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摘要 以三跨连续斜交小箱梁桥为例，应用有限元软件Midas Civil分别建立了斜交角度为0～60°（步长为5°）的上部结构模型，分析了不同斜交角度对桥梁结构固有频率和振型的影响，对现有《公路桥涵设计通用规范》中用于连续梁桥冲击系数计算的基频计算公式给予修正。分析表明：三跨连续斜交小箱梁桥前三阶竖弯频率均随斜交角度的增大而增大，其中一阶竖弯频率所受影响最为显著，当斜交角度大于15°时，斜交角的影响不能忽略，其增大值最大可达103%。此外基于正桥模型得出的等跨等截面三跨连续梁桥的前三阶竖弯频率的比值关系（π2∶3.442∶4.32）在斜交角度小于15°时仍然适用;当斜交角度大于15°时，两者误差逐渐增大，最大可达57.8%，因此该比例关系不再适用于大角度斜交梁桥。本文提出的计算连续梁桥冲击系数的基频修正公式经实桥试验验证是正确的。
关 键 词 三跨连续斜交小箱梁桥;模态分析;竖弯频率;有限元
中图分类号 U441.3 文献标志码 A
Dynamic characteristics analysis of three-span skew continuous small box girder bridge
WANG Rongxia1， WANG Yajing1， CAO Hongkun1， ZHANG Yuming2
（1. School of Civil Engineering and Transportation， Hebei University of Technology， Tianjin 300401， China; 2. Langfang Designing Institute of Traffic Investigation， Langfang， Hebei 065000， China）
Abstract In this paper， a three-span continuous skew box girder bridge is taken as an example. The finite element software Midas Civil is used to establish the superstructure model with skew angle of 0～60 degrees （step length 5°）. The effects of different skew angles on the natural frequency and mode shape of the bridge structure are analyzed. The formula of the fundamental frequency used in the calculation of the impact coefficient of the continuous girder bridge in current bridge specification is modified. The analysis shows that the first three-order vertical bending frequency of the three-span continuous skew box girder bridge increases with the skew angle. The first-order vertical bending frequency is significantly affected. When the skew angle is greater than 15°， the maximum value can reach 103%. The influence of skew angle cannot be ignored. In addition， based on the bridge model， the ratio （π2∶3.442∶4.32） of the first third-order vertical bending frequency of the three-span continuous beam bridge with equal cross-section is still applicable when the skew angle is less than 20°.When the skew angle is greater than 20°， the errors have gradually increased to 57.8%， so the ratio is no longer suitable for large-angle skew bridges. The basic frequency correction formula for calculating the impact coefficient of continuous beam bridge proposed in this paper is verified by the bridge experiment.
