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摘要：本文采用概率密度演化方法，对比了随机结构在无控和TMD控制时结构动力响应和概率密度。结果表明，设置TMD后结构的安全性与舒适性大大改善，TMD对结构参数随机性具有一定的容错性。概率密度演化方法计算量小，精度高，与其他方法相比可获得更为精细的结构反应概率信息。
关键词：调谐阻尼器；概率密度演化法；风振响应；随机结构
0引言
工程结构在许多方面都包含着若干不确定因素，如材料参数、边界条件、阻尼与刚度等均存在随机性。这些随机因素会对结构动力响应分析結果带来不容忽略的影响，因此考虑结构参数的随机性非常重要。调谐质量阻尼器的概念是1909年由Ormondroyd和Den Hartog首先提出（Ormondroyd J，et al，1928），最早于1977年应用于美国244m高的Hancock大厦。调谐质量阻尼器一般由附加惯性质量，弹簧和阻尼元件组成，因其构造简单，易于安装，维护方便，经济适用，且无需外部能源，有着其他减震技术无可比拟的优点，广泛受到科研工作者和工程界的青睐（Rohman A，1984；王肇民，1994；李春祥，1999）。
目前对TMD的研究多为TMD的优化设计以及工程应用，主要关注确定性结构的动力响应对比；即便考虑随机性，也大都限于激励的随机性，对结构及减震装置的随机性分析不多。李杰提出的随机结构分析的概率密度演化方法可给出结构概率密度的时变过程，有助于深入了解结构的随机性（李杰等，2003；J.Li，et al，2004）。目前有关使用概率密度演化方法对结构动力响应研究的文献尚未见诸于随机结构TMD系统。本文采用线性滤波法中的自回归模型模拟作用在结构上的脉动风激励时程，将概率密度演化方法应用于随机结构—TMD系统，并考虑结构刚度与阻尼的随机性，以及TMD对结构概率密度的影响规律。
1 运动方程
脉动风荷载作用在结构上引起的振动，可视为是多点平稳随机激励下结构的随机振动问题。当结构在任意第j层安装一套TMD装置，假定TMD质量为md、刚度为kd、阻尼为Cd。结构在风荷载作用下的运动微分方程为： （1）
式中 为TMD对结构的作用力，表达式为：
（2）
TMD的运动方程为： （3）
式中xd和xj分别为TMD与结构第j层质量相对于地面的位移。
2脉动风模拟
线性滤波法中的自回归模型因计算量小、速度快，广泛用于随机振动和时间系列分析中（胡广书，1997；P M Mignolet，et al，1987；S H Jeong，et al，1997；J S Owen，et al，2001）。本节采用线性滤波法中的自回归模型模拟作用在结构上的脉动风激励时程。
模型阶次估计方法多基于估计预测误差功率。通常估计的预测误差功率随阶次的增加而减小，但单纯追求最小预测误差求得的阶次往往偏高，出现过拟合现象，这虽然提高了谱估计的分辨率，但会产生虚假谱峰，并且估计方差也会增大，同时阶数过高也会增加计算量，影响运算速度；反之，如果选取的阶次过低会导致谱估计平滑，不能达到精度要求。根据试算，本文AR模型阶数取为p=5。
脉动风荷载P的功率谱密度函数可用矩阵表示为： （4）
式中 为n×n阶常量矩阵，其元素为： （5）
式中AiAj为i，j点的迎风面积。
由于脉动风压均值为零，其协方差矩阵等于互相关矩阵，对R进行Cholesky分解可得：
（6）
式中矩阵C为一下三角矩阵。
顺风向脉动风压向量T可表达为：
（7）
式中，u（t）为n个互不相关的高斯随机过程组成的向量。
利用脉动风压乘以迎风面积，就可以得到式（1）中的脉动风激励时程 P（t）。根据我国规范，一般取Davenport脉动风速谱作为激励谱Sij。当已知结构各点高度处的平均风速Vj风荷载体型系数Us及迎风面积Aj后，就可以得出自荷载谱：
