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摘 要：相应于凸规划的凸集和凸函数的性质已有很多结论，并且在凸规划的研究中得到了充分应用。相应于广义凸规划—E凸规划的E凸集和E凸函数的性质目前的研究结果还不多。在凸集、凸函数的已有结论以及E凸集和E凸函数的现有研究结果的基础上，结合Rockafeller的基本思想对E凸函数的次微分进行了探讨，给出了次微分的共轭性,连续性,以及单调性等一些结论。这些结果对广义凸规划—E凸规划的研究可能会起到一定的促进作用。关于E凸集、E凸函数和E凸规划的性质还需要人们进行深入彻底的研究。
关键词：次微分；方向导数；共轭；循环单调
中图分类号：O174.51文献标识码：A文章编号：1672-1098(2009)01-0072-05
收稿日期：2008-11-17
基金项目：国家自然科学基金资助项目(10671057)
作者简介：景书杰(1965-),男,河南长垣人,副教授,博士,主要从事最优化理论及应用方面研究。
Some New Properties of E-subdifferential
JING Shu-jie,SONG Hong-ying
(School of Mathematics and Information Science, Henan Polytechnic University, Jiaozuo Henan 454003,China)
Abstract:There are a lot of conclusions about properties of convex set and convex function, which have full application in convex programming. But there are few of conclusions aboutproperties of E-convex set and E-convex function in E-convex programming. On the basis of conclusions from reseach of E-convex set and E-convex function, according to Rocka-feller’s basic ideas E-subdifferential of E-convex was discussd. Some subdifferential’s new properties of conjugation, continuity, monotonicity were given. These results can improve study of E-convex programming. Depth study on E-convex set, E-convex function and E- convex programming is needed.
Key words:subdifferential; direction derivative; conjugation; cycle monotony
E凸集与E凸函数是凸集和凸函数的推广，在算子E的作用下，E凸集与E凸函数具有更广意义的凸性。每个凸集是E凸集，反之未必成立；E凸函数是在E凸集上定义的实值函数，在E凸集上，凸函数是E凸函数，反之未必成立。
虽然文献［1］定义了E次微分并对E次微分的性质进行了初步的探讨，但没有对E凸函数次微分做深入讨论。函数的次微分是非光滑分析与非光滑优化的重要内容, 其中凸函数的次微分、及其函数近似次微分［2］和他们的性质［3］已有部分结论，文献［4］也给出了部分结果。本文在此基础上参考文献［3］的思想对定义在E凸集上E凸函数的次微分及其性质进行探讨, 得到了一些新性质——E次微分的共轭性, 连续性以及单调性。 完善了E凸集上E凸函数的次微分, 为更深入地讨论次微分将会有一定的作用。
1 预备知识
定义1 设X是赋范线性空间,M是X中的E凸集,f:X→R∪｛+∞｝,且x∈M∩domf,称x*∈X*是f在E(x)处的E次梯度, 如果存在
δ＞0和η＞0,使得
f(E(y))-f(E(x))≥〈x*,E(y)-E(x)〉-
δ‖E(y)-E(x)‖2,E(y)∈B(E(x),η)
f在E(x)处的E次梯度的全体称为E次微分,记为f(E(x)),即
f(E(x))=｛x*∈X*:δ＞0,η＞0｜f(E(y))-
f(E(x))≥〈x*,E(y)-E(x)〉-δ‖E(y)-E(x)‖2,E(y)∈B(E(x)，η)M｝
若X=Rn则X*=(Rn)*=Rn,X*是X的对偶空间。
定义2 设M是X中的E凸集,f:X→R∪｛+∞｝，点x0∈M∩domf,d∈M
若极限f′+(E(x0);E(d))=
limt→0+f(E(x0)+tE(d))-f(E(x0))t存在，则称它是函数f在E(x0)处沿方向E(d)的(单边)右方向导数。
2 次微分的性质