Key words three-span continuous skew small box girder bridge; modal analysis; vertical bending frequency; finite element analysis
0 引言
為满足线型的要求，中国高速公路网和城市立交桥的修建中涌现出大量的斜交桥。迄今为止，对于斜交桥动力特性的研究，以简支梁桥较为成熟，而对连续梁桥结构体系的研究尚存空间。其中樊超越[1]通过应用ANSYS软件对比简支、连续情况下T梁桥、空心板梁桥及小箱梁桥不同跨经、斜交角、宽跨比对桥梁动力特性的影响，以及车辆作用下，不同跨经、斜交角、宽跨比对跨中挠度的影响，进而得出对动力放大系数，来表征冲击系数的影响，但并没有给出斜桥冲击系数简化公式。张等[2]对不同斜交角度下简支T梁桥的冲击系数公式做了修正。袁向荣[3]基于连续梁桥的振动分析，对《公路桥涵设计通用规范》（JTG D60-2015）（以下简称“桥规”）中冲击系数公式里作为唯一变量的结构固有频率，给出了相应的修正公式。胡帮义[4]、刘辉[5]分别对四等跨和五等跨连续梁桥的振型和基频给出了分析和修正，但都只适用于连续体系的正桥模型。 综上所述，对于斜交梁桥的动力特性分析方面已有较多研究成果，但多以正桥为主，有关斜桥的研究也仅限于给出了考虑不同变量下频率的影响趋势，并没有对频率随斜交角度的变化给出确切的计算公式。并且现行规范中用于计算连续梁桥冲击系数的基频计算公式并没有区分正桥和斜桥，由于斜桥比正桥受力特性更为复杂，因而有必要考虑斜交角的影响，对现行《桥规》基频计算公式进行修正，用于指导工程设计。
笔者在对三跨斜交连续T梁桥动力特性研究的基础上[6]，以一座3×35 m斜交连续小箱梁桥为依托，采用Midas建立不同斜交角度下的有限元模型，分析不同斜交角度下该类结构的各阶固有频率和振型的变化规律，并考虑斜交角度的影响，对现行《桥规》中基频的计算公式做出修正。
1 依托工程概况
该桥为标准跨径3×35 m的预应力钢筋混凝土连续斜交小箱梁桥，设计荷载为公路Ⅰ级，斜交角为20°，桥面宽度为净-11+2×0.5 m防撞护栏，上部主梁由 4片小箱梁联结而成，其主梁纵断面图见图1所示，跨中横断面见图 2 所示。
2 模型建立
本文采用梁格法建立Midas模型[7]，根据梁格法建模原理及网格划分原则，纵梁为4片小箱梁，横梁设横隔板和虚拟横梁两部分，其中在每跨梁端、跨中和四分之一处设横隔板，以1 m为间距设虚拟横梁。虚拟横梁需设混凝土容重为0，即不设重量。
支座的模拟：为设横向连接，主梁节点、单元需设在梁顶，因此箱梁和支座间需设弹性连接为刚性。支座采用一般支承。
当斜交角小于20°时，设置虚拟横梁为与主梁斜交、与支撑边平行的形式，具体见图3;当桥面较宽，且斜交角度大于20°时，设置虚拟横梁与主梁正交，具体形式见图4。
3 有限元计算结果及分析
按上述方法建模，共得到13种不同斜交角度的Midas有限元模型，采用子空间迭代的方法进行动力特性分析，得出不同斜交角度下模型的前5阶振型见表1。
根据连续梁固有振动理论[8]，《桥规》中计算连续梁冲击力采用的自振频率应是与竖弯振型相对应的自振频率值，因此设计者主要关注的是竖弯振型。其中计算三跨连续梁桥的冲击力引起的正弯矩效应和剪力效应时，采用第一阶竖弯频率;计算三跨连续梁桥的冲击力引起的负弯矩效应时，采用第3阶竖弯频率[3]。从表1可以看出，不同斜交角度下前3阶竖弯振型均出现在固有振型的前3阶。
经整理，得到不同斜交角度下前3阶竖弯频率如表2所示，前3阶竖弯频率与斜交角度的变化关系图如图5所示。
将不同斜角角度下桥梁模型的前3阶竖弯频率分别与正桥模型的前3阶竖弯频率进行对比，结果见表3所示。
由图5和表3可知，对于三跨连续斜交小箱梁桥，前3阶竖弯频率随斜交角度增大而增大，其中以第1阶竖弯频率变化最为明显。当斜交角度小于15°，頻率随斜交角变化缓慢，与正桥相比，其增大值在13%左右，可以按正桥考虑;当斜交角度大于15°时，频率受斜交角度的影响更加明显，尤其当斜交角度达到60°时，频率增大值最大为103%，斜交角的影响不能忽略。
此外，将上述前3阶竖弯频率的正桥模型计算结果与文献[8]中连续梁竖弯振型及频率的理论公式计算结果进行比较，结果见表4。
