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在教学“找规律”时,很多教师往往把教学的着力点放在规律结论的记忆和应用上,却忽视了规律本身发现、完善和内化的过程,这样容易导致学生只会机械套用规律解决问题,而当情境发生变化时无法自我诊断问题症结并灵活应对。在教学这一内容时,名师贲友林既引导学生探索、反思和总结,又通过设置新的问题情境让学生否定自我,形成新的更高层次的认识,结果,在数学知识一次次的重构中学生们充分地理解和内化了简单图形覆盖中的规律,体验到了探索规律的过程,有效拓展了认知结构。
【片段一】初识规律,在重构中优化提炼
师(出示10张连号的天文台参观券):如果要拿两张连号的券,你想拿哪两张?
生1:我想拿第1张和第2张。
生2:我想拿最后一张和倒数第2张。
生3:我想拿正数第3张和第4张。
师:这些同学都用什么来编顺序分清参观券的呢?
生:用数来编顺序。
师(将10张连号的天文台参观券编为1～10,去掉参观券图):刚才的拿法还可以怎么说?
生1:拿1和2。
生2:还有就是3和4、9和10。
师:除了这3种方法,还有其他的吗?
生:有。
师:一共有多少种不同的拿法呢?试着圈一圈或者连一连。
(学生尝试)
师:怎么想的?
生:可以拿1号和2号、2号和3号……9号和10号,一共有9种。
师(出示数字框):为了看得更清楚,我们还可以用移数字框的方法来表示。谁来试一试。
(学生一步一步地移动数字框)
师:有更简便的吗?
(一个学生上来演示:从1和2直接移至9和10)
师:你怎么知道有9种呢?
生:我们可以直接看最后一组框起来的数9和10,前面的数是9,所以就有9种。
师:我们把每组的第一个数叫做首数。这里谁不能做首数?还可以怎么想?
生:这里10不能做首数,所以一共有10-1=9(种)。
师:现在如果有50张连号的天文台参观券(没有图),还是拿两张连号的券,又有多少种不同的拿法呢?
生1:我们可以一个一个地画出来。
生2:这样太慢了。我们可以从1和2直接移到49和50,所以就有49种拿法。
【赏析】数学抽象的本质,是在更高层次上不断对已有的活动或运演进行重构,从而使前者成为一个更大结构的一部分。贲老师通过一步一步地设置思维障碍,迫使学生感受到原有方法的局限性,从而不断更新原有的经验方法:首先,在图中一个一个地圈出或者连出9种拿法;接着借助移动数字框,让学生思考有没有更简便的方法,巧妙地从逐步平移过渡到一次平移,从而发现只要用看每组数的首数的方法就行;最后又从看图寻找方法提升到头脑想象、推理结果。学生在经验和结论不断被否定、不断要重构的情况下,也一步一步地体验着数学知识的建模过程。他们得到的这个结论是鲜活的、结构性的、可复制的,最终实现了数学知识的主体内化。
【片段二】再用规律,在重构中凸显本质
师(出示):下面是小红设计的一条花边,每次给相邻的两个方格盖上透明纸。如图1。怎么理解?
生:给相邻的两个方格盖透明纸,和拿两张连号的参观券是一样的道理。
师:一共有多少种不同的拿法呢?想一想。
(学生用手指指着屏幕开始数)
师:我看到有些同学在指指点点,他们在干什么呢?
生:给花边编号。
师(标出1～13):现在能看出来吗?
生:有12种。
师:做完题目,回过头来想一想。一开始同学们不能得出答案,后来怎么就轻易地得出答案了呢?
生1:一开始没有标数,后来标数了。
生2:标出数后我们就可以抓住最后两个数了。
师:标数,也就是给花边编号后,我们就可以应用已经学过的规律解决问题了。
师:在“十一”7天长假期间,贲老师想带女儿参加“泰山三日游”活动。哪3天去呢?贲老师有多少种选择?
生:可以有5种选择的方法。
师:怎么想的?
生:我可以在头脑中想到1～7,6号和7号不能做首数,一共有5种方法。
师:直接在头脑里编号。
师:“购物街”节目中有一个猜物品价格的游戏。现在这里有一些数字:1、6、3、3、4、9、2、0、5,价格由其中连续的4个数字组成。你会猜吗?
生1:可能是1、6、3、3。
生2:也可能是4、9、2、0。
师:一共有几种可能呢?
(学生尝试)
师:第一种可能是1、6、3、3,那么最后是9、2、0、5,首数是9,所以有9种可能。行吗?
生:不行。
师:为什么呢?
生:它与前面不同。
师:谁能听懂他的意思?
生:这里的几个数字不是连号的,是打乱了的数字,所以不能根据最后一组的首数来确定有多少种。
师:对。我们看前面用首数来确定种数的方法,这些数字都有什么要求呢?