（8）
如果考虑各个随机激励之间的相关性，则引入相关系数，便可形成荷载功率谱矩阵。
3随机结构风振响应
一旦自荷载谱（8）已知，在构造的虚拟随机过程激励下，可很方便得到TMD相对于结构的位移为：
（9）
TMD相对于结构的位移均方差为：
（10）
式中， （11）
通过求解模态响应矢量z的协方差矩阵，可以得到结构每一质点的加速度响应方差为：
（12）
即可求出加速度均方差响应及TMD相对于第j质量层加速度均方差 。式中L为对角元素均为1的下三角矩阵，rj第i振型参与系数；
分别为第j振型向量； 为结构的阻尼比； 为TMD的阻尼比； μ为TMD与结构的质量比。q为所取振型数，当只考虑第一振型时，取q=1。
4概率密度演化方程
方程（1）及其初始条件构成的结构动力学正分析问题一般是适定的问题，其解存在、唯一且与随机量有关。因此由方程（1）及其初始条件可得到结构的位移反应。当求出了随机结构的位移响应，随机结构反应的概率密度演化方程
（13）
可利用确定性结构动力分析与有限差分的TVD格式进行数值求解，从而可以得到下式：
（14）
式中 为结构的随机参数，本文选取刚度和阻尼作为结构的随机参数， 为与 有关
（15）
式（15）是为给定 时结构的速度反应。根据式（13）即可给出任意时刻的概率密度函数。
同样，可以根据下式
（16） 求解任意时刻速度反应的概率密度函数。同理可得任意时刻加速度反应的概率密度函数。
5仿真分析
本文选取某10层框架结构模型作为算例，该框架结构层高为3m，迎风面长度是32m。结构每层质量为4.0×105kg，刚度为2.0×108N/m。阻尼采用Rayleigh阻尼假定，其比例常数由结构前2阶振型阻尼比（均为0.05）确定。该结构位于某市江口，其10年的基本风压取0.45kN/m2，考虑结构刚度服从正态分布，结构自振频率均值μf和和刚度均值μk分别为0.5319Hz和2.0×108N/m，变异系数为δ=10%。在结构顶层设置TMD以控制结构风振响应。TMD惯性质量为md=1.3×105kg，弹簧刚度kd=1.452×106N/m，阻尼系数为cd=9.4405×104Ns/m。
图3-4为无控和TMD控制时结构减振效果对比图。图3中当设置TMD后，结构各层层间位移减小约1/3，首层位移从0.5764mm减至0.3567mm。图4中设置TMD后结构各层的最大加速度反应从三角形分布变为近似矩形分布，结构顶层的加速度反应降低了56.4%。设置TMD后结构的动力反应减小明显。
计算随机结构的概率密度时须对随机源选择有代表性的离散点。本文根据 法则，即在均值左右两侧 范围内等间距选取15个点，试算表明计算的概率密度选点曲线与理论曲线基本吻合，理论上涵盖了98.76%的随机源概率密度，具有很高的精度，从而可作为下文数值计算的代表点。为了检验概率密度演化分析方法的有效性，本文还采用Monte Carlo法作为对比。由两种方法得到的无控和TMD控制时结构首层位移和顶层加速度的最大响应均值对比见表1，其相应的响应标准差时程对比见图5-6。
表1和图6～7表明，使用概率密度演化方法得到的结构最大响应均值和Monte Carlo模拟的结果非常接近，这表明概率密度演化方法具有很高的计算精度。此外，Monte Carlo模拟需要计算时长94s，而概率密度演化模拟仅需8s，这充分体现了概率密度演化方法的高效性。
图7-8反映了随机结构无控和TMD控制时其响应的概率密度对比。从图中可以看出无控时概率密度曲线分布较宽，概率密度较小，结构在风载激励下的安全性也因此降低；而TMD控制下结构反应的概率密度曲线分布较窄，概率密度较大，这表明TMD的减振效果明显。图9中在结构自振频率随机的情况下，TMD控制时结构随机位移响应最大值落在均值响应附近的概率较无控时大为增加，随机结构反应呈现典型的概率密度演化性质。虽然在本例中假定结构的随机参数符合正态分布，但是结构反应的概率密度曲线与正态分布相去甚远，无控时多峰现象比较严重，这表明无控时概率密度演化比较频繁。
