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精心设计新知的引入接口、建构活动和应用练习是提高数学新授教学质量的关键。不过，教学终究是遗憾的艺术，教师只有通过反思，找到不足并作出改进，才能不断提高教学质量，同时提升专业素养。
“因数与倍数”是学习分数约分、通分的基础，也是学习分数运算的关键。苏教版小学数学五年级下册第三单元“因数与倍数”第一课时内容主要分為三大板块：例题1通过摆小正方体引入因数与倍数的概念；例题2寻找因数及发现因数特征，例题3寻找倍数及发现倍数特征。下面，呈现笔者对例题1教学的反思与改进。
一、对新知引入的反思与改进
第一次执教时，笔者设计如下谈话内容进行引入：
1.这节课我们将继续学习有关数的知识。请回忆一下，我们已经认识了哪些数？
2.今天我们将从一个特定的角度对除0之外的自然数进行研究，探索它们的相互关系及其特征。
这里的谈话引导既强调了新内容与相关知识的联系，又明确了新内容所涉及的基本问题。但是事实上，教学过程中学生并未形成主动探究的积极心向。究其原因，主要有两点：一是教学伊始教师就提出要对除0之外的自然数进行研究，不仅抽象，而且有些唐突，没有留给学生缓冲的时间；二是本课之前学生都是独立地研究整数，而本课要求学生对两个或几个自然数之间的关系展开研究，这种视角的改变造成了学生的不适应。因此，第二次执教时，笔者以讲故事的方式，从最先研究因数与倍数的古希腊人开始引入：
今天我们学习的因数与倍数，其实早在两千多年前古希腊人就开始研究了。他们发现数与数之间是有关联的。比如6可以用2×3来表示，这样就发现了2、3与6这几个数之间的联系。这些联系我们还可以借助图形拼搭的方式来发现。再比如说12这个数，它与哪些数有关联呢？我们可以试着用12个同样大的正方形来研究。
从一个真实、有趣的故事引入，通过谈话提炼出与本节课内容有关的知识，将抽象的数学知识具体化、形象化。这样的设计不仅能有效吸引学生的注意力，勾起学生的好奇心，而且为他们初步理解数与数之间相互依存的关系提供了有力的支撑，整个教学过程显得简洁、干练。
二、对新知建构的反思与改进
第一次执教时，笔者设计如下探究活动引导学生建构因数与倍数的概念：
1.动手操作，引出乘法算式。
（1）活动：拿出准备好的12个同样大的正方形，将它们拼成一个长方形。先自己拼一拼，然后在组内交流。
通过课件演示，明确有些摆法通过旋转其实是一样的。
（2）交流：有几种不同的拼法？各种拼法中每排摆了几个，摆了几排？可以用怎样的乘法算式表示？
根据学生的交流，板书“12×1=12，6×2=12，4×3=12”。
2.介绍说明，理解概念含义。
（1）示范：通过摆小正方形，得到三道乘法算式，这几道乘法算式和今天学习的因数与倍数有什么关系呢？以4×3=12为例，因为4和3相乘等于12，我们就说4是12的因数，3也是12的因数，12是4的倍数，12也是3的倍数。请同学们像这样说一说4、3和12之间的关系。
（2）模仿：12×1=12，6×2=12，请同学们任选其中一道算式，和同桌说一说哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数。
（3）追问：如果只说12是倍数，4是因数，可以吗？为什么？
通过交流与引导，指出：因数与倍数是两个数之间的关系，所以一定要说清楚哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数。
这里，首先从操作入手，借助12个小正方形摆长方形的直观材料，以数形结合的方式作出范例直言；接着通过模仿与反馈，初步体会和认识因数与倍数的依存关系，逐步领悟和形成因数与倍数的意义。但是在课后，有一位成绩很好的学生询问笔者：“以前我们学过因数，也学过一个数是另个数的几倍，它们和今天学的因数与倍数有什么相同和不同呢？”于是，笔者反思自己的教学，发现对学生的疑惑确实没有任何交代。因此，第二次执教时，笔者深入细致地分析了学生的学习基础和认知需要，作出了适当的改进：
1.动手操作，引出乘法算式。（同第一次执教，过程省略）
2.渗透联系（旧知），初步建立概念。
（1）联系：刚才我们摆出了三个长方形，写出了三道乘法算式。以4×3=12为例，联系以前学习的知识，你能想到什么？
