要验证”的深刻感悟。所以说，是等待成就了精彩。
等待，也是教者对学习者的尊重和理解，课堂上，我们一定要注意摈弃揠苗助长的提速，坚持瓜熟蒂落的等待。
(责任编辑：张华伟)