性质1 设fi:X→R∪｛+∞｝(i=1,2,…,m)是E凸函数, x∈X， 则f1(E(x))+…+
fm(E(x))(f1+…+fm)(E(x))。
证 明 设x*∈f1(E(x))+…+fm(E(x)),则存在x*1，…，x*m使得，x*=x*1+…+x*m,并且x*1∈f1(E(x)),…,x*m∈fm(E(x)),由定义1可知
〈x*1,E(y)-E(x)〉≤f1(E(y))-f1(E(x))
·
·
·
〈x*m,E(y)-E(x)〉≤fm(E(y))-fm(E(x))
将上式两端相加,得
〈x*1+…+x*m,E(y)-E(x)〉≤［f1(E(y))+…+fm(E(y))］-［f1(E(x))+…+fm(E(x))］
y∈X
于是由定义1得
x*=x*1+…+x*m∈(f1+…+fm)(E(x))定理1 设fi:X→R∪｛+∞｝(i=1,…,m)是E凸函数,若存在点x0∈∩mi=1domfi,使得fiE在点x0处是连续的,f=f1+…+fm,则f(E(x))=f1(E(x))+…+fm(E(x))。
证 明 由性质1,只需再证明(f1+…+fm)(E(x))f1(E(x))+…+fm(E(x))。
为此,设x*∈(f1+…+fm)(E(x)),证明有x*∈f1(E(x))+…+fm)(E(x))。不妨设x*=O,x=0,f1(E(0))+…+fm(E(0))=0，否则,令
g1(E(x))=f1(E(x+z))-f1(E(x))
·
·
·
gm(E(x))=fm(E(x+z))-fm(E(x))
将问题转为对gi来讨论。
以下设O∈(f1+…+fm)(E(0)), 证明O∈f1(E(0))+…+fm(E(0))。
从O∈(f1+…+fm)(E(0)),由定义知〈0,E(y)-E(0)〉≤(f1+…+fm)(E(y))-
(f1+…+fm)(E(0)),y∈X，从而有
infy∈X［f1(E(y))+…+fm(E(y))］=f1(E(0))+
…+fm(E(0))=0(1)
作集合
S1=epif1=｛(x,η)∈X×R｜η≥f1(E(x))｝
(2)
S2=｛(x,η)∈X×R｜-(f1+…+fm)(E(x))≥η｝
(3)
由∩mi=1domf1≠Φ和fi是E凸函数,易知S1和S2是非空凸集。又由fiE在点x0处是连续的,知intS1=int(epif)≠φ。此外, 可以证明有intS1∩S2=φ。事实上,否则,若存在(x,y)∈intS1∩S2,则由式(2)和式(3)有
f1(E(x))≤η≤-(f1+…+fm)(E(x))
根据此,导致
infy∈X［f1(E(y))+…+fm(E(y))］≤(f1+…+
fm)(E(x))＜0
它与式(1)相矛盾。根据以上得到的intS1≠φ，S2≠φ和intS1∩S2=φ,由文献［5］29可知，存在闭超平面严格分离intS1和S2, 也即存在(x*,y*)∈(X*×R) ＼｛0｝有
〈(x*,η*),(x1,η1)〉＜〈(x*,η*),(x2,η2)〉
(x1,η1)∈intS1,(x2,η2)∈S2
或者
〈x*,x1〉+η*η1＜〈x*,x2〉+η*η2
(x1,η1)∈intS1,(x2,η2)∈S2(4)
式(4)左端的η1可以任意大, 故η*≤0, 但若η*=0,则从x0∈∩mi=1domf且fiE在点x0处是连续可知的,存在ε＞0有
(x0,f1(E(x0))+ε)∈intS1
(x0,∑mi=2-fi(E(x0)))∈S2
于是由式(4)导致矛盾
〈x*,x0〉＜〈x*,x0〉
因此,得η*＜0
令x*1=-x*y*，由式(4)注意到η*＜0,得
-〈x*1,x1〉+η1≥-〈x*1,x2〉+η2
(x1,η1)∈intS1,(x2,η2)∈S2
特别是,取η1=f1(E(x1)),η2=-∑mi=2fi(E(x2)),则有
-〈x*1,x1〉+f1(E(x1))≥-〈x*1,x2〉-
∑mi=2fi(E(x2))
x1∈domf1,x2∈∩mi=2domf1(5)
在式(5)中取x2=0,因为fi(E(0))=0,故得
〈x*1,x1〉≤f1(E(x1))=f1(E(x1))-
f1(E(0)),ze
所以 x*1∈f1(E(0))
在式(5)中再取x1=0,同理有
〈-x*1,x2〉≤［f2(E(x2))+…+fm(E(x2))］-
［f2(E(0))+…+fm(E(0))］
于是得 -x*1∈f2(E(0))+…+fm(E(0))
因此得 O=x*1-x*1∈f1(E(0))+f2(E(0))+…+fm(E(0))
对于有限维情形,定理1的条件可以放宽。
定理2 设(f1，…，fm):X→R∪｛+∞｝为E凸函数,而且ri(domf1)∩…∩ri(domfm)≠φ，则(f1+…+fm)(E(x))=f1(E(x))+…+fm(E(x)),x∈X。
证 明 (仿定理1的证明进行,略) 。虽然定理2比定理1的条件弱,可是它仍然只是充分的,不是必要的。
定理3 设f:X→R∪｛+∞｝是E凸函数,E(x)=x。 若fE在点x∈domf处是连续的, 则x*∈f(E(x))当且仅当