从图10-13可以看出，当结构具有随机刚度与随机阻尼参数时的位移响应极值概率密度曲线是一样的，这也验证了采用Rayleigh阻尼假定时，结构阻尼随机和刚度随机时结构的位移响应具有同样的统计规律， TMD控制下结构的动力响应均值有一定程度减小，但并不明显，这体现了TMD对结构参数随机具有一定的容错性能。
对比图8和图10、12可看出，当结构自振频率随机时，其概率密度函数曲线较结构自振刚度随机时变得窄和尖，因而此时结构顶层的最大加速度响应落在均值加速度响应的概率增加，这也证明，TMD对于结构自振频率的敏感度比对结构刚度的敏感度要低，因此在实际设计TMD的时候应该严格控制结构主体在施工中出现的刚度变化。
6结论
本文采用概率密度演化方法，对随机结构TMD系统在随机脉动风荷载下的动力响应进行了研究，并与Monte Carlo方法作了对比，得出如下结论：由于结构的随机性以及TMD只能较好控制某一具有特定参数的结构，所以在结构设计中，TMD参数选取很重要；TMD对结构参数随机具有一定的容错性能，为以后TMD应用范围拓展提供了理论支持；与Monte Carlo方法相比，概率密度演化方法计算量小，精度高，可获得更为精细的反应概率信息，为后续基于可靠性理论进行TMD优化设计提供了一个快速实现的方法，这在实际工程应用中具有很重要的意义。
参考文献：
（1）王肇民.电视塔结构TMD风振控制研究与设计[J].建筑结构学报，1994，15（5）：2-13.
（2）李春祥.地震作用下高层建筑TMD控制研究与设计[J].上海交通大学学报，1999，33（5）：746-749.
（3）李杰，陳建兵.随机结构动力反应分析的概率密度演化方法[J]. 力学学报，2003，35（4）：437-442.
（4）胡广书.数字信号处理—理论、算法与实现[M].北京：清华大学出版社，1997.
关键词：调谐阻尼器；概率密度演化法；风振响应；随机结构
0引言
工程结构在许多方面都包含着若干不确定因素，如材料参数、边界条件、阻尼与刚度等均存在随机性。这些随机因素会对结构动力响应分析結果带来不容忽略的影响，因此考虑结构参数的随机性非常重要。调谐质量阻尼器的概念是1909年由Ormondroyd和Den Hartog首先提出（Ormondroyd J，et al，1928），最早于1977年应用于美国244m高的Hancock大厦。调谐质量阻尼器一般由附加惯性质量，弹簧和阻尼元件组成，因其构造简单，易于安装，维护方便，经济适用，且无需外部能源，有着其他减震技术无可比拟的优点，广泛受到科研工作者和工程界的青睐（Rohman A，1984；王肇民，1994；李春祥，1999）。
目前对TMD的研究多为TMD的优化设计以及工程应用，主要关注确定性结构的动力响应对比；即便考虑随机性，也大都限于激励的随机性，对结构及减震装置的随机性分析不多。李杰提出的随机结构分析的概率密度演化方法可给出结构概率密度的时变过程，有助于深入了解结构的随机性（李杰等，2003；J.Li，et al，2004）。目前有关使用概率密度演化方法对结构动力响应研究的文献尚未见诸于随机结构TMD系统。本文采用线性滤波法中的自回归模型模拟作用在结构上的脉动风激励时程，将概率密度演化方法应用于随机结构—TMD系统，并考虑结构刚度与阻尼的随机性，以及TMD对结构概率密度的影响规律。
1 运动方程
脉动风荷载作用在结构上引起的振动，可视为是多点平稳随机激励下结构的随机振动问题。当结构在任意第j层安装一套TMD装置，假定TMD质量为md、刚度为kd、阻尼为Cd。结构在风荷载作用下的运动微分方程为： （1）
