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摘 要：李庾南老师的《勾股定理》教学充分体现了“弘扬数学文化，实现学科育人”的思想和立意。在教学中，李老师特别注意围绕数学文化的要素，凸显数学学科的育人价值。具体来说，李老师引导学生：关注中国数学史，增强民族自豪感;对比中外数学史，产生历史责任感;比较定理证明方法，提炼数学思想方法;挑战新的证明方法，提升学习的信心;拓展定理认识角度，体会数学研究精神;自编定理应用问题，享受学习的快乐。
关键词：勾股定理;数学文化;学科育人
“勾股定理”是初中数学的重要教学内容。从文献来看，勾股定理的教学通常都围绕让学生“发现”勾股定理来做文章，认为这样做符合建构主义思想，合乎探究教学的改革潮流。对此，张奠宙先生就曾指出：“‘发现’勾股定理重要吗？每个定理都需要发现吗？譬如看一幅名画，听一首名曲，读一首名诗，欣赏一篇名文，非要发现它们是怎样画出来的，怎样谱曲的，怎样构思的，岂不太累？作为数学文化的瑰宝，应该以‘弘扬数学文化’为基点来设计勾股定理的教学。”
名师之所以是名师，往往就在于其教学有一些与众不同的地方，其背后体现出更深的教学思想和更高的教学立意。最近，笔者学习了著名特级教师李庾南老师的《勾股定理》教学案例，感到其充分体现了“弘扬数学文化，实现学科育人”的思想和立意。
一、数学文化的内涵和价值
1949年以来，在国家颁布的各版本的基础教育数学课程标准（教学大纲）中，《普通高中数学课程标准（2017年版）》第一次给数学文化下了定义：“数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展;还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动。”
长期以来，虽然数学文化的定义众说纷纭，但大家还是对数学文化的内涵和价值形成了一定的共识：数学文化一方面包括数学史和相关的人文活动，可以让学生了解数学的来龙去脉（如产生背景和现实应用等），促进对学生数学内容的理解和对数学价值的认识，润泽学生的数学情感，激发学生的学习动力，让数学教学不再“掐头去尾烧中段”;另一方面包括数学知识获得和问题解决过程中蕴含的思想方法和探索精神，可以培养学生的数学素养，帮助学生形成正确的数学观、世界观、人生观、价值观，让数学教学超越具体的知识层面，拥有更高的境界。
二、《勾股定理》教学赏析
李老师采用她倡导的“自学·议论·引导”教学法教学《勾股定理》。课前，教师布置自学任务：（1）搜集古今中外与勾股定理的发现、证明、应用以及拓展研究相关的史料;（2）理解两三种勾股定理的证明方法;（3）自编一道运用勾股定理解决的实际问题。课上，学生小组讨论自学的内容，教师根据实际情况加入讨论;然后，全班交流小组讨论的内容，教师相机引导。
在教学中，李老师特别注意围绕数学文化的要求，凸显数学学科的育人价值。
（一）关注中国数学史，增强民族自豪感
在交流与讨论有关的史料时，教师引导学生发现：我国西周数学家商高提出“勾三、股四、弦五”这一勾股定理特例比西方早数百年，三国时期的数学家赵爽所用的弦图方法是证明勾股定理最简洁的方法之一。然后，顺势出示弦图，指出：“为了纪念赵爽在勾股定理证明上的突出成就，2002年在中国召开的国际数学大会就选择了这幅图作为会标。”同时，学生还交流了对我国古代一些重要数学著作以及经典数学问题的了解。这些史实让学生产生了强烈的民族自豪感：“原来我国古代的人民如此智慧。”
（二）对比中外数学史，产生历史责任感
在确认我国古代的商高最先发现了勾股定理特例的基础上，教师引导学生对谁最先证明了勾股定理的一般形式展开交流与讨论——