〈x*,tE(d)〉≤f′+(E(x);E(d)),d∈X(6)
证 明 必要性:设x*∈f(E(x)),由定义1可知, 对任意的d∈X和t＞0有〈x*,tE(d)〉≤f(E(x+td))-f(E(x))=f(E(x)+tE(d))-f(E(x))。 因此, 按定义2即得〈x*, tE(d)〉≤
limt→0+f(E(x)+tE(d))-f(E(x))t= f′+(E(x);E(d))。
充分性:对于任意的d∈X,易知
f(E(x+td))-f(E(x))t是t＞0的非减函数。
据此,由式(6)得知
〈x*,tE(d)〉≤f′+(E(x);E(d))=
limt→0+f(E(x)+tE(d))-f(E(x))t=
limt→0+f(E(x+td))-f(E(x))t≤
f(E(x+td))-f(E(x))t=
f(E(x)+tE(d))-f(E(x))t。从而,〈x*,tE(d)〉≤
f(E(x+td))-f(E(x))。令y=x+td,则
〈x*,E(y)-E(x)〉≤f(E(y))-f(E(x))，
于是由定义1即知,x*∈f(E(x)) 。
注:在定理3的基础上,还可以得到f′+(E(x);E(d))=supx*∈f(E(x))〈x*,E(d)〉,d∈X。证略。
3 次微分的共轭性
定义3 设f:X→R∪｛+∞｝是E凸函数,X*是X的对偶空间。
(1) 令f*(E(x*))=sup｛〈x*,E(x)〉-
f(E(x))｝,x*∈X*，则称f*:X*→R∪｛±∞｝是f的共轭函数；
(2) 令f**(E(x))=sup｛〈x*,E(x)〉-
f*(E(x*))｝,x∈X，则称f**:X→R∪｛±∞｝是f的二次共轭函数。
定理4 设f:X→R∪｛+∞｝是E凸函数, f*:X*→R∪｛±∞｝是f的共轭函数,x∈domf,则x*∈f(E(x)),当且仅当〈x*,E(x)〉=f(E(x))+f*(E(x*))。
证 明 由定义1,x*∈f(E(x)),意味着〈x*,E(x)-E(y)〉≤f(E(x))-f(E(y)),
y∈X。即
〈x*,E(x)〉-f(E(x))≥〈x*,E(y)〉-
f(E(y)),y∈X
再由定义3,上式等价于
〈x*,E(x)〉-f(E(x))=sup｛〈x*,E(y)〉-
f(E(y))｝=f*(E(x*))
推论1 设f:X→R∪｛+∞｝是E凸函数,f*和f**分别是f的共轭函数和二次共轭函数,x∈domf,并且f(E(x))=f**(E(x))。
(1) x*∈f(E(x)),当且仅当x∈f*(E(x*));
(2) f(E(x))=f**(E(x))。
证 明 (1) 由定理4和f(E(x))=f**(E(x)),则x*∈f(E(x)),等价于〈x*,E(x)〉=f**(E(x))+f*(E(x*))=f*(E(x*))+(f*)*(E(x))。 再由定理4知, 它又等价于x∈f*(E(x*)) 。
(2)由f(E(x))=f**(E(x))知f*(E(x*))=(f**)*(E(x*)),于是,由定理4得x*∈f(E(x))等价于〈x*,E(x)〉=f(E(x))+f*(E(x*))=f*(E(x))+(f**)*(E(x*))。再由定理4,即知它又等价于x*∈f**(E(x))。
推论2 设f:X→R∪｛+∞｝是E凸函数,f**是f的二次共轭函数,x∈domf,并且f(E(x))=φ。
(1) f(E(x))=f**(E(x));
(2) f(E(x))=clf(E(x))。
证 明 (1) 由f(E(x))=φ, 设x*∈ f(E(x)),据定理4,有〈x*,E(x)〉=f(E(x))+f*(E(x*))。另外,对f*利用Young-Fenchel不等式,则有〈x*,E(x)〉≤f**(E(x))+f*(E(x*))。
由以上两式得到f(E(x))≤f**(E(x)),因为根据文献［5］68：
(1)知f**是f的弱函数, 即有f**(E(x))≤f(E(x)),所以f**(E(x))=f(E(x))；
(2)由f**是f的弱函数,故也有f**(E(x))≤clf(E(x))≤f(E(x)),于是由(1)即知clf(E(x))=f(E(x))。
4 次微分的连续性与单调性
定义4 设点x∈X，集合Ψ(x)Y,Ψ：X→2Y,xΨ(x)是集值映射。若点x0∈X,并且对任意的点列｛xk｝X, xk→x0(k→∞)， 以及yk∈Ψ(xk), yk→y0,有y0∈Ψ(x0),则称集值映射Ψ在点x0∈X处是上半连续的。
定理5 设f:X→R∪｛+∞｝是E凸函数, 且E(x)=x,x∈X,若fE在点x0∈domf处是连续的,则f(E(x))在点x0处是上半连续的。
证 明 从fE在点x0处是连续的,知fE在x0的某邻域U1(x0)内上有界,因此,它在U1(x0)内是连续的［5］59,对于x∈U1(x0)由E凸函数右方向导数的定义有
f′+(E(x);E(d))=
limt→0+f(E(x)+tE(d))-f(E(x))t,d∈X(7)
