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〔摘要〕近年来，错误样例成为国内外样例学习研究中备受关注的一个新方向。文章介绍了错误样例的概念，理论基础，以及在国内外数学领域中已有的研究成果，同时，提出错误样例对我国当前数学教学的启示。
〔关键词〕样例学习；错误样例；数学错误；认知负荷
〔中图分类号〕G44 〔文献标识码〕A 〔文章编号〕1671-2684（2016）20-0009-03
样例学习就是“从例子中学（Learning from worked examples）”，是指一般呈现给学习者至少两个以上加工过的例子，让其从中习得隐含的规则或深层知识，以此迁移来解决新问题的学习。在数学领域，样例学习已经被普遍证实是一种非常有效的学习方式，尤其是在好的样例设计以及学习者积极主动地自我解释样例的时候，可以减轻学生的认知负荷，提高学习效果。
样例学习的样例一般都被传统地认为是正确的样例，但即便我们学习的是正确样例，也有可能导致学生在学习时产生错误的知识。在样例学习中，除了可以对正确样例进行设计之外，还可以在样例组合中加入适量的错误样例，可以加强学生对正、误样例的对比，从而避免错误发生，提高样例的学习效果，这也是一个好的学习方法。同时，在样例的解题步骤中设置错误，可以加深学习者对样例的思考，诱发学习者产生更多的自我解释活动，增加相关认知负荷，从而能提高学习迁移的效果。众多理论和实证研究表明错误样例可以提高学习效果。因此，近年来，错误样例成为国内外样例学习研究中备受关注的一个新方向。
数学学科本身强调逻辑思辨性与知识的精确性，而在学习过程中数学错误又不可避免，因此，使用错误样例教学的优势明显。错误样例学习是将错误分析融入到学习资料设计中，而补救教学则是在学生犯错之后再进行错误分析，相对而言，错误样例学习是一种更加主动、积极处理错误的学习方法。利用好数学错误样例不但能够提高学生思维与认知能力，还能增强对数学的学习兴趣与信心。与此同时，数学错误样例资源还有利于教师对教学进行自我诊断和治疗，改善教学，促进专业成长。因此，在数学教学中，如何将错误样例作为教学资源充分利用，也是一个非常重要的课题。
一、错误样例的概念
错误样例（erroneous examples）是指样例的解题方案中包含一个或者多个错误，要求学习者去辨别，解释或者改正错误，以促进学习效果的例题[1]。通常情况下，在学习的初始阶段就呈现错误样例可能不是很有用，因此错误样例是在提供正确的例题之后，再呈现给学习者错误的解题方法以巩固学习者已经习得的知识[2]。
当我们的学习目标是正确地解决问题的时候，向学习者呈现错误可能是不可思议的做法，那为什么要探究错误样例的潜在作用呢？下面是几点理由：（1）错误是学习中重要的一部分，却常常被传统教育所忽略，错误可以提供重要的学习机会，因为在学习者进行思考的时候，附带错误可以使他们的反思和自我解释更加全面。例如，Vanlehn在他的认知技能获得三阶段理论中表明错误可以引起反思，反过来也可以促进学习者对问题更深的理解；（2）正确和错误知识的呈现会引起学习者的认知冲突，因此可以促进学习者建构一个平衡一致的知识结构；（3）错误样例能增强学生的内部动机，激发学生的学习兴趣。学生探索、发现样例中错误的过程本身就是积极而有趣味的，检查错误也能集中学习者的注意力。同时，在错误样例学习中，学习者是处于旁观者的角度审视他人的错误，这和分析自身的错误相比，能减少学习者的焦虑情绪。
二、错误样例的理论基础
（一）试误说
学习的本质是一种 “尝试错误” 的过程，而教学，则是引导学习行为不断修正的过程。美国教育家 Edward L.Thorndike 通过一系列的动物试验得出的 “尝试错误理论”，对这一问题的解决提供了很多启示：在重复的尝试中，错误的反应逐渐被摈弃，正确的反应则不断得到加强，直至最后形成固定的 “刺激—反应联结”。
（二）建构主义学习观