生 既然商高提出了勾股定理的特例，他就应该能证明勾股定理。
生 你说的只是猜测。现有的史料表明，我国最早给出勾股定理证明的是赵爽，他的证明比毕达哥拉斯的证明要晚数百年。
生 也许商高的证明失传了呢？
生 这些争论有什么用呢？如果我们现在能发现一个什么定理并给出证明，那么谁都不能和中国争了。
师 对呀！陈景润先生不就是我们的榜样吗？他在解决哥德巴赫猜想问题的进程中，不就走在了世界的前列吗？你们只要努力，一定能通过自己的行动为国争光！
生 我以后要研究数学史，找到事实来证明是中国人最早证明了勾股定理。
生 我要想出更简洁的证明方法来。
师 同学们的心愿都是好的。我們要从现在开始，争分夺秒努力学习，将来才能为国争光。
中外数学史的对比以及陈景润先生的事例，激发学生产生了强烈的历史责任感，想要学有所成，为国争光。
（三）比较定理证明方法，提炼数学思想方法
在交流与讨论勾股定理的证明方法时，学生理解了赵爽的弦图、刘徽的“青朱出入图”、毕达哥拉斯的证明、欧几里得的证明，还有学生介绍了“总统的证法”。在此基础上，教师引导学生寻找共性，提炼更具有一般性的数学思想方法，感悟面积法思想——
师 同学们，刚才的证明过程大家都讲得很好，说明我们已经理解了证明的具体内容。现在来想一想：这些证明的思路有没有什么共性？
生 好像都是通过面积来证明的。
生 好像都是将两个正方形进行割、补、拼、接后用面积相等来证明的。
生 欧几里得的证明方法没有补、拼、接，只有割，他将大正方形割成两个矩形，利用三角形的面积等于对应矩形面积的一半，证明两个小正方形的面积分别等于两个矩形的面积。 生 还有关键的一步是要说明两个三角形全等。
生 这其实也是一种拼呀！不就是将两个小正方形拼到大正方形上吗？
师 大家都讲得非常好！通过讨论我们可以发现，刚才介绍的证明方法都以面积法为基本思路。从代数的角度看，面积法是几何直观的一种体现：正方形的面积正是勾股定理表达式中字母平方的几何意义。从几何的角度看，面积法的基本思路是对同一块面积“算两次”，它是一种非常重要的数学方法——有人甚至认为，面积是平面几何中的“帝王不变量”，面积法是平面几何中的根本大法。
（四）挑战新的证明方法，提升学习的信心
在勾股定理众多证明方法的基础上，教师利用“总统的证法”激励学生挑战新的证法，体会文化的传承与创新，提升学习的信心——
师 通过搜集与整理资料，我们发现勾股定理的证法多达数百种，而且就连美国总统也证明过勾股定理。同学们敢不敢来挑战一下勾股定理的证明？我觉得你们不比美国总统差！
（经过小组共同努力，一些自学过相似三角形和圆的知识的学生给出了以下两种证法。）
证法1： 如图1，在△ABC中，∠C=90°，作CD⊥AB于D。由三角形相似，得 x b = b c ，即b2=cx;
y a = a c ，即a2=cy。两式相加得a2+b2=c（x+y）=c2。
证法2： 如图2，在△ABC中，∠C=90°，以B为圆心、BC为半径作圆，交AB及其延长线于D、E。由切割线定理，得AC2=AD·AE=（AB-BC）·（AB+BC）=AB2-BC2，所以AC2+BC2=AB2。
由此，教师引导学生比较历史上的面积证法和自己给出的证法，分别体会其中的几何直观思想和逻辑推理思想。
（五）拓展定理认识角度，体会数学研究精神
师 勾股定理被称为“千古第一定理”，它联系了数学最基本也是最重要的两个对象——数与形。虽然勾股定理从根本上说是一个关于直角三角形的定理，即几何定理，但是我们也可以聚焦它的表达式，从代数的角度展开研究。同学们搜集史料时有什么发现？
生 如果a=b=1，那么c2 =2，c是无理数。无理数的发现引发了第一次数学危机，还有人为此丧命。
