摘要：从古希腊时期开始，数学就被赋予了浓郁的逻辑和理性色彩。随着柏拉图主义与基督教的结合，在西方文化中，数学知识便成为了绝对性、确定性和永恒性的真理的典范，是形而上学哲学的坚实根基之一。但自十九世纪以来，因为数学自身的发展，数学作为神性化形而上学的真理性知识的地位逐渐开始瓦解，一场深刻持久的数学真理观念变革拉开了序幕。通过对数学理性地位的研究，使人认识到，数学的发展过程也是自我革新的过程。数学的这种自我革新的能力也是人类不断加深自身认识的必要途径。
　　关键词：数学;真理观
　　数学依赖一种特殊的方法去达到它惊人而有力的结果。即从不证自明的公理出发进行演绎推理。它的实质是，若公理为真，则可以保证由其演绎出来的结论必然为真。通过应用这些看起来清晰、真确、完美的逻辑，数学家们得出毋庸置疑、无可辩驳的结论。正是通过将数学的这套逻辑推理体系与恰当的理论模型结合了起来，才使得建立在对现象的归纳基础上的科学理论取得了确定性的推理能力。简单的说，就是因为数学的作用，让所谓的自然定律看起来似乎与数学真理一样绝对可信。因此，在经典物理学的时代，人们开始普遍的相信数学能够牢固的把握宇宙的所作所为，能够瓦解玄妙并代之以秩序和规律。人们开始自信的宣称自己已经掌握了宇宙的许多秘密（实际上只是一系列的数学定理）。
　　但到了十九世纪，一系列数学知识的新进展，诸如极限论和实数理论，非欧几何，哈密尔顿的四元数和伽罗瓦的群论等数学新知识的出现，以及罗素悖论、康托尔悖论等一系列关乎集合论的完备性和逻辑一致性的悖论的接踵而至，都开始从整体上动摇以形而上学为基调的传统数学真理观念和思想体系。就在以希尔伯特为代表的形式主义学派和以罗素为代表的逻辑主义学派试图克服上述的种种困难，以期将数学的新发展和传统的数学知识体系相融合，重新建立严格的数学基础时，诞生了在数学史和逻辑学史上具有里程碑意义的“哥德尔不完备定理”。该定理表明被数学家们所倚重的公理化和形式化有其内在的局限性。不可能一劳永逸地构建一套公理化系统来重建数学的确定性基础。这意味着对于公理有了选择的可能，数学家们在如何看待真理及知识的可靠性方面已不再有完全一致的见解。
　　以几何学为例。对于经典的欧几里得几何学，其核心的五条公理在很长的时间里还没有人怀疑过它们的物理真实性，它们被认为是明显的真实和有效的。但到了19世纪的时候，还是有人对这五条公理的真理性提出了质疑，尤其是其中的第五条公理，即著名的平行线公理。这条公理是这样的：“给一条直线和线外的一点，在由该给定直线和点所决定的平面上有而且仅有一条直线经过定点而与给定直线不相交”。很多的人开始反对将这个事实作为一条公理引入，因为它看上去不像一条公理应当具有的那样不证自明的特性，为了避免引入这条公理，有人采用了一种巧妙的方法，即将这条公理改为两种与之相反的形式，即，一、过定点可作多一条直线与给定直线不相交;二、过定点不能做出直线与给定直线不相交。并且将这两条公理之一代替欧几里得几何学中的平行线公理，去联同其余的四条公里去推导定理。这些人期望这样肯定会得到大量相互矛盾的定理，而这将会进一步的证明代换进去的公理是错误的。这样最后一步的推理就是，如果仅有的两个可能的不同说法都导致了矛盾，则欧几里得的命题必然是正确无误的（尽管看起来并不是那么自明）。
　　但不幸的是采用的这两个不同的公理并没有到处任何的矛盾，这也就意味着我们得到了两种全新的几何学，并且这两种几何学有着和经典的欧式几何学一样严谨的逻辑结构。这是有人可能要说，这种建立纯粹的数学演算基础上的几何学怎么看都像是一种数学游戏，它们在实际的应用中是否能和久经考验的欧几里得几何学相媲美？答案是，若把这些新的几何学应用于自然界，在当时的测量所能确定的精度下，其结构是同欧式几何学一样精确的（这是高斯在大地测量学中的伟大贡献）。
　　就这样数学家们被迫面对这样一个问题，“这些几何学，欧式的和非欧式的，究竟哪个是自然界的真理？没有标准可以指明哪一个比另一个更合适。可是好几个互相根本不同的几何学不可能都是真实的，这是不符合逻辑的。数学家们慢慢地勉强领悟了其中的真谛，即哪一种几何学都没有理由使人相信是真实的。
　　就这样，如果作为数学的基本分支之一的欧几里得几何学都不必须是真实的，数学家们应当重新考虑他们对所有数学本质的理解是不是有问题。他们曾经相信自己是从自然界中显现的真理出发，并运用推理演绎出有关自然界进一步的真理。然而非欧几何的教训在于：人们过去肤浅的挑选了有关自然界的一些似乎是正确的事实作为公理并演绎出一批结论，而这些结论又碰巧可以被应用。确实可能从完全不同于原先的欧几里得的断言出发而仍然获得有用的结果。这对于根植于数学发展历史中的理性主义是一个强烈的打击。显然数学是人的创造，它是人工的。无论其公理或由次推出的定理那都是由人写进宇宙的 。数学知识的确定性已经开始丧失。
　　如果说第一次数学危机摧毁了毕达哥拉斯学派的神秘主义堡垒，那么从十九世纪中叶以来所发生的数学革命所摧毁的是整个西方近代科学哲学所依赖的形而上学思想体系。这意味着西方自古希腊、文艺复兴和近代科学诞生以来所取得的巨大的精神财富和思想成就面临着被重新估计、重新审视的境地。面对出人意料的成就和令人焦躁不安的危机，那些固守传统信念的数学家和哲学家，尤其是在柏拉图主义者和概念实在论者那里，产生了西方文化史上最严重的理性主义信仰危机。在表明其最终哲学观点的《我的哲学发展》一书中，罗素清楚地表明其对数学的悲观看法：“一直以来，我希望在数学中找到的绝对的确定性消失在一个令人迷惑的迷宫中了……它却是一个复杂的概念的迷宫。”但传统数学家的沮丧并不意味着数学知识失去了其认识自然和描述自然的有效性。事实恰恰相反，近现代以来几乎每一次的科学革命，都与数学的发展和革新紧密相关，例如广义相对论之于非欧几何，四维空间理论之于汉密尔顿四元数，量子力學理论之于伽罗瓦群论。
　　参考文献
　　[1] Morris Kline主编：《现代世界中的数学》，齐友民等译，上海教育出版社，2004年。
　　[2] M·克莱因：《数学：确定性的丧失》，李宏魁译，湖南科学技术出版社，2001年。
　　[3] Ivar Ekeland：《最佳可能性世界——数学与命运》，冯国苹、张端智译，科学出版社，2012年。