生1:都是按顺序的自然数。
生2:都要从1开始。
师:那这个问题可以怎么解决呢?
生1:我觉得应该是6种。题目里一共有9个数字,去掉不能做首数的3个,一共有9-3=6(种)。
生2:我们也可以给它重新编一个号。
师(显示编号1～9):现在我们就可以根据最后一组的首数来确定,有6种方法。
【赏析】课始,贲老师为学生创设了相对封闭的探究环境和相对简单的学习材料,以便于学生在初步探索规律的学习过程中不受过多因素的干扰,直接指向规律的发现。但当学生已经比较熟悉规律时,教师就要及时变换情境,凸显问题的本质,引导学生思考和掌握。贲老师提供的新情境从给出编号发展到没有编号,让学生发现区别,然后添加编号解决问题;再发展到购物街游戏中数字与编号容易混淆的情境,让学生感受到了编号的意义,自主地产生了编号的需求。学生在知识重构中学会了对生活情境进行适度的数学化处理,使已有的认知结构得到了进一步的完善和发展。
【片段三】拓展规律,在重构中迁移探索
师:我们继续看这些数字:1、6、3、3、4、9、2、0、5,对它们这样进行排列(如图2),还是连续4个数字组成一个价格。
师:还是6种可能吗?
生:不是。
师:用我们前面的探索方法来试一试。
(学生尝试,有的画图,有的列举)
生1:我发现有9种可能。因为把它们围成一圈后,2、0、5也可以做首数了,9个数字就是9种。
生2:我还想补充一下,我们顺时针看有9种,逆时针看也有9种,所以应该是18种。
师:为什么会不一样呢?
生1:前面我们研究的是不封闭的图形,现在我们研究的是封闭的图形。封闭图形的每一个数都能做首数,而不封闭图形的最后一个或者几个是不能做首数的。
生2:规律总在变化,我们要看清具体的情况。
【赏析】数学知识的学习是一个不断重构的过程。贲老师在课尾并未草草收场,而是继续引导学生对已有观念进行必要更新。新的问题不再是数据条件或者问题情境的简单变化,而是把研究的对象从不封闭的直线状情况拓展到封闭的圆形状情况,再次与学生已有的知识结构发生冲突。在贲老师的引导下,学生已经能够自觉地尝试规律、寻找规律并验证规律。学生在知识的一次次重构中不仅掌握了规律本身,而且学会了如何探索规律,促进了学习能力的逐步提升。(作者单位:江苏翔宇教育集团宝应县实验小学)■
□责任编辑 邓园生
E-mail: jxjydys@126.com
【片段一】初识规律,在重构中优化提炼
师(出示10张连号的天文台参观券):如果要拿两张连号的券,你想拿哪两张?
生1:我想拿第1张和第2张。
生2:我想拿最后一张和倒数第2张。
生3:我想拿正数第3张和第4张。
师:这些同学都用什么来编顺序分清参观券的呢?
生:用数来编顺序。
师(将10张连号的天文台参观券编为1～10,去掉参观券图):刚才的拿法还可以怎么说?
生1:拿1和2。
生2:还有就是3和4、9和10。
师:除了这3种方法,还有其他的吗?
生:有。
师:一共有多少种不同的拿法呢?试着圈一圈或者连一连。
(学生尝试)
师:怎么想的?
生:可以拿1号和2号、2号和3号……9号和10号,一共有9种。
师(出示数字框):为了看得更清楚,我们还可以用移数字框的方法来表示。谁来试一试。
(学生一步一步地移动数字框)
师:有更简便的吗?
(一个学生上来演示:从1和2直接移至9和10)
师:你怎么知道有9种呢?
生:我们可以直接看最后一组框起来的数9和10,前面的数是9,所以就有9种。
师:我们把每组的第一个数叫做首数。这里谁不能做首数?还可以怎么想?
生:这里10不能做首数,所以一共有10-1=9(种)。
师:现在如果有50张连号的天文台参观券(没有图),还是拿两张连号的券,又有多少种不同的拿法呢?
生1:我们可以一个一个地画出来。
生2:这样太慢了。我们可以从1和2直接移到49和50,所以就有49种拿法。
【赏析】数学抽象的本质,是在更高层次上不断对已有的活动或运演进行重构,从而使前者成为一个更大结构的一部分。贲老师通过一步一步地设置思维障碍,迫使学生感受到原有方法的局限性,从而不断更新原有的经验方法:首先,在图中一个一个地圈出或者连出9种拿法;接着借助移动数字框,让学生思考有没有更简便的方法,巧妙地从逐步平移过渡到一次平移,从而发现只要用看每组数的首数的方法就行;最后又从看图寻找方法提升到头脑想象、推理结果。学生在经验和结论不断被否定、不断要重构的情况下,也一步一步地体验着数学知识的建模过程。他们得到的这个结论是鲜活的、结构性的、可复制的,最终实现了数学知识的主体内化。
【片段二】再用规律,在重构中凸显本质
师(出示):下面是小红设计的一条花边,每次给相邻的两个方格盖上透明纸。如图1。怎么理解?