生 a2+b2=c2是三元的不定方程，从形式上看非常具有美感，很多人尝试研究它的正整数解，即勾股数。
生 比如3、4、5，5、12、13这样的数就是勾股数。很多数学家尝试寻找它的一般形式。毕达哥拉斯给出了
a=2n+1，
b=2n2+2n，
c=2n2+2n+1 （n为正整数）和
a=n，
b= 1 2 （n2-1），
c= 1 2 （n2+1）
（n为正奇数） 这样两种形式，
但它们都不能表示出所有的勾股数，因为其中的b、c总是相鄰的两个正整数。柏拉图给出了
a=2n，
b=n2-1，
c=n2+1 （n为正整数）的形式 ，
但它也不能表示出所有的勾股数，因为这里的b、c总是相差2。
师 很好！你对勾股数做了比较深入的了解。其实，数学是一门不断演进的学科。后来，欧几里得给出了这样的形式：
a= pq ，
b= 1 2 （p-q），
c= 1 2 （p+q） （p、q奇偶性相同，p>q，pq是完全平方数） 。
但它还是不能表示出所有的勾股数。不过，数学家最终给出了真正完美的勾股数表达式。感兴趣的同学课后可以查阅相关资料。 （稍停） 对a2+b2=c2这个三元不定方程，数学家们还展开了什么研究？
生 费马尝试增加这个方程的次数，提出猜想：关于a、b、c的方程
an+bn=cn
在幂指数n>2 （n为正整数） 时没有正整数解。
师 很好！这就是困惑了数学家长达358年之久的著名的费马大定理。虽然费马声称他证明了这个猜想，但是他所谓的证明失传了。英国数学家安德鲁·怀尔斯从1986年开始冒着“一事无成”的风险，排除各种干扰，秘密钻研，终于在1993年6月23日完成了费马大定理的证明。感兴趣的同学课后可以查阅相关资料，了解费马大定理的证明历程，感受数学家不断追求真理的研究精神。
这里，教师引导学生从代数的角度认识勾股定理，挖掘相关文化内涵，从而在感悟数形结合思想的基础上，充分体会数学学科的演进特征以及数学家的研究精神。
（六）自编定理应用问题，享受学习的快乐
交流、讨论收集和自编的勾股定理应用问题时，一位学生给出了如下自编题：
如图3，学校的操场上新立了一根旗杆，升旗的绳子从旗杆顶端自然垂挂至地面，比旗杆还长1m。请你利用这个数据设计合适的方法，测算出学校旗杆的高度。
对此，其他学生百思不得其解。教师不急于帮助其他学生分析解题思路，而是请出题的学生阐述命题思路—— 生 （出示如下题目） 请大家看这样一个我国古代的问题。
如图4，今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：水深、葭长各几何？
（学生交流，尝试解决。）
师 从大家的表现中，李老师发现，很多同学对这道古代题不以为然，认为没什么难的。但是，李老师要说的是，出题的同学很有智慧，从这道古代题中获得了启发，编制出这道现代题，把大家都难住了。现在，大家既然能解出这道古代题，李老师相信大家也一定能从中获得启发，想出如何测算旗杆的高度。
生 （忽然叫起来） 我想到了！把这个图倒过来就行了。
师 （故意装糊涂） 什么“倒过来”？我怎么听不懂你说什么？
生 （另一个学生抢着说） 这根绳子比旗杆长一米，倒过来相当于“葭”“出水一尺”，我们只要“引葭赴岸，适于岸齐”。 （出示图5） 也就是说，将这根绳子拉直到与地面平齐时，再测量BC的长，就可以类似地求出旗杆的高度。
（教师点头赞许。）
生 （之前的学生心有不甘，出示图6） 我们还可以用这样的方法测算……
由此，学生在根据古代题自编现代题的文化传承与创新过程中，进一步体会到学习的快乐。
参考文献：
[1] 李庾南，陈育彬.中学数学新课程教学设计30例——学力是这样发展的[M].北京：人民教育出版社，2007.