故对d∈X函数F(x,t)=
f(E(x)+tE(d))-f(E(x)),t＞0
f′+(E(x);E(d)),t=0
在U1(x0)×［0,∞)内是连续的。据此可知,对ε＞0,
存在x0的邻域U(x0)U1(x0)和δ＞0,使得
｜f(E(x)+tE(d))-f(E(x))t-f′+(E(x)。E(d))｜＜ε2，x∈U(x0),t∈(0,δ1)(8)
另外,从式(7)得知对上述的ε＞0又存在δ2＞0，
有｜f(E(x0)+tE(d))-f(E(x0))t-
f′+(E(x0);E(d))｜＜ε2，t∈(0,δ2)(9)
取δ=min｛δ1,δ2｝, 由式(8)和式(9)可得对任意的x∈U(x0)和任意的t∈(0，δ),有
f(E(x)+tE(d))-f(E(x))t＜f′+(E(x0);E(d))+ε2＜f(E(x0)+tE(d))-f(E(x0))t+ε2+ε2x∈U(x0),t∈(0,δ)。由此, 根据E凸函数右方向导数的定义,对任意的x∈U(x0)有
f′+(E(x);E(d))=
limt→0+f(E(x)+tE(d))-f(E(x))t≤
limt→0+f(E(x0)+tE(d))-f(E(x0))t+ε=
f′+(E(x0);E(d))+ε
从而inf supf′+(E(x);E(d))≤f′+(E(x0);E(d))+ε，令ε→0，得到
inf supf′+(E(x);E(d))≤f′+(E(x0);E(d))(10)
根据文献［5］46即知，f′+(E(x);E(d))在x0处是上半连续的。
因f是E凸函数,且fE在U(x0)内是连续的,由文献［5］123可知,对任意的x∈U(x0)有f(E(x))≠φ。设x*∈f(E(x)),根据定理3得到
〈x*,tE(d)〉≤f′+(E(x0);E(d)),d∈X,x∈U(x0)(11)
以下证明集值映射f(E(x))在x0处是上半连续的。为此,任取点列｛xk｝X,xk→x0(k→∞),以及x*∈f(E(xk)),x*k→x*。
从式(11)有〈x*k,tE(d)〉≤f′+(E(xk);E(d)),d∈X,xk∈U(x0)。据此,由式(10)知,对任意的d∈X,有〈x*,tE(d)〉=limk→∞〈x*k,tE(d)〉≤infU(x0)supxk∈U(x0)f′+(E(xk);E(d))≤infU(x0)supx∈U(x0)f′+(E(x);E(d))≤f′+(E(x0);E(d))。
于是根据定理3可知，x*∈f(E(x0))。最后,由定义3便得f(E(x))在x0处是上半连续的。
定义4 设点x∈X，集合Ψ(x)X*,Ψ：X→2X*,xΨ(x)是集值映射。若对任意的x,y∈X有〈y*-x*,y-x〉≥0,x*∈Ψ(x),y*∈Ψ(y),则称Ψ是X上的单调集值函数,或称集值映射Ψ在X上是单调的。
定理6 设f:X→R∪｛+∞｝是连续的E凸函数,则f(E(x))在X是单调的。
证 明 对于任意的x, y∈X, 任取x*∈f(E(x))和y*∈f(E(y)),由定义1有
〈x*,E(y)-E(x)〉≤f(E(y))-f(E(x))
y∈X (12)
〈y*,E(y)-E(x)〉≤f(E(x))-f(E(y))
x∈X (13)
由式(13)有〈-y*,E(y)-E(x)〉≤f(E(x))-f(E(y)), 将它与式(12)的两端相加得〈x*-y*, E(y)-E(x)〉≤0, 注意： x*∈f(E(x))和y*∈f(E(y))是任意的,有〈x*-y*,E(y)-E(x)〉≥0,x*∈f(E(x)),y*∈f(E(y))。因此,由定义4即知f(E(x))在X上是单调的。
定义5 设点x∈X，集合Ψ(x)X*,Ψ：X→2X*,xΨ(x)是集值映射,若对任何正整数m≥2和任意的xi∈X(i=1,…,m)有
〈x*1,x2-x1〉+〈x*2,x3-x2〉+…+〈x*m,x1-xm〉≤0
x*1∈Ψ(x1),…,x*m∈Ψ(xm)(14)
则称Ψ是X上的循环单调集值映射,或集值映射Ψ在X上是循环单调的。
定理7 设f：X→R∪｛+∞｝是连续的E凸函数,则f(E(x))在X上是循环单调的。
证 明 对任意的xi∈X(i=1,…,m),任取x*∈f(E(xi)),由定义1有
〈x*1,E(x2)-E(x1)〉≤f(E(x2))-f(E(x1))
〈x*2,E(x3)-E(x2)〉≤f(E(x3))-f(E(x2))
·
·
·
〈x*m,E(x1)-E(xm)〉≤f(E(x1))-f(E(xm))
将以上各式两端相加,注意各x*i∈f(E(xi))是任取的,即得式(14),按定义5即可知f(E(x))在X上是循环单调的。
参考文献：
［1］ YOUNESS E A．E-convex sets,E-convex functions,and E-convex programming［J］.Journal of Optimization Theory and Application,1999(102):439-450.