学生说出乘法算式中各部分的名称：4和3都是因数（乘数），12是它们的积；还说出倍数关系：12是4的3倍，12是3的4倍。
（2）示范：其实，今天我们要学习的新知识就在这个算式之中。因为4×3=12，所以4、3和12之间的关系可以说成4是12的因数，3也是12的因数；反过来，也可以说成12是4的倍数，12也是3的倍数。请同学们像这样说一说4、3和12之间的关系。
（3）模仿：还有两道乘法算式，12×1=12，6×2=12，请同学们任选一道，和同桌说一说。
结合学生的交流，引导学生感受到12和它本身的关系很特别：12既是12的因数，也是12的倍数。
3.对比辨析（旧知），进一步明确概念。
（1）提问：在2.4×5=12中，以前我们可以说12是2.4的5倍，那么现在我们可以说2.4是12的因数，12是2.4的倍数吗？
根据刚才所学，学生多半点头同意。这时，可以让学生自主阅读教材第30页的底注，并提醒学生：以前认识的几倍关系可以是小数，可以是整数；而今天研究因数与倍数时，所说的数一般指不是0的自然数。至于为什么是非0的数，可以联系刚才摆出的长方形，用长或者宽不可能是0来解释。
（2）质疑：在4×3=12中，以前我们说4是因数，现在我们说4是12的因数，这两种说法一样吗？ 通过交流与引导，指出：这节课研究的因数与乘法算式中的因数不同；在4×3=12中，4是因数指的是4在算式中的名称，4是12的因数指的是4和12之间的关系，两者不能搞混。
學生以前接触过因数与倍的概念，但是本节课学习的因数与倍数概念与它们不同，因此学生在本节课的学习中容易对相关的概念产生混淆、无法区分。这就要求教师在帮助学生形成因数与倍数概念时，根据知识的内在联系和学生的认知水平，在丰富了学生的感性认识后顺水推舟地揭示概念含义。上述教学中，教师以4×3=12为例，让学生联系以前学习的知识展开联想，然后顺势揭示因数与倍数的含义，最后还让学生对比辨析新旧知识的差异，化解了学生学习中的疑难点，进一步明确了因数与倍数的概念。这样的教学过程促使学生利用原有的概念积极建构新概念，将所学知识融为一体。
三、对新知应用的反思与改进
第一次执教时，笔者利用如下教材练习组织学生应用因数与倍数的概念：
出示：8×9=72；11×4=44；1×15=15。
要求：先分别看乘法算式，说说哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数；再把乘法算式改写为除法算式，然后分别看除法算式，说说哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数。
以上练习主要是让学生及时巩固因数与倍数的概念，理解由乘法和除法算式都可以找出因数与倍数关系，整体而言，似乎并无不妥。但是教学后，笔者发现这样的重复设计略显呆板，使得课堂气氛较为沉闷。于是，第二次执教时，笔者从习题的编排和教学的形式上作出了适当的改进：
1.基础练习。
出示：8×9=72；44÷4=11。
要求：根据算式，先想一想拼成的是一个怎样的长方形，再说一说数字之间的关系。
通过交流和引导，明确：根据除法算式，同样可以说出4、11和44之间的关系；除法算式可以转化成11×4=44，道理是一样的。
2.拓展练习。
（1）出示：4、5、8、16。
提问：如果没有算式，只有这几个数，你能找出它们之间的关系吗？
通过观察与补充，学生找出：4是8的因数，4是16的因数；8是16的因数；8是4的倍数，16是4的倍数，16是8的倍数。
（2）辨析：8既是4的倍数，又是16的因数，我们就说8是因数或8是倍数，可以吗？
在交流中明确：因数与倍数是两个数之间的关系，一定要说哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数。
（3）逆向思考：由8是4的倍数，你想到的是哪个式子？由4是16的因数呢？
（4）特例寻因：5在这四个数中很特别，你发现了吗？
从给出乘法算式、除法算式到给出几个具有内在关联的非0自然数，让学生从不同的角度逐步丰富对因数与倍数概念的理解，感受“相互依存”的数学内涵。这样的练习紧扣内容核心，既自然顺畅、合情合理，又具有内在的层次性和启发性，可以引导学生拾级而上，逐步完成概念的巩固提升。另外，在练习中，教师非常注重“因数与倍数关系”和“乘法算式”之间的切换性追问。这些追问有助于增进“因数与倍数关系”和“乘法算式”之间的内联意识，强化“因数与倍数概念”建立于“算式”的感知表象，从而加深对“依存关系”的认识和理解。