式中 为TMD对结构的作用力，表达式为：
（2）
TMD的运动方程为： （3）
式中xd和xj分别为TMD与结构第j层质量相对于地面的位移。
2脉动风模拟
线性滤波法中的自回归模型因计算量小、速度快，广泛用于随机振动和时间系列分析中（胡广书，1997；P M Mignolet，et al，1987；S H Jeong，et al，1997；J S Owen，et al，2001）。本节采用线性滤波法中的自回归模型模拟作用在结构上的脉动风激励时程。
模型阶次估计方法多基于估计预测误差功率。通常估计的预测误差功率随阶次的增加而减小，但单纯追求最小预测误差求得的阶次往往偏高，出现过拟合现象，这虽然提高了谱估计的分辨率，但会产生虚假谱峰，并且估计方差也会增大，同时阶数过高也会增加计算量，影响运算速度；反之，如果选取的阶次过低会导致谱估计平滑，不能达到精度要求。根据试算，本文AR模型阶数取为p=5。
脉动风荷载P的功率谱密度函数可用矩阵表示为： （4）
式中 为n×n阶常量矩阵，其元素为： （5）
式中AiAj为i，j点的迎风面积。
由于脉动风压均值为零，其协方差矩阵等于互相关矩阵，对R进行Cholesky分解可得：
（6）
式中矩阵C为一下三角矩阵。
顺风向脉动风压向量T可表达为：
（7）
式中，u（t）为n个互不相关的高斯随机过程组成的向量。
利用脉动风压乘以迎风面积，就可以得到式（1）中的脉动风激励时程 P（t）。根据我国规范，一般取Davenport脉动风速谱作为激励谱Sij。当已知结构各点高度处的平均风速Vj风荷载体型系数Us及迎风面积Aj后，就可以得出自荷载谱：
（8）
如果考虑各个随机激励之间的相关性，则引入相关系数，便可形成荷载功率谱矩阵。
3随机结构风振响应
一旦自荷载谱（8）已知，在构造的虚拟随机过程激励下，可很方便得到TMD相对于结构的位移为：
（9）
TMD相对于结构的位移均方差为：
（10）
式中， （11）
通过求解模态响应矢量z的协方差矩阵，可以得到结构每一质点的加速度响应方差为：
（12）
即可求出加速度均方差响应及TMD相对于第j质量层加速度均方差 。式中L为对角元素均为1的下三角矩阵，rj第i振型参与系数；
分别为第j振型向量； 为结构的阻尼比； 为TMD的阻尼比； μ为TMD与结构的质量比。q为所取振型数，当只考虑第一振型时，取q=1。
4概率密度演化方程
方程（1）及其初始条件构成的结构动力学正分析问题一般是适定的问题，其解存在、唯一且与随机量有关。因此由方程（1）及其初始条件可得到结构的位移反应。当求出了随机结构的位移响应，随机结构反应的概率密度演化方程
（13）
可利用确定性结构动力分析与有限差分的TVD格式进行数值求解，从而可以得到下式：
（14）
式中 为结构的随机参数，本文选取刚度和阻尼作为结构的随机参数， 为与 有关
（15）
式（15）是为给定 时结构的速度反应。根据式（13）即可给出任意时刻的概率密度函数。
同样，可以根据下式
（16） 求解任意时刻速度反应的概率密度函数。同理可得任意时刻加速度反应的概率密度函数。
5仿真分析
本文选取某10层框架结构模型作为算例，该框架结构层高为3m，迎风面长度是32m。结构每层质量为4.0×105kg，刚度为2.0×108N/m。阻尼采用Rayleigh阻尼假定，其比例常数由结构前2阶振型阻尼比（均为0.05）确定。该结构位于某市江口，其10年的基本风压取0.45kN/m2，考虑结构刚度服从正态分布，结构自振频率均值μf和和刚度均值μk分别为0.5319Hz和2.0×108N/m，变异系数为δ=10%。在结构顶层设置TMD以控制结构风振响应。TMD惯性质量为md=1.3×105kg，弹簧刚度kd=1.452×106N/m，阻尼系数为cd=9.4405×104Ns/m。