［2］ 李成林，孔维丽，黄辉.E凸函数的次微分［J］.云南大学学报:自然科学版,2006,28(5):369-373.
［3］ R TYRRELL ROCKAFELLAR.Convex Analysis［M］.Princeton University Press,1970:215.
［4］ DIMITRI P.Bertsekas with Angelia Nedic and Asuman E.Ozdaglar［M］.Convex Analysia and Optimization.Tsinghua University Press，2006：
［5］ 胡毓达.凸分析与非光滑分析［M］.上海:科学出版社,2000：40-130.
(责任编辑：何学华)
关键词：次微分；方向导数；共轭；循环单调
中图分类号：O174.51文献标识码：A文章编号：1672-1098(2009)01-0072-05
收稿日期：2008-11-17
基金项目：国家自然科学基金资助项目(10671057)
作者简介：景书杰(1965-),男,河南长垣人,副教授,博士,主要从事最优化理论及应用方面研究。
Some New Properties of E-subdifferential
JING Shu-jie,SONG Hong-ying
(School of Mathematics and Information Science, Henan Polytechnic University, Jiaozuo Henan 454003,China)
Abstract:There are a lot of conclusions about properties of convex set and convex function, which have full application in convex programming. But there are few of conclusions aboutproperties of E-convex set and E-convex function in E-convex programming. On the basis of conclusions from reseach of E-convex set and E-convex function, according to Rocka-feller’s basic ideas E-subdifferential of E-convex was discussd. Some subdifferential’s new properties of conjugation, continuity, monotonicity were given. These results can improve study of E-convex programming. Depth study on E-convex set, E-convex function and E- convex programming is needed.
Key words:subdifferential; direction derivative; conjugation; cycle monotony
E凸集与E凸函数是凸集和凸函数的推广，在算子E的作用下，E凸集与E凸函数具有更广意义的凸性。每个凸集是E凸集，反之未必成立；E凸函数是在E凸集上定义的实值函数，在E凸集上，凸函数是E凸函数，反之未必成立。
虽然文献［1］定义了E次微分并对E次微分的性质进行了初步的探讨，但没有对E凸函数次微分做深入讨论。函数的次微分是非光滑分析与非光滑优化的重要内容, 其中凸函数的次微分、及其函数近似次微分［2］和他们的性质［3］已有部分结论，文献［4］也给出了部分结果。本文在此基础上参考文献［3］的思想对定义在E凸集上E凸函数的次微分及其性质进行探讨, 得到了一些新性质——E次微分的共轭性, 连续性以及单调性。 完善了E凸集上E凸函数的次微分, 为更深入地讨论次微分将会有一定的作用。
1 预备知识
定义1 设X是赋范线性空间,M是X中的E凸集,f:X→R∪｛+∞｝,且x∈M∩domf,称x*∈X*是f在E(x)处的E次梯度, 如果存在
δ＞0和η＞0,使得
f(E(y))-f(E(x))≥〈x*,E(y)-E(x)〉-
δ‖E(y)-E(x)‖2,E(y)∈B(E(x),η)
f在E(x)处的E次梯度的全体称为E次微分,记为f(E(x)),即
f(E(x))=｛x*∈X*:δ＞0,η＞0｜f(E(y))-
f(E(x))≥〈x*,E(y)-E(x)〉-δ‖E(y)-E(x)‖2,E(y)∈B(E(x)，η)M｝
若X=Rn则X*=(Rn)*=Rn,X*是X的对偶空间。
定义2 设M是X中的E凸集,f:X→R∪｛+∞｝，点x0∈M∩domf,d∈M
若极限f′+(E(x0);E(d))=
limt→0+f(E(x0)+tE(d))-f(E(x0))t存在，则称它是函数f在E(x0)处沿方向E(d)的(单边)右方向导数。