“因数与倍数”是学习分数约分、通分的基础，也是学习分数运算的关键。苏教版小学数学五年级下册第三单元“因数与倍数”第一课时内容主要分為三大板块：例题1通过摆小正方体引入因数与倍数的概念；例题2寻找因数及发现因数特征，例题3寻找倍数及发现倍数特征。下面，呈现笔者对例题1教学的反思与改进。
一、对新知引入的反思与改进
第一次执教时，笔者设计如下谈话内容进行引入：
1.这节课我们将继续学习有关数的知识。请回忆一下，我们已经认识了哪些数？
2.今天我们将从一个特定的角度对除0之外的自然数进行研究，探索它们的相互关系及其特征。
这里的谈话引导既强调了新内容与相关知识的联系，又明确了新内容所涉及的基本问题。但是事实上，教学过程中学生并未形成主动探究的积极心向。究其原因，主要有两点：一是教学伊始教师就提出要对除0之外的自然数进行研究，不仅抽象，而且有些唐突，没有留给学生缓冲的时间；二是本课之前学生都是独立地研究整数，而本课要求学生对两个或几个自然数之间的关系展开研究，这种视角的改变造成了学生的不适应。因此，第二次执教时，笔者以讲故事的方式，从最先研究因数与倍数的古希腊人开始引入：
今天我们学习的因数与倍数，其实早在两千多年前古希腊人就开始研究了。他们发现数与数之间是有关联的。比如6可以用2×3来表示，这样就发现了2、3与6这几个数之间的联系。这些联系我们还可以借助图形拼搭的方式来发现。再比如说12这个数，它与哪些数有关联呢？我们可以试着用12个同样大的正方形来研究。
从一个真实、有趣的故事引入，通过谈话提炼出与本节课内容有关的知识，将抽象的数学知识具体化、形象化。这样的设计不仅能有效吸引学生的注意力，勾起学生的好奇心，而且为他们初步理解数与数之间相互依存的关系提供了有力的支撑，整个教学过程显得简洁、干练。
二、对新知建构的反思与改进
第一次执教时，笔者设计如下探究活动引导学生建构因数与倍数的概念：
1.动手操作，引出乘法算式。
（1）活动：拿出准备好的12个同样大的正方形，将它们拼成一个长方形。先自己拼一拼，然后在组内交流。
通过课件演示，明确有些摆法通过旋转其实是一样的。
（2）交流：有几种不同的拼法？各种拼法中每排摆了几个，摆了几排？可以用怎样的乘法算式表示？
根据学生的交流，板书“12×1=12，6×2=12，4×3=12”。
2.介绍说明，理解概念含义。
（1）示范：通过摆小正方形，得到三道乘法算式，这几道乘法算式和今天学习的因数与倍数有什么关系呢？以4×3=12为例，因为4和3相乘等于12，我们就说4是12的因数，3也是12的因数，12是4的倍数，12也是3的倍数。请同学们像这样说一说4、3和12之间的关系。
（2）模仿：12×1=12，6×2=12，请同学们任选其中一道算式，和同桌说一说哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数。
（3）追问：如果只说12是倍数，4是因数，可以吗？为什么？
通过交流与引导，指出：因数与倍数是两个数之间的关系，所以一定要说清楚哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数。
这里，首先从操作入手，借助12个小正方形摆长方形的直观材料，以数形结合的方式作出范例直言；接着通过模仿与反馈，初步体会和认识因数与倍数的依存关系，逐步领悟和形成因数与倍数的意义。但是在课后，有一位成绩很好的学生询问笔者：“以前我们学过因数，也学过一个数是另个数的几倍，它们和今天学的因数与倍数有什么相同和不同呢？”于是，笔者反思自己的教学，发现对学生的疑惑确实没有任何交代。因此，第二次执教时，笔者深入细致地分析了学生的学习基础和认知需要，作出了适当的改进：
1.动手操作，引出乘法算式。（同第一次执教，过程省略）
2.渗透联系（旧知），初步建立概念。
（1）联系：刚才我们摆出了三个长方形，写出了三道乘法算式。以4×3=12为例，联系以前学习的知识，你能想到什么？
学生说出乘法算式中各部分的名称：4和3都是因数（乘数），12是它们的积；还说出倍数关系：12是4的3倍，12是3的4倍。