观察表4可知按文献[8]中连续梁竖弯振型及频率的理论公式计算所得结果与本文模型所得数据相比，最大误差不超过16.72%，数值较为接近，说明本模型的建立是合理的。考虑到其它模型与正桥相比只是斜交角度发生了变化，因此可以认为，本文所建模型均为合理，计算结果是可靠的，可以用于下一步的深入分析。
同时由连续梁固有振动理论[8]可以认为对于正交等跨等截面三跨连续梁桥，其前3阶竖弯频率应满足比值关系：π2∶3.442∶4.32，按该比值关系分别计算各斜角角度下结构的前3阶竖弯频率，将其与有限元模型算得的前3阶竖弯频率进行比较，计算结果及误差见表5。
观察表5可得，当斜交角度小于15°时，误差不超过9.43%，此比例关系仍然适用，可做正桥考虑;当斜交角度大于15°时，两者误差逐渐增大，最大可达57.8%，因此该比例关系不再适用于大角度斜交梁桥。
4 三跨斜交连续小箱梁桥的基频修正
如前所述，《桥规》中计算连续梁冲击力采用的自振频率应是与竖弯振型相对应的自振频率值。利用表2中频率随斜交角变化的数值，以斜交角为影响因素，采用最小二乘法拟合修正公式如下。
1）计算连续梁桥冲击力引起的正弯矩效应及剪力效应时采用的基频[fx1]。
[fx1=f?12ππl2EIcmc]， （1）
式中，[f?1]为考虑斜交角?影响的正弯矩及剪力效应计算时采用的基频修正系数，
[f?1=0.812+0.009 58x0°≤x≤15°]， （2）
[f?1=0.802 9-0.009 559x+0.000 091 45x215°<x≤60°]。 （3）
2）计算连续梁桥冲击力引起的负弯矩效应及剪力效应时采用的基频[fx2]。
[fx2=f?22ππl223.65113.616EIcmc]， （4）
式中，[f?2]为考虑斜交角?影响的负弯矩计算时采用的基频修正系数，
[f?2=0.900 6+0.002 4x0°≤x≤15°]， （5）
[f?2=0.967-0.000 85x+0.000 053 7x215°<x≤60°]。 （6）
5 实桥动载试验
5.1 试验描述
对依托工程一座三跨连续斜交小箱梁桥（斜交角为20°）进行实桥动载实验。试验为通过TST5926E无线环境激励实验模态采集分析系统采集，并对信号数据进行处理，其中包含数据采集块仪器（如图6所示）和数据分析的系统软件，最终会得到该桥在不同试验工况下的基频。 试验时选取边跨跨中及中跨跨中位置作为测点，试验车的重量为414 kN。试验工况如下：工况1，试验车以60 km/h的车速匀速驶过该桥，分别得到边跨和中跨跨中的自由振动频率[f1]和[f2];工况2，试验车以70 km/h车速匀速驶过该桥，分别得到边跨和中跨跨中的自由振动频率[f3]和[f4];工况3，在中跨跨中位置，进行跳车试验并得到该桥的有载频率[f5]。
5.2 试验结果及其分析
限于篇幅，本文只给出工况1中相应的边跨跨中的跑车试验数据截图，试验所得的动态时域信号波形图和频谱分析图分别如图7和图8所示，经数据分析得到该桥的基频[f1=19.145] Hz。其它试验工况测试所得的图表结果在此不做赘述。
将以上各工况试验结果与本文提出的计算正弯矩与剪力效应时基频修正公式的计算结果进行比较，详见表6。
由表6可知，实测基频与拟合公式的计算结果基本接近，两者相差最大为8.78%，说明本文提出的修正公式可以较为准确地计算三跨斜交连续小箱梁桥的基频值，其结果较为合理。本文提出的基频修正公式对三跨斜交连续小箱梁桥基频的理论计算和结构设计具有重要的参考价值。
6 结论
1）对于三跨连续斜交小箱梁桥，前3阶竖弯频率随斜交角度增大而增大，其中以第1阶竖弯频率变化最为明显。
2）当斜交角小于15°，前3阶竖弯频率随斜交角变化缓慢，可以按正桥考虑;当大于15°时，斜交角度的影响不能忽略。
3）基于正桥模型得出的等跨等截面三跨连续梁桥的前3阶竖弯频率的比值关系（π2∶3.442∶4.32）在斜交角度小于15°时仍然适用;当斜交角度大于15°时，两者误差逐渐增大，最大可达57.8%，因此该比例关系不再适用于大角度斜交梁桥。
4）通过现场实桥动载试验，证明本文提出的用于计算三跨连续小箱斜梁桥冲击系数的基频计算的修正公式是合理的，计算结果正确。
参考文献：
[1] 樊超越. 多梁式混凝土斜梁桥的车桥耦合振动分析[D]. 福州：福州大学，2013.
[2] 张等. 不同斜交角度简支T形梁桥基频计算与试验[J]. 湖南交通科技，2016，42（1）：74-77.
[3] 袁向荣. 基于连续梁振动分析的桥梁冲击系数研究[J]. 四川建筑科学研究，2013，39（4）：190-194.
[4] 胡帮义，袁向荣，杨勇，等. 4等跨连续梁模态试验分析及冲击因数研究[J]. 实验技术与管理，2015，32（8）：70-74.
[5] 刘辉，袁向荣，蔡卡宏，等. 五等跨连续梁模态分析试验及冲击系数[J]. 实验室研究与探索，2016，35（5）：10-13.