2 次微分的性质
性质1 设fi:X→R∪｛+∞｝(i=1,2,…,m)是E凸函数, x∈X， 则f1(E(x))+…+
fm(E(x))(f1+…+fm)(E(x))。
证 明 设x*∈f1(E(x))+…+fm(E(x)),则存在x*1，…，x*m使得，x*=x*1+…+x*m,并且x*1∈f1(E(x)),…,x*m∈fm(E(x)),由定义1可知
〈x*1,E(y)-E(x)〉≤f1(E(y))-f1(E(x))
·
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〈x*m,E(y)-E(x)〉≤fm(E(y))-fm(E(x))
将上式两端相加,得
〈x*1+…+x*m,E(y)-E(x)〉≤［f1(E(y))+…+fm(E(y))］-［f1(E(x))+…+fm(E(x))］
y∈X
于是由定义1得
x*=x*1+…+x*m∈(f1+…+fm)(E(x))定理1 设fi:X→R∪｛+∞｝(i=1,…,m)是E凸函数,若存在点x0∈∩mi=1domfi,使得fiE在点x0处是连续的,f=f1+…+fm,则f(E(x))=f1(E(x))+…+fm(E(x))。
证 明 由性质1,只需再证明(f1+…+fm)(E(x))f1(E(x))+…+fm(E(x))。
为此,设x*∈(f1+…+fm)(E(x)),证明有x*∈f1(E(x))+…+fm)(E(x))。不妨设x*=O,x=0,f1(E(0))+…+fm(E(0))=0，否则,令
g1(E(x))=f1(E(x+z))-f1(E(x))
·
·
·
gm(E(x))=fm(E(x+z))-fm(E(x))
将问题转为对gi来讨论。
以下设O∈(f1+…+fm)(E(0)), 证明O∈f1(E(0))+…+fm(E(0))。
从O∈(f1+…+fm)(E(0)),由定义知〈0,E(y)-E(0)〉≤(f1+…+fm)(E(y))-
(f1+…+fm)(E(0)),y∈X，从而有
infy∈X［f1(E(y))+…+fm(E(y))］=f1(E(0))+
…+fm(E(0))=0(1)
作集合
S1=epif1=｛(x,η)∈X×R｜η≥f1(E(x))｝
(2)
S2=｛(x,η)∈X×R｜-(f1+…+fm)(E(x))≥η｝
(3)
由∩mi=1domf1≠Φ和fi是E凸函数,易知S1和S2是非空凸集。又由fiE在点x0处是连续的,知intS1=int(epif)≠φ。此外, 可以证明有intS1∩S2=φ。事实上,否则,若存在(x,y)∈intS1∩S2,则由式(2)和式(3)有
f1(E(x))≤η≤-(f1+…+fm)(E(x))
根据此,导致
infy∈X［f1(E(y))+…+fm(E(y))］≤(f1+…+
fm)(E(x))＜0
它与式(1)相矛盾。根据以上得到的intS1≠φ，S2≠φ和intS1∩S2=φ,由文献［5］29可知，存在闭超平面严格分离intS1和S2, 也即存在(x*,y*)∈(X*×R) ＼｛0｝有
〈(x*,η*),(x1,η1)〉＜〈(x*,η*),(x2,η2)〉
(x1,η1)∈intS1,(x2,η2)∈S2
或者
〈x*,x1〉+η*η1＜〈x*,x2〉+η*η2
(x1,η1)∈intS1,(x2,η2)∈S2(4)
式(4)左端的η1可以任意大, 故η*≤0, 但若η*=0,则从x0∈∩mi=1domf且fiE在点x0处是连续可知的,存在ε＞0有
(x0,f1(E(x0))+ε)∈intS1
(x0,∑mi=2-fi(E(x0)))∈S2
于是由式(4)导致矛盾
〈x*,x0〉＜〈x*,x0〉
因此,得η*＜0
令x*1=-x*y*，由式(4)注意到η*＜0,得
-〈x*1,x1〉+η1≥-〈x*1,x2〉+η2
(x1,η1)∈intS1,(x2,η2)∈S2
特别是,取η1=f1(E(x1)),η2=-∑mi=2fi(E(x2)),则有
-〈x*1,x1〉+f1(E(x1))≥-〈x*1,x2〉-
∑mi=2fi(E(x2))
x1∈domf1,x2∈∩mi=2domf1(5)
在式(5)中取x2=0,因为fi(E(0))=0,故得
〈x*1,x1〉≤f1(E(x1))=f1(E(x1))-
f1(E(0)),ze
所以 x*1∈f1(E(0))
在式(5)中再取x1=0,同理有
〈-x*1,x2〉≤［f2(E(x2))+…+fm(E(x2))］-
［f2(E(0))+…+fm(E(0))］
于是得 -x*1∈f2(E(0))+…+fm(E(0))
因此得 O=x*1-x*1∈f1(E(0))+f2(E(0))+…+fm(E(0))
对于有限维情形,定理1的条件可以放宽。
定理2 设(f1，…，fm):X→R∪｛+∞｝为E凸函数,而且ri(domf1)∩…∩ri(domfm)≠φ，则(f1+…+fm)(E(x))=f1(E(x))+…+fm(E(x)),x∈X。