建构主义学习观认为，错误是理想性的学习和发展轨道的一部分，为什么构成错误，如何构成错误，与怎样构成正确的答案一样重要。学生的错误不可能单独依靠正面示范和反复练习得以矫正，必须是经过一个“自我否定 ”的过程。而“自我否定”又以自我反省，特别是内在的“观念冲突”作为必要的前提。利用学生的错误资源，引发这种“观念冲突”，能促使学生对已完成的思维过程进行周密且有批判性的反思。
（三）认知技能获得理论模型
根据认知技能获得理论模型通过错误样例学习这样的程序可以促进学习效果。例如，Vanlehn在他的CASCADE理论中表明，在技能获得的初始阶段也是理解的关键阶段，设置一些问题障碍（也即是广义上的错误或者缺乏全面的理解，例如陷入死角，注意到错误，或者对一些事情不确定）可以引起学习者的思潮。更具体地说，他推测在他的障碍—驱动学习（impasse-driven learning）理论的框架中，错误可以引起反思（例如自我解释），反过来又可以导致更深的理解。因此，在错误的样例中包含起引导作用的障碍应该可以促进学习者的学习思潮以及学生的学习效果。
（四）认知负荷理论
认知负荷理论（Cognitive Load Theory）认为，任何教学中都会引起三种不同类型的认知负荷：内在认知负荷（intrinsic load）、外在认知负荷（extraneous load）和有效认知负荷（germane load）。内在认知负荷是指工作记忆对学习任务本身所包含的信息元素（如概念、规则的基本成分）的复杂性进行认知加工所承受的认知负荷。外在认知负荷也称为无效负荷或无关负荷，指由学习材料的组织和呈现方式不当施加给工作记忆的负荷。有效认知负荷是指由学习材料的组织和呈现形式所引起的有利于信息加工与获得的认知负荷。有效认知负荷往往是由学习过程中用于建构图式或图式自动化活动所引起的，例如，学习者对样例的自我解释与理解活动，它促使学习者把有限的认知资源分配到有效的学习活动中去，这是有意义的学习过程必需的认知活动。根据认知负荷理论，如果适当地运用错误样例，会增加学习者的自我解释活动，增加学习者的有效认知负荷，就有利于学习效果。
〔关键词〕样例学习；错误样例；数学错误；认知负荷
〔中图分类号〕G44 〔文献标识码〕A 〔文章编号〕1671-2684（2016）20-0009-03
样例学习就是“从例子中学（Learning from worked examples）”，是指一般呈现给学习者至少两个以上加工过的例子，让其从中习得隐含的规则或深层知识，以此迁移来解决新问题的学习。在数学领域，样例学习已经被普遍证实是一种非常有效的学习方式，尤其是在好的样例设计以及学习者积极主动地自我解释样例的时候，可以减轻学生的认知负荷，提高学习效果。
样例学习的样例一般都被传统地认为是正确的样例，但即便我们学习的是正确样例，也有可能导致学生在学习时产生错误的知识。在样例学习中，除了可以对正确样例进行设计之外，还可以在样例组合中加入适量的错误样例，可以加强学生对正、误样例的对比，从而避免错误发生，提高样例的学习效果，这也是一个好的学习方法。同时，在样例的解题步骤中设置错误，可以加深学习者对样例的思考，诱发学习者产生更多的自我解释活动，增加相关认知负荷，从而能提高学习迁移的效果。众多理论和实证研究表明错误样例可以提高学习效果。因此，近年来，错误样例成为国内外样例学习研究中备受关注的一个新方向。
数学学科本身强调逻辑思辨性与知识的精确性，而在学习过程中数学错误又不可避免，因此，使用错误样例教学的优势明显。错误样例学习是将错误分析融入到学习资料设计中，而补救教学则是在学生犯错之后再进行错误分析，相对而言，错误样例学习是一种更加主动、积极处理错误的学习方法。利用好数学错误样例不但能够提高学生思维与认知能力，还能增强对数学的学习兴趣与信心。与此同时，数学错误样例资源还有利于教师对教学进行自我诊断和治疗，改善教学，促进专业成长。因此，在数学教学中，如何将错误样例作为教学资源充分利用，也是一个非常重要的课题。