[2] 张奠宙，马岷兴，陈双双，等.数学学科德育——新视角·新案例[M].北京：高等教育出版社，2007.
关键词：勾股定理;数学文化;学科育人
“勾股定理”是初中数学的重要教学内容。从文献来看，勾股定理的教学通常都围绕让学生“发现”勾股定理来做文章，认为这样做符合建构主义思想，合乎探究教学的改革潮流。对此，张奠宙先生就曾指出：“‘发现’勾股定理重要吗？每个定理都需要发现吗？譬如看一幅名画，听一首名曲，读一首名诗，欣赏一篇名文，非要发现它们是怎样画出来的，怎样谱曲的，怎样构思的，岂不太累？作为数学文化的瑰宝，应该以‘弘扬数学文化’为基点来设计勾股定理的教学。”
名师之所以是名师，往往就在于其教学有一些与众不同的地方，其背后体现出更深的教学思想和更高的教学立意。最近，笔者学习了著名特级教师李庾南老师的《勾股定理》教学案例，感到其充分体现了“弘扬数学文化，实现学科育人”的思想和立意。
一、数学文化的内涵和价值
1949年以来，在国家颁布的各版本的基础教育数学课程标准（教学大纲）中，《普通高中数学课程标准（2017年版）》第一次给数学文化下了定义：“数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展;还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动。”
长期以来，虽然数学文化的定义众说纷纭，但大家还是对数学文化的内涵和价值形成了一定的共识：数学文化一方面包括数学史和相关的人文活动，可以让学生了解数学的来龙去脉（如产生背景和现实应用等），促进对学生数学内容的理解和对数学价值的认识，润泽学生的数学情感，激发学生的学习动力，让数学教学不再“掐头去尾烧中段”;另一方面包括数学知识获得和问题解决过程中蕴含的思想方法和探索精神，可以培养学生的数学素养，帮助学生形成正确的数学观、世界观、人生观、价值观，让数学教学超越具体的知识层面，拥有更高的境界。
二、《勾股定理》教学赏析
李老师采用她倡导的“自学·议论·引导”教学法教学《勾股定理》。课前，教师布置自学任务：（1）搜集古今中外与勾股定理的发现、证明、应用以及拓展研究相关的史料;（2）理解两三种勾股定理的证明方法;（3）自编一道运用勾股定理解决的实际问题。课上，学生小组讨论自学的内容，教师根据实际情况加入讨论;然后，全班交流小组讨论的内容，教师相机引导。
在教学中，李老师特别注意围绕数学文化的要求，凸显数学学科的育人价值。
（一）关注中国数学史，增强民族自豪感
在交流与讨论有关的史料时，教师引导学生发现：我国西周数学家商高提出“勾三、股四、弦五”这一勾股定理特例比西方早数百年，三国时期的数学家赵爽所用的弦图方法是证明勾股定理最简洁的方法之一。然后，顺势出示弦图，指出：“为了纪念赵爽在勾股定理证明上的突出成就，2002年在中国召开的国际数学大会就选择了这幅图作为会标。”同时，学生还交流了对我国古代一些重要数学著作以及经典数学问题的了解。这些史实让学生产生了强烈的民族自豪感：“原来我国古代的人民如此智慧。”
（二）对比中外数学史，产生历史责任感
在确认我国古代的商高最先发现了勾股定理特例的基础上，教师引导学生对谁最先证明了勾股定理的一般形式展开交流与讨论——
生 既然商高提出了勾股定理的特例，他就应该能证明勾股定理。
生 你说的只是猜测。现有的史料表明，我国最早给出勾股定理证明的是赵爽，他的证明比毕达哥拉斯的证明要晚数百年。
生 也许商高的证明失传了呢？
生 这些争论有什么用呢？如果我们现在能发现一个什么定理并给出证明，那么谁都不能和中国争了。