证 明 (仿定理1的证明进行,略) 。虽然定理2比定理1的条件弱,可是它仍然只是充分的,不是必要的。
定理3 设f:X→R∪｛+∞｝是E凸函数,E(x)=x。 若fE在点x∈domf处是连续的, 则x*∈f(E(x))当且仅当
〈x*,tE(d)〉≤f′+(E(x);E(d)),d∈X(6)
证 明 必要性:设x*∈f(E(x)),由定义1可知, 对任意的d∈X和t＞0有〈x*,tE(d)〉≤f(E(x+td))-f(E(x))=f(E(x)+tE(d))-f(E(x))。 因此, 按定义2即得〈x*, tE(d)〉≤
limt→0+f(E(x)+tE(d))-f(E(x))t= f′+(E(x);E(d))。
充分性:对于任意的d∈X,易知
f(E(x+td))-f(E(x))t是t＞0的非减函数。
据此,由式(6)得知
〈x*,tE(d)〉≤f′+(E(x);E(d))=
limt→0+f(E(x)+tE(d))-f(E(x))t=
limt→0+f(E(x+td))-f(E(x))t≤
f(E(x+td))-f(E(x))t=
f(E(x)+tE(d))-f(E(x))t。从而,〈x*,tE(d)〉≤
f(E(x+td))-f(E(x))。令y=x+td,则
〈x*,E(y)-E(x)〉≤f(E(y))-f(E(x))，
于是由定义1即知,x*∈f(E(x)) 。
注:在定理3的基础上,还可以得到f′+(E(x);E(d))=supx*∈f(E(x))〈x*,E(d)〉,d∈X。证略。
3 次微分的共轭性
定义3 设f:X→R∪｛+∞｝是E凸函数,X*是X的对偶空间。
(1) 令f*(E(x*))=sup｛〈x*,E(x)〉-
f(E(x))｝,x*∈X*，则称f*:X*→R∪｛±∞｝是f的共轭函数；
(2) 令f**(E(x))=sup｛〈x*,E(x)〉-
f*(E(x*))｝,x∈X，则称f**:X→R∪｛±∞｝是f的二次共轭函数。
定理4 设f:X→R∪｛+∞｝是E凸函数, f*:X*→R∪｛±∞｝是f的共轭函数,x∈domf,则x*∈f(E(x)),当且仅当〈x*,E(x)〉=f(E(x))+f*(E(x*))。
证 明 由定义1,x*∈f(E(x)),意味着〈x*,E(x)-E(y)〉≤f(E(x))-f(E(y)),
y∈X。即
〈x*,E(x)〉-f(E(x))≥〈x*,E(y)〉-
f(E(y)),y∈X
再由定义3,上式等价于
〈x*,E(x)〉-f(E(x))=sup｛〈x*,E(y)〉-
f(E(y))｝=f*(E(x*))
推论1 设f:X→R∪｛+∞｝是E凸函数,f*和f**分别是f的共轭函数和二次共轭函数,x∈domf,并且f(E(x))=f**(E(x))。
(1) x*∈f(E(x)),当且仅当x∈f*(E(x*));
(2) f(E(x))=f**(E(x))。
证 明 (1) 由定理4和f(E(x))=f**(E(x)),则x*∈f(E(x)),等价于〈x*,E(x)〉=f**(E(x))+f*(E(x*))=f*(E(x*))+(f*)*(E(x))。 再由定理4知, 它又等价于x∈f*(E(x*)) 。
(2)由f(E(x))=f**(E(x))知f*(E(x*))=(f**)*(E(x*)),于是,由定理4得x*∈f(E(x))等价于〈x*,E(x)〉=f(E(x))+f*(E(x*))=f*(E(x))+(f**)*(E(x*))。再由定理4,即知它又等价于x*∈f**(E(x))。
推论2 设f:X→R∪｛+∞｝是E凸函数,f**是f的二次共轭函数,x∈domf,并且f(E(x))=φ。
(1) f(E(x))=f**(E(x));
(2) f(E(x))=clf(E(x))。
证 明 (1) 由f(E(x))=φ, 设x*∈ f(E(x)),据定理4,有〈x*,E(x)〉=f(E(x))+f*(E(x*))。另外,对f*利用Young-Fenchel不等式,则有〈x*,E(x)〉≤f**(E(x))+f*(E(x*))。
由以上两式得到f(E(x))≤f**(E(x)),因为根据文献［5］68：
(1)知f**是f的弱函数, 即有f**(E(x))≤f(E(x)),所以f**(E(x))=f(E(x))；
(2)由f**是f的弱函数,故也有f**(E(x))≤clf(E(x))≤f(E(x)),于是由(1)即知clf(E(x))=f(E(x))。
4 次微分的连续性与单调性
定义4 设点x∈X，集合Ψ(x)Y,Ψ：X→2Y,xΨ(x)是集值映射。若点x0∈X,并且对任意的点列｛xk｝X, xk→x0(k→∞)， 以及yk∈Ψ(xk), yk→y0,有y0∈Ψ(x0),则称集值映射Ψ在点x0∈X处是上半连续的。
定理5 设f:X→R∪｛+∞｝是E凸函数, 且E(x)=x,x∈X,若fE在点x0∈domf处是连续的,则f(E(x))在点x0处是上半连续的。