（2）示范：其实，今天我们要学习的新知识就在这个算式之中。因为4×3=12，所以4、3和12之间的关系可以说成4是12的因数，3也是12的因数；反过来，也可以说成12是4的倍数，12也是3的倍数。请同学们像这样说一说4、3和12之间的关系。
（3）模仿：还有两道乘法算式，12×1=12，6×2=12，请同学们任选一道，和同桌说一说。
结合学生的交流，引导学生感受到12和它本身的关系很特别：12既是12的因数，也是12的倍数。
3.对比辨析（旧知），进一步明确概念。
（1）提问：在2.4×5=12中，以前我们可以说12是2.4的5倍，那么现在我们可以说2.4是12的因数，12是2.4的倍数吗？
根据刚才所学，学生多半点头同意。这时，可以让学生自主阅读教材第30页的底注，并提醒学生：以前认识的几倍关系可以是小数，可以是整数；而今天研究因数与倍数时，所说的数一般指不是0的自然数。至于为什么是非0的数，可以联系刚才摆出的长方形，用长或者宽不可能是0来解释。
（2）质疑：在4×3=12中，以前我们说4是因数，现在我们说4是12的因数，这两种说法一样吗？ 通过交流与引导，指出：这节课研究的因数与乘法算式中的因数不同；在4×3=12中，4是因数指的是4在算式中的名称，4是12的因数指的是4和12之间的关系，两者不能搞混。
學生以前接触过因数与倍的概念，但是本节课学习的因数与倍数概念与它们不同，因此学生在本节课的学习中容易对相关的概念产生混淆、无法区分。这就要求教师在帮助学生形成因数与倍数概念时，根据知识的内在联系和学生的认知水平，在丰富了学生的感性认识后顺水推舟地揭示概念含义。上述教学中，教师以4×3=12为例，让学生联系以前学习的知识展开联想，然后顺势揭示因数与倍数的含义，最后还让学生对比辨析新旧知识的差异，化解了学生学习中的疑难点，进一步明确了因数与倍数的概念。这样的教学过程促使学生利用原有的概念积极建构新概念，将所学知识融为一体。
三、对新知应用的反思与改进
第一次执教时，笔者利用如下教材练习组织学生应用因数与倍数的概念：
出示：8×9=72；11×4=44；1×15=15。
要求：先分别看乘法算式，说说哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数；再把乘法算式改写为除法算式，然后分别看除法算式，说说哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数。
以上练习主要是让学生及时巩固因数与倍数的概念，理解由乘法和除法算式都可以找出因数与倍数关系，整体而言，似乎并无不妥。但是教学后，笔者发现这样的重复设计略显呆板，使得课堂气氛较为沉闷。于是，第二次执教时，笔者从习题的编排和教学的形式上作出了适当的改进：
1.基础练习。
出示：8×9=72；44÷4=11。
要求：根据算式，先想一想拼成的是一个怎样的长方形，再说一说数字之间的关系。
通过交流和引导，明确：根据除法算式，同样可以说出4、11和44之间的关系；除法算式可以转化成11×4=44，道理是一样的。
2.拓展练习。
（1）出示：4、5、8、16。
提问：如果没有算式，只有这几个数，你能找出它们之间的关系吗？
通过观察与补充，学生找出：4是8的因数，4是16的因数；8是16的因数；8是4的倍数，16是4的倍数，16是8的倍数。
（2）辨析：8既是4的倍数，又是16的因数，我们就说8是因数或8是倍数，可以吗？
在交流中明确：因数与倍数是两个数之间的关系，一定要说哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数。
（3）逆向思考：由8是4的倍数，你想到的是哪个式子？由4是16的因数呢？
（4）特例寻因：5在这四个数中很特别，你发现了吗？
从给出乘法算式、除法算式到给出几个具有内在关联的非0自然数，让学生从不同的角度逐步丰富对因数与倍数概念的理解，感受“相互依存”的数学内涵。这样的练习紧扣内容核心，既自然顺畅、合情合理，又具有内在的层次性和启发性，可以引导学生拾级而上，逐步完成概念的巩固提升。另外，在练习中，教师非常注重“因数与倍数关系”和“乘法算式”之间的切换性追问。这些追问有助于增进“因数与倍数关系”和“乘法算式”之间的内联意识，强化“因数与倍数概念”建立于“算式”的感知表象，从而加深对“依存关系”的认识和理解。