师 对呀！陈景润先生不就是我们的榜样吗？他在解决哥德巴赫猜想问题的进程中，不就走在了世界的前列吗？你们只要努力，一定能通过自己的行动为国争光！
生 我以后要研究数学史，找到事实来证明是中国人最早证明了勾股定理。
生 我要想出更简洁的证明方法来。
师 同学们的心愿都是好的。我們要从现在开始，争分夺秒努力学习，将来才能为国争光。
中外数学史的对比以及陈景润先生的事例，激发学生产生了强烈的历史责任感，想要学有所成，为国争光。
（三）比较定理证明方法，提炼数学思想方法
在交流与讨论勾股定理的证明方法时，学生理解了赵爽的弦图、刘徽的“青朱出入图”、毕达哥拉斯的证明、欧几里得的证明，还有学生介绍了“总统的证法”。在此基础上，教师引导学生寻找共性，提炼更具有一般性的数学思想方法，感悟面积法思想——
师 同学们，刚才的证明过程大家都讲得很好，说明我们已经理解了证明的具体内容。现在来想一想：这些证明的思路有没有什么共性？
生 好像都是通过面积来证明的。
生 好像都是将两个正方形进行割、补、拼、接后用面积相等来证明的。
生 欧几里得的证明方法没有补、拼、接，只有割，他将大正方形割成两个矩形，利用三角形的面积等于对应矩形面积的一半，证明两个小正方形的面积分别等于两个矩形的面积。 生 还有关键的一步是要说明两个三角形全等。
生 这其实也是一种拼呀！不就是将两个小正方形拼到大正方形上吗？
师 大家都讲得非常好！通过讨论我们可以发现，刚才介绍的证明方法都以面积法为基本思路。从代数的角度看，面积法是几何直观的一种体现：正方形的面积正是勾股定理表达式中字母平方的几何意义。从几何的角度看，面积法的基本思路是对同一块面积“算两次”，它是一种非常重要的数学方法——有人甚至认为，面积是平面几何中的“帝王不变量”，面积法是平面几何中的根本大法。
（四）挑战新的证明方法，提升学习的信心
在勾股定理众多证明方法的基础上，教师利用“总统的证法”激励学生挑战新的证法，体会文化的传承与创新，提升学习的信心——
师 通过搜集与整理资料，我们发现勾股定理的证法多达数百种，而且就连美国总统也证明过勾股定理。同学们敢不敢来挑战一下勾股定理的证明？我觉得你们不比美国总统差！
（经过小组共同努力，一些自学过相似三角形和圆的知识的学生给出了以下两种证法。）
证法1： 如图1，在△ABC中，∠C=90°，作CD⊥AB于D。由三角形相似，得 x b = b c ，即b2=cx;
y a = a c ，即a2=cy。两式相加得a2+b2=c（x+y）=c2。
证法2： 如图2，在△ABC中，∠C=90°，以B为圆心、BC为半径作圆，交AB及其延长线于D、E。由切割线定理，得AC2=AD·AE=（AB-BC）·（AB+BC）=AB2-BC2，所以AC2+BC2=AB2。
由此，教师引导学生比较历史上的面积证法和自己给出的证法，分别体会其中的几何直观思想和逻辑推理思想。
（五）拓展定理认识角度，体会数学研究精神
师 勾股定理被称为“千古第一定理”，它联系了数学最基本也是最重要的两个对象——数与形。虽然勾股定理从根本上说是一个关于直角三角形的定理，即几何定理，但是我们也可以聚焦它的表达式，从代数的角度展开研究。同学们搜集史料时有什么发现？
生 如果a=b=1，那么c2 =2，c是无理数。无理数的发现引发了第一次数学危机，还有人为此丧命。
生 a2+b2=c2是三元的不定方程，从形式上看非常具有美感，很多人尝试研究它的正整数解，即勾股数。
生 比如3、4、5，5、12、13这样的数就是勾股数。很多数学家尝试寻找它的一般形式。毕达哥拉斯给出了