证 明 从fE在点x0处是连续的,知fE在x0的某邻域U1(x0)内上有界,因此,它在U1(x0)内是连续的［5］59,对于x∈U1(x0)由E凸函数右方向导数的定义有
f′+(E(x);E(d))=
limt→0+f(E(x)+tE(d))-f(E(x))t,d∈X(7)
故对d∈X函数F(x,t)=
f(E(x)+tE(d))-f(E(x)),t＞0
f′+(E(x);E(d)),t=0
在U1(x0)×［0,∞)内是连续的。据此可知,对ε＞0,
存在x0的邻域U(x0)U1(x0)和δ＞0,使得
｜f(E(x)+tE(d))-f(E(x))t-f′+(E(x)。E(d))｜＜ε2，x∈U(x0),t∈(0,δ1)(8)
另外,从式(7)得知对上述的ε＞0又存在δ2＞0，
有｜f(E(x0)+tE(d))-f(E(x0))t-
f′+(E(x0);E(d))｜＜ε2，t∈(0,δ2)(9)
取δ=min｛δ1,δ2｝, 由式(8)和式(9)可得对任意的x∈U(x0)和任意的t∈(0，δ),有
f(E(x)+tE(d))-f(E(x))t＜f′+(E(x0);E(d))+ε2＜f(E(x0)+tE(d))-f(E(x0))t+ε2+ε2x∈U(x0),t∈(0,δ)。由此, 根据E凸函数右方向导数的定义,对任意的x∈U(x0)有
f′+(E(x);E(d))=
limt→0+f(E(x)+tE(d))-f(E(x))t≤
limt→0+f(E(x0)+tE(d))-f(E(x0))t+ε=
f′+(E(x0);E(d))+ε
从而inf supf′+(E(x);E(d))≤f′+(E(x0);E(d))+ε，令ε→0，得到
inf supf′+(E(x);E(d))≤f′+(E(x0);E(d))(10)
根据文献［5］46即知，f′+(E(x);E(d))在x0处是上半连续的。
因f是E凸函数,且fE在U(x0)内是连续的,由文献［5］123可知,对任意的x∈U(x0)有f(E(x))≠φ。设x*∈f(E(x)),根据定理3得到
〈x*,tE(d)〉≤f′+(E(x0);E(d)),d∈X,x∈U(x0)(11)
以下证明集值映射f(E(x))在x0处是上半连续的。为此,任取点列｛xk｝X,xk→x0(k→∞),以及x*∈f(E(xk)),x*k→x*。
从式(11)有〈x*k,tE(d)〉≤f′+(E(xk);E(d)),d∈X,xk∈U(x0)。据此,由式(10)知,对任意的d∈X,有〈x*,tE(d)〉=limk→∞〈x*k,tE(d)〉≤infU(x0)supxk∈U(x0)f′+(E(xk);E(d))≤infU(x0)supx∈U(x0)f′+(E(x);E(d))≤f′+(E(x0);E(d))。
于是根据定理3可知，x*∈f(E(x0))。最后,由定义3便得f(E(x))在x0处是上半连续的。
定义4 设点x∈X，集合Ψ(x)X*,Ψ：X→2X*,xΨ(x)是集值映射。若对任意的x,y∈X有〈y*-x*,y-x〉≥0,x*∈Ψ(x),y*∈Ψ(y),则称Ψ是X上的单调集值函数,或称集值映射Ψ在X上是单调的。
定理6 设f:X→R∪｛+∞｝是连续的E凸函数,则f(E(x))在X是单调的。
证 明 对于任意的x, y∈X, 任取x*∈f(E(x))和y*∈f(E(y)),由定义1有
〈x*,E(y)-E(x)〉≤f(E(y))-f(E(x))
y∈X (12)
〈y*,E(y)-E(x)〉≤f(E(x))-f(E(y))
x∈X (13)
由式(13)有〈-y*,E(y)-E(x)〉≤f(E(x))-f(E(y)), 将它与式(12)的两端相加得〈x*-y*, E(y)-E(x)〉≤0, 注意： x*∈f(E(x))和y*∈f(E(y))是任意的,有〈x*-y*,E(y)-E(x)〉≥0,x*∈f(E(x)),y*∈f(E(y))。因此,由定义4即知f(E(x))在X上是单调的。
定义5 设点x∈X，集合Ψ(x)X*,Ψ：X→2X*,xΨ(x)是集值映射,若对任何正整数m≥2和任意的xi∈X(i=1,…,m)有
〈x*1,x2-x1〉+〈x*2,x3-x2〉+…+〈x*m,x1-xm〉≤0
x*1∈Ψ(x1),…,x*m∈Ψ(xm)(14)
则称Ψ是X上的循环单调集值映射,或集值映射Ψ在X上是循环单调的。
定理7 设f：X→R∪｛+∞｝是连续的E凸函数,则f(E(x))在X上是循环单调的。
证 明 对任意的xi∈X(i=1,…,m),任取x*∈f(E(xi)),由定义1有
〈x*1,E(x2)-E(x1)〉≤f(E(x2))-f(E(x1))
〈x*2,E(x3)-E(x2)〉≤f(E(x3))-f(E(x2))
·
·
·
〈x*m,E(x1)-E(xm)〉≤f(E(x1))-f(E(xm))
将以上各式两端相加,注意各x*i∈f(E(xi))是任取的,即得式(14),按定义5即可知f(E(x))在X上是循环单调的。
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(责任编辑：何学华)