[6] 王榮霞，任腾腾，宋娃丽，等. 三跨连续斜交T梁桥的动力特性研究[J]. 河北工业大学学报，2017，46（5）：68-73.
[7] 李林，李忠评，马奎. 梁格法在斜交箱梁结构分析中的应用[J]. 公路交通技术，2011，27（3）：63-67.
[8] 宋一凡. 公路桥梁动力学[M]. 北京：人民交通出版社，2000.
关 键 词 三跨连续斜交小箱梁桥;模态分析;竖弯频率;有限元
中图分类号 U441.3 文献标志码 A
Dynamic characteristics analysis of three-span skew continuous small box girder bridge
WANG Rongxia1， WANG Yajing1， CAO Hongkun1， ZHANG Yuming2
（1. School of Civil Engineering and Transportation， Hebei University of Technology， Tianjin 300401， China; 2. Langfang Designing Institute of Traffic Investigation， Langfang， Hebei 065000， China）
Abstract In this paper， a three-span continuous skew box girder bridge is taken as an example. The finite element software Midas Civil is used to establish the superstructure model with skew angle of 0～60 degrees （step length 5°）. The effects of different skew angles on the natural frequency and mode shape of the bridge structure are analyzed. The formula of the fundamental frequency used in the calculation of the impact coefficient of the continuous girder bridge in current bridge specification is modified. The analysis shows that the first three-order vertical bending frequency of the three-span continuous skew box girder bridge increases with the skew angle. The first-order vertical bending frequency is significantly affected. When the skew angle is greater than 15°， the maximum value can reach 103%. The influence of skew angle cannot be ignored. In addition， based on the bridge model， the ratio （π2∶3.442∶4.32） of the first third-order vertical bending frequency of the three-span continuous beam bridge with equal cross-section is still applicable when the skew angle is less than 20°.When the skew angle is greater than 20°， the errors have gradually increased to 57.8%， so the ratio is no longer suitable for large-angle skew bridges. The basic frequency correction formula for calculating the impact coefficient of continuous beam bridge proposed in this paper is verified by the bridge experiment.