a=2n+1，
b=2n2+2n，
c=2n2+2n+1 （n为正整数）和
a=n，
b= 1 2 （n2-1），
c= 1 2 （n2+1）
（n为正奇数） 这样两种形式，
但它们都不能表示出所有的勾股数，因为其中的b、c总是相鄰的两个正整数。柏拉图给出了
a=2n，
b=n2-1，
c=n2+1 （n为正整数）的形式 ，
但它也不能表示出所有的勾股数，因为这里的b、c总是相差2。
师 很好！你对勾股数做了比较深入的了解。其实，数学是一门不断演进的学科。后来，欧几里得给出了这样的形式：
a= pq ，
b= 1 2 （p-q），
c= 1 2 （p+q） （p、q奇偶性相同，p>q，pq是完全平方数） 。
但它还是不能表示出所有的勾股数。不过，数学家最终给出了真正完美的勾股数表达式。感兴趣的同学课后可以查阅相关资料。 （稍停） 对a2+b2=c2这个三元不定方程，数学家们还展开了什么研究？
生 费马尝试增加这个方程的次数，提出猜想：关于a、b、c的方程
an+bn=cn
在幂指数n>2 （n为正整数） 时没有正整数解。
师 很好！这就是困惑了数学家长达358年之久的著名的费马大定理。虽然费马声称他证明了这个猜想，但是他所谓的证明失传了。英国数学家安德鲁·怀尔斯从1986年开始冒着“一事无成”的风险，排除各种干扰，秘密钻研，终于在1993年6月23日完成了费马大定理的证明。感兴趣的同学课后可以查阅相关资料，了解费马大定理的证明历程，感受数学家不断追求真理的研究精神。
这里，教师引导学生从代数的角度认识勾股定理，挖掘相关文化内涵，从而在感悟数形结合思想的基础上，充分体会数学学科的演进特征以及数学家的研究精神。
（六）自编定理应用问题，享受学习的快乐
交流、讨论收集和自编的勾股定理应用问题时，一位学生给出了如下自编题：
如图3，学校的操场上新立了一根旗杆，升旗的绳子从旗杆顶端自然垂挂至地面，比旗杆还长1m。请你利用这个数据设计合适的方法，测算出学校旗杆的高度。
对此，其他学生百思不得其解。教师不急于帮助其他学生分析解题思路，而是请出题的学生阐述命题思路—— 生 （出示如下题目） 请大家看这样一个我国古代的问题。
如图4，今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：水深、葭长各几何？
（学生交流，尝试解决。）
师 从大家的表现中，李老师发现，很多同学对这道古代题不以为然，认为没什么难的。但是，李老师要说的是，出题的同学很有智慧，从这道古代题中获得了启发，编制出这道现代题，把大家都难住了。现在，大家既然能解出这道古代题，李老师相信大家也一定能从中获得启发，想出如何测算旗杆的高度。
生 （忽然叫起来） 我想到了！把这个图倒过来就行了。
师 （故意装糊涂） 什么“倒过来”？我怎么听不懂你说什么？
生 （另一个学生抢着说） 这根绳子比旗杆长一米，倒过来相当于“葭”“出水一尺”，我们只要“引葭赴岸，适于岸齐”。 （出示图5） 也就是说，将这根绳子拉直到与地面平齐时，再测量BC的长，就可以类似地求出旗杆的高度。
（教师点头赞许。）
生 （之前的学生心有不甘，出示图6） 我们还可以用这样的方法测算……
由此，学生在根据古代题自编现代题的文化传承与创新过程中，进一步体会到学习的快乐。
参考文献：
[1] 李庾南，陈育彬.中学数学新课程教学设计30例——学力是这样发展的[M].北京：人民教育出版社，2007.
[2] 张奠宙，马岷兴，陈双双，等.数学学科德育——新视角·新案例[M].北京：高等教育出版社，2007.