一、错误样例的概念
错误样例（erroneous examples）是指样例的解题方案中包含一个或者多个错误，要求学习者去辨别，解释或者改正错误，以促进学习效果的例题[1]。通常情况下，在学习的初始阶段就呈现错误样例可能不是很有用，因此错误样例是在提供正确的例题之后，再呈现给学习者错误的解题方法以巩固学习者已经习得的知识[2]。
当我们的学习目标是正确地解决问题的时候，向学习者呈现错误可能是不可思议的做法，那为什么要探究错误样例的潜在作用呢？下面是几点理由：（1）错误是学习中重要的一部分，却常常被传统教育所忽略，错误可以提供重要的学习机会，因为在学习者进行思考的时候，附带错误可以使他们的反思和自我解释更加全面。例如，Vanlehn在他的认知技能获得三阶段理论中表明错误可以引起反思，反过来也可以促进学习者对问题更深的理解；（2）正确和错误知识的呈现会引起学习者的认知冲突，因此可以促进学习者建构一个平衡一致的知识结构；（3）错误样例能增强学生的内部动机，激发学生的学习兴趣。学生探索、发现样例中错误的过程本身就是积极而有趣味的，检查错误也能集中学习者的注意力。同时，在错误样例学习中，学习者是处于旁观者的角度审视他人的错误，这和分析自身的错误相比，能减少学习者的焦虑情绪。
二、错误样例的理论基础
（一）试误说
学习的本质是一种 “尝试错误” 的过程，而教学，则是引导学习行为不断修正的过程。美国教育家 Edward L.Thorndike 通过一系列的动物试验得出的 “尝试错误理论”，对这一问题的解决提供了很多启示：在重复的尝试中，错误的反应逐渐被摈弃，正确的反应则不断得到加强，直至最后形成固定的 “刺激—反应联结”。
（二）建构主义学习观
建构主义学习观认为，错误是理想性的学习和发展轨道的一部分，为什么构成错误，如何构成错误，与怎样构成正确的答案一样重要。学生的错误不可能单独依靠正面示范和反复练习得以矫正，必须是经过一个“自我否定 ”的过程。而“自我否定”又以自我反省，特别是内在的“观念冲突”作为必要的前提。利用学生的错误资源，引发这种“观念冲突”，能促使学生对已完成的思维过程进行周密且有批判性的反思。
（三）认知技能获得理论模型
根据认知技能获得理论模型通过错误样例学习这样的程序可以促进学习效果。例如，Vanlehn在他的CASCADE理论中表明，在技能获得的初始阶段也是理解的关键阶段，设置一些问题障碍（也即是广义上的错误或者缺乏全面的理解，例如陷入死角，注意到错误，或者对一些事情不确定）可以引起学习者的思潮。更具体地说，他推测在他的障碍—驱动学习（impasse-driven learning）理论的框架中，错误可以引起反思（例如自我解释），反过来又可以导致更深的理解。因此，在错误的样例中包含起引导作用的障碍应该可以促进学习者的学习思潮以及学生的学习效果。
（四）认知负荷理论
认知负荷理论（Cognitive Load Theory）认为，任何教学中都会引起三种不同类型的认知负荷：内在认知负荷（intrinsic load）、外在认知负荷（extraneous load）和有效认知负荷（germane load）。内在认知负荷是指工作记忆对学习任务本身所包含的信息元素（如概念、规则的基本成分）的复杂性进行认知加工所承受的认知负荷。外在认知负荷也称为无效负荷或无关负荷，指由学习材料的组织和呈现方式不当施加给工作记忆的负荷。有效认知负荷是指由学习材料的组织和呈现形式所引起的有利于信息加工与获得的认知负荷。有效认知负荷往往是由学习过程中用于建构图式或图式自动化活动所引起的，例如，学习者对样例的自我解释与理解活动，它促使学习者把有限的认知资源分配到有效的学习活动中去，这是有意义的学习过程必需的认知活动。根据认知负荷理论，如果适当地运用错误样例，会增加学习者的自我解释活动，增加学习者的有效认知负荷，就有利于学习效果。