图3-4为无控和TMD控制时结构减振效果对比图。图3中当设置TMD后，结构各层层间位移减小约1/3，首层位移从0.5764mm减至0.3567mm。图4中设置TMD后结构各层的最大加速度反应从三角形分布变为近似矩形分布，结构顶层的加速度反应降低了56.4%。设置TMD后结构的动力反应减小明显。
计算随机结构的概率密度时须对随机源选择有代表性的离散点。本文根据 法则，即在均值左右两侧 范围内等间距选取15个点，试算表明计算的概率密度选点曲线与理论曲线基本吻合，理论上涵盖了98.76%的随机源概率密度，具有很高的精度，从而可作为下文数值计算的代表点。为了检验概率密度演化分析方法的有效性，本文还采用Monte Carlo法作为对比。由两种方法得到的无控和TMD控制时结构首层位移和顶层加速度的最大响应均值对比见表1，其相应的响应标准差时程对比见图5-6。
表1和图6～7表明，使用概率密度演化方法得到的结构最大响应均值和Monte Carlo模拟的结果非常接近，这表明概率密度演化方法具有很高的计算精度。此外，Monte Carlo模拟需要计算时长94s，而概率密度演化模拟仅需8s，这充分体现了概率密度演化方法的高效性。
图7-8反映了随机结构无控和TMD控制时其响应的概率密度对比。从图中可以看出无控时概率密度曲线分布较宽，概率密度较小，结构在风载激励下的安全性也因此降低；而TMD控制下结构反应的概率密度曲线分布较窄，概率密度较大，这表明TMD的减振效果明显。图9中在结构自振频率随机的情况下，TMD控制时结构随机位移响应最大值落在均值响应附近的概率较无控时大为增加，随机结构反应呈现典型的概率密度演化性质。虽然在本例中假定结构的随机参数符合正态分布，但是结构反应的概率密度曲线与正态分布相去甚远，无控时多峰现象比较严重，这表明无控时概率密度演化比较频繁。
从图10-13可以看出，当结构具有随机刚度与随机阻尼参数时的位移响应极值概率密度曲线是一样的，这也验证了采用Rayleigh阻尼假定时，结构阻尼随机和刚度随机时结构的位移响应具有同样的统计规律， TMD控制下结构的动力响应均值有一定程度减小，但并不明显，这体现了TMD对结构参数随机具有一定的容错性能。
对比图8和图10、12可看出，当结构自振频率随机时，其概率密度函数曲线较结构自振刚度随机时变得窄和尖，因而此时结构顶层的最大加速度响应落在均值加速度响应的概率增加，这也证明，TMD对于结构自振频率的敏感度比对结构刚度的敏感度要低，因此在实际设计TMD的时候应该严格控制结构主体在施工中出现的刚度变化。
6结论
本文采用概率密度演化方法，对随机结构TMD系统在随机脉动风荷载下的动力响应进行了研究，并与Monte Carlo方法作了对比，得出如下结论：由于结构的随机性以及TMD只能较好控制某一具有特定参数的结构，所以在结构设计中，TMD参数选取很重要；TMD对结构参数随机具有一定的容错性能，为以后TMD应用范围拓展提供了理论支持；与Monte Carlo方法相比，概率密度演化方法计算量小，精度高，可获得更为精细的反应概率信息，为后续基于可靠性理论进行TMD优化设计提供了一个快速实现的方法，这在实际工程应用中具有很重要的意义。
参考文献：
（1）王肇民.电视塔结构TMD风振控制研究与设计[J].建筑结构学报，1994，15（5）：2-13.
（2）李春祥.地震作用下高层建筑TMD控制研究与设计[J].上海交通大学学报，1999，33（5）：746-749.
（3）李杰，陳建兵.随机结构动力反应分析的概率密度演化方法[J]. 力学学报，2003，35（4）：437-442.
（4）胡广书.数字信号处理—理论、算法与实现[M].北京：清华大学出版社，1997.