生:给相邻的两个方格盖透明纸,和拿两张连号的参观券是一样的道理。
师:一共有多少种不同的拿法呢?想一想。
(学生用手指指着屏幕开始数)
师:我看到有些同学在指指点点,他们在干什么呢?
生:给花边编号。
师(标出1～13):现在能看出来吗?
生:有12种。
师:做完题目,回过头来想一想。一开始同学们不能得出答案,后来怎么就轻易地得出答案了呢?
生1:一开始没有标数,后来标数了。
生2:标出数后我们就可以抓住最后两个数了。
师:标数,也就是给花边编号后,我们就可以应用已经学过的规律解决问题了。
师:在“十一”7天长假期间,贲老师想带女儿参加“泰山三日游”活动。哪3天去呢?贲老师有多少种选择?
生:可以有5种选择的方法。
师:怎么想的?
生:我可以在头脑中想到1～7,6号和7号不能做首数,一共有5种方法。
师:直接在头脑里编号。
师:“购物街”节目中有一个猜物品价格的游戏。现在这里有一些数字:1、6、3、3、4、9、2、0、5,价格由其中连续的4个数字组成。你会猜吗?
生1:可能是1、6、3、3。
生2:也可能是4、9、2、0。
师:一共有几种可能呢?
(学生尝试)
师:第一种可能是1、6、3、3,那么最后是9、2、0、5,首数是9,所以有9种可能。行吗?
生:不行。
师:为什么呢?
生:它与前面不同。
师:谁能听懂他的意思?
生:这里的几个数字不是连号的,是打乱了的数字,所以不能根据最后一组的首数来确定有多少种。
师:对。我们看前面用首数来确定种数的方法,这些数字都有什么要求呢?
生1:都是按顺序的自然数。
生2:都要从1开始。
师:那这个问题可以怎么解决呢?
生1:我觉得应该是6种。题目里一共有9个数字,去掉不能做首数的3个,一共有9-3=6(种)。
生2:我们也可以给它重新编一个号。
师(显示编号1～9):现在我们就可以根据最后一组的首数来确定,有6种方法。
【赏析】课始,贲老师为学生创设了相对封闭的探究环境和相对简单的学习材料,以便于学生在初步探索规律的学习过程中不受过多因素的干扰,直接指向规律的发现。但当学生已经比较熟悉规律时,教师就要及时变换情境,凸显问题的本质,引导学生思考和掌握。贲老师提供的新情境从给出编号发展到没有编号,让学生发现区别,然后添加编号解决问题;再发展到购物街游戏中数字与编号容易混淆的情境,让学生感受到了编号的意义,自主地产生了编号的需求。学生在知识重构中学会了对生活情境进行适度的数学化处理,使已有的认知结构得到了进一步的完善和发展。
【片段三】拓展规律,在重构中迁移探索
师:我们继续看这些数字:1、6、3、3、4、9、2、0、5,对它们这样进行排列(如图2),还是连续4个数字组成一个价格。
师:还是6种可能吗?
生:不是。
师:用我们前面的探索方法来试一试。
(学生尝试,有的画图,有的列举)
生1:我发现有9种可能。因为把它们围成一圈后,2、0、5也可以做首数了,9个数字就是9种。
生2:我还想补充一下,我们顺时针看有9种,逆时针看也有9种,所以应该是18种。
师:为什么会不一样呢?
生1:前面我们研究的是不封闭的图形,现在我们研究的是封闭的图形。封闭图形的每一个数都能做首数,而不封闭图形的最后一个或者几个是不能做首数的。
生2:规律总在变化,我们要看清具体的情况。
【赏析】数学知识的学习是一个不断重构的过程。贲老师在课尾并未草草收场,而是继续引导学生对已有观念进行必要更新。新的问题不再是数据条件或者问题情境的简单变化,而是把研究的对象从不封闭的直线状情况拓展到封闭的圆形状情况,再次与学生已有的知识结构发生冲突。在贲老师的引导下,学生已经能够自觉地尝试规律、寻找规律并验证规律。学生在知识的一次次重构中不仅掌握了规律本身,而且学会了如何探索规律,促进了学习能力的逐步提升。(作者单位:江苏翔宇教育集团宝应县实验小学)■
□责任编辑 邓园生
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