Key words three-span continuous skew small box girder bridge; modal analysis; vertical bending frequency; finite element analysis
0 引言
為满足线型的要求，中国高速公路网和城市立交桥的修建中涌现出大量的斜交桥。迄今为止，对于斜交桥动力特性的研究，以简支梁桥较为成熟，而对连续梁桥结构体系的研究尚存空间。其中樊超越[1]通过应用ANSYS软件对比简支、连续情况下T梁桥、空心板梁桥及小箱梁桥不同跨经、斜交角、宽跨比对桥梁动力特性的影响，以及车辆作用下，不同跨经、斜交角、宽跨比对跨中挠度的影响，进而得出对动力放大系数，来表征冲击系数的影响，但并没有给出斜桥冲击系数简化公式。张等[2]对不同斜交角度下简支T梁桥的冲击系数公式做了修正。袁向荣[3]基于连续梁桥的振动分析，对《公路桥涵设计通用规范》（JTG D60-2015）（以下简称“桥规”）中冲击系数公式里作为唯一变量的结构固有频率，给出了相应的修正公式。胡帮义[4]、刘辉[5]分别对四等跨和五等跨连续梁桥的振型和基频给出了分析和修正，但都只适用于连续体系的正桥模型。 综上所述，对于斜交梁桥的动力特性分析方面已有较多研究成果，但多以正桥为主，有关斜桥的研究也仅限于给出了考虑不同变量下频率的影响趋势，并没有对频率随斜交角度的变化给出确切的计算公式。并且现行规范中用于计算连续梁桥冲击系数的基频计算公式并没有区分正桥和斜桥，由于斜桥比正桥受力特性更为复杂，因而有必要考虑斜交角的影响，对现行《桥规》基频计算公式进行修正，用于指导工程设计。
笔者在对三跨斜交连续T梁桥动力特性研究的基础上[6]，以一座3×35 m斜交连续小箱梁桥为依托，采用Midas建立不同斜交角度下的有限元模型，分析不同斜交角度下该类结构的各阶固有频率和振型的变化规律，并考虑斜交角度的影响，对现行《桥规》中基频的计算公式做出修正。
1 依托工程概况
该桥为标准跨径3×35 m的预应力钢筋混凝土连续斜交小箱梁桥，设计荷载为公路Ⅰ级，斜交角为20°，桥面宽度为净-11+2×0.5 m防撞护栏，上部主梁由 4片小箱梁联结而成，其主梁纵断面图见图1所示，跨中横断面见图 2 所示。
2 模型建立
本文采用梁格法建立Midas模型[7]，根据梁格法建模原理及网格划分原则，纵梁为4片小箱梁，横梁设横隔板和虚拟横梁两部分，其中在每跨梁端、跨中和四分之一处设横隔板，以1 m为间距设虚拟横梁。虚拟横梁需设混凝土容重为0，即不设重量。
支座的模拟：为设横向连接，主梁节点、单元需设在梁顶，因此箱梁和支座间需设弹性连接为刚性。支座采用一般支承。
当斜交角小于20°时，设置虚拟横梁为与主梁斜交、与支撑边平行的形式，具体见图3;当桥面较宽，且斜交角度大于20°时，设置虚拟横梁与主梁正交，具体形式见图4。
3 有限元计算结果及分析
按上述方法建模，共得到13种不同斜交角度的Midas有限元模型，采用子空间迭代的方法进行动力特性分析，得出不同斜交角度下模型的前5阶振型见表1。
根据连续梁固有振动理论[8]，《桥规》中计算连续梁冲击力采用的自振频率应是与竖弯振型相对应的自振频率值，因此设计者主要关注的是竖弯振型。其中计算三跨连续梁桥的冲击力引起的正弯矩效应和剪力效应时，采用第一阶竖弯频率;计算三跨连续梁桥的冲击力引起的负弯矩效应时，采用第3阶竖弯频率[3]。从表1可以看出，不同斜交角度下前3阶竖弯振型均出现在固有振型的前3阶。
经整理，得到不同斜交角度下前3阶竖弯频率如表2所示，前3阶竖弯频率与斜交角度的变化关系图如图5所示。
将不同斜角角度下桥梁模型的前3阶竖弯频率分别与正桥模型的前3阶竖弯频率进行对比，结果见表3所示。
由图5和表3可知，对于三跨连续斜交小箱梁桥，前3阶竖弯频率随斜交角度增大而增大，其中以第1阶竖弯频率变化最为明显。当斜交角度小于15°，頻率随斜交角变化缓慢，与正桥相比，其增大值在13%左右，可以按正桥考虑;当斜交角度大于15°时，频率受斜交角度的影响更加明显，尤其当斜交角度达到60°时，频率增大值最大为103%，斜交角的影响不能忽略。
此外，将上述前3阶竖弯频率的正桥模型计算结果与文献[8]中连续梁竖弯振型及频率的理论公式计算结果进行比较，结果见表4。
观察表4可知按文献[8]中连续梁竖弯振型及频率的理论公式计算所得结果与本文模型所得数据相比，最大误差不超过16.72%，数值较为接近，说明本模型的建立是合理的。考虑到其它模型与正桥相比只是斜交角度发生了变化，因此可以认为，本文所建模型均为合理，计算结果是可靠的，可以用于下一步的深入分析。
同时由连续梁固有振动理论[8]可以认为对于正交等跨等截面三跨连续梁桥，其前3阶竖弯频率应满足比值关系：π2∶3.442∶4.32，按该比值关系分别计算各斜角角度下结构的前3阶竖弯频率，将其与有限元模型算得的前3阶竖弯频率进行比较，计算结果及误差见表5。
观察表5可得，当斜交角度小于15°时，误差不超过9.43%，此比例关系仍然适用，可做正桥考虑;当斜交角度大于15°时，两者误差逐渐增大，最大可达57.8%，因此该比例关系不再适用于大角度斜交梁桥。
4 三跨斜交连续小箱梁桥的基频修正
如前所述，《桥规》中计算连续梁冲击力采用的自振频率应是与竖弯振型相对应的自振频率值。利用表2中频率随斜交角变化的数值，以斜交角为影响因素，采用最小二乘法拟合修正公式如下。
1）计算连续梁桥冲击力引起的正弯矩效应及剪力效应时采用的基频[fx1]。
[fx1=f?12ππl2EIcmc]， （1）
式中，[f?1]为考虑斜交角?影响的正弯矩及剪力效应计算时采用的基频修正系数，
[f?1=0.812+0.009 58x0°≤x≤15°]， （2）
[f?1=0.802 9-0.009 559x+0.000 091 45x215°<x≤60°]。 （3）
2）计算连续梁桥冲击力引起的负弯矩效应及剪力效应时采用的基频[fx2]。
[fx2=f?22ππl223.65113.616EIcmc]， （4）
式中，[f?2]为考虑斜交角?影响的负弯矩计算时采用的基频修正系数，
[f?2=0.900 6+0.002 4x0°≤x≤15°]， （5）
[f?2=0.967-0.000 85x+0.000 053 7x215°<x≤60°]。 （6）
5 实桥动载试验
5.1 试验描述
对依托工程一座三跨连续斜交小箱梁桥（斜交角为20°）进行实桥动载实验。试验为通过TST5926E无线环境激励实验模态采集分析系统采集，并对信号数据进行处理，其中包含数据采集块仪器（如图6所示）和数据分析的系统软件，最终会得到该桥在不同试验工况下的基频。 试验时选取边跨跨中及中跨跨中位置作为测点，试验车的重量为414 kN。试验工况如下：工况1，试验车以60 km/h的车速匀速驶过该桥，分别得到边跨和中跨跨中的自由振动频率[f1]和[f2];工况2，试验车以70 km/h车速匀速驶过该桥，分别得到边跨和中跨跨中的自由振动频率[f3]和[f4];工况3，在中跨跨中位置，进行跳车试验并得到该桥的有载频率[f5]。
5.2 试验结果及其分析
限于篇幅，本文只给出工况1中相应的边跨跨中的跑车试验数据截图，试验所得的动态时域信号波形图和频谱分析图分别如图7和图8所示，经数据分析得到该桥的基频[f1=19.145] Hz。其它试验工况测试所得的图表结果在此不做赘述。
将以上各工况试验结果与本文提出的计算正弯矩与剪力效应时基频修正公式的计算结果进行比较，详见表6。
由表6可知，实测基频与拟合公式的计算结果基本接近，两者相差最大为8.78%，说明本文提出的修正公式可以较为准确地计算三跨斜交连续小箱梁桥的基频值，其结果较为合理。本文提出的基频修正公式对三跨斜交连续小箱梁桥基频的理论计算和结构设计具有重要的参考价值。
6 结论
1）对于三跨连续斜交小箱梁桥，前3阶竖弯频率随斜交角度增大而增大，其中以第1阶竖弯频率变化最为明显。
2）当斜交角小于15°，前3阶竖弯频率随斜交角变化缓慢，可以按正桥考虑;当大于15°时，斜交角度的影响不能忽略。
3）基于正桥模型得出的等跨等截面三跨连续梁桥的前3阶竖弯频率的比值关系（π2∶3.442∶4.32）在斜交角度小于15°时仍然适用;当斜交角度大于15°时，两者误差逐渐增大，最大可达57.8%，因此该比例关系不再适用于大角度斜交梁桥。
4）通过现场实桥动载试验，证明本文提出的用于计算三跨连续小箱斜梁桥冲击系数的基频计算的修正公式是合理的，计算结果正确。
参考文献：
[1] 樊超越. 多梁式混凝土斜梁桥的车桥耦合振动分析[D]. 福州：福州大学，2013.
[2] 张等. 不同斜交角度简支T形梁桥基频计算与试验[J]. 湖南交通科技，2016，42（1）：74-77.
[3] 袁向荣. 基于连续梁振动分析的桥梁冲击系数研究[J]. 四川建筑科学研究，2013，39（4）：190-194.
[4] 胡帮义，袁向荣，杨勇，等. 4等跨连续梁模态试验分析及冲击因数研究[J]. 实验技术与管理，2015，32（8）：70-74.
[5] 刘辉，袁向荣，蔡卡宏，等. 五等跨连续梁模态分析试验及冲击系数[J]. 实验室研究与探索，2016，35（5）：10-13.
[6] 王榮霞，任腾腾，宋娃丽，等. 三跨连续斜交T梁桥的动力特性研究[J]. 河北工业大学学报，2017，46（5）：68-73.
[7] 李林，李忠评，马奎. 梁格法在斜交箱梁结构分析中的应用[J]. 公路交通技术，2011，27（3）：63-67.
[8] 宋一凡. 公路桥梁动力学[M]. 北京：人民交通出版社，2000.