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摘要：“数学实验”是一种新的数学教学和数学学习模式，将数学实验引入课堂教学，可以活跃课堂气氛，减轻教学负担，激发学生的探究欲望，培养学生观察、归纳、猜想、发现的能力。本文试从介绍数学实验的理论基础入手，阐述将数学实验引入数学课堂的一些做法。
关键词：数学实验；数学课堂；教师；学生
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）03-0072
数学家欧拉曾说：“数学这门科学，需要观察，也需要实验。”数学实验是一种最基本的数学学习活动，它能改变学生的数学观和数学学习方式，在学生的数学学习中有着一种无可替代的作用。《国家基础教育课程改革纲要（试行）》要求教学活动要“逐步实现教学内容的呈现方式，学生的学习方式，教师的教学方法和师生的互动方式的改革”，改变“过于强调接受学习，死记硬背，机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力，获取新知识的能力，分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力”。数学中的许多概念、定理、公式都是通过实验而发现的，计算、作图、测量等活动都是数学实验中的重要手段。通过实验可以再现数学概念、定理、公式的形成过程，把握题目的特征，发现解题的思路，使问题获得简捷解决。因此，在平时的教学中，教师可以根据新教材的特点，结合教学内容，设计出有利于学生主动参与的教学方案，让学生能以一种主动参与的学习心态和合作探究的学习方式，构建新的认知结构，使学生的数学思维能力在实验参与过程中得到提升和发展。
一、数学实验教学的概念与理论基础
1. 数学实验教学的概念
“数学实验”一词，最早出现在波利亚的著作《数学与猜想》《怎样解题》中波利亚在论述数学时说：“数学有两个侧面，它是欧几里得式的严谨科学……是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学。”因此，数学实验可以界定为：为获得某种数学理论，检验某个数学猜想，解决某类数学问题，实验者运用一定的物质手段，在数学思维的参与下，在典型的实验环境中或特定的实验条件下所进行的一种数学探究活动。实验教学就是恰当运用数学实验，创设问题情境，引导学生参与实践、自主探索、合作交流，进而发现问题、提出猜想、验证猜想和创造性解决问题的教学活动。
2. 数学实验教学的理论基础
皮亚杰的“建构论”认为：主体认识的实质是主体利用其原有的知识结构对外界客体进行加工、改造、整合的过程。在整个过程中，主体的认知结构也得到不断建构和发展。现代建构意义下的数学实验教学，应该是学生在教师的指导下辅以计算机的帮助，自主参与，具有高度的自主性、探索性的一种教学。
二、实施数学实验教学的实践
1. 运用实验探索概念的形成
数学概念是客观事物、现象的数量关系和空间形式在人们头脑中的反映。大多数的数学概念在周围环境中都有它们的现实原型，都可以用观察、实验方法发现得到。
如在引入椭圆定义前，让学生动手操作到两定点F1，F2的距离之和为定值大于|F1F2|的动点轨迹的实验，而构建椭圆的定义。
实验用品：厚硬纸板、大头针、彩笔、橡皮筋一条、不带弹性的细绳一条（15厘米），两根大头针固定，两个大头针之间距离为10厘米。
实验步骤及探究问题如右图：
（1）将橡皮筋的两端固定在大头针上，用笔尖将橡皮筋拉紧（不松松垮垮的即可），画图形，可以得到椭圆吗？
（2）把橡皮筋换成细绳，再按上述步骤做一遍，可以得到椭圆吗？
（3）把大头针的距离变为15厘米，重复步骤（1）做一遍，能画出椭圆吗？
（4）把大头针的距离变为16厘米，重复步骤（1）做一遍，能画出椭圆吗？
通过实验操作，学生体验椭圆的形成，理解椭圆定义中的“到定点的距离”与“定长”的关系决定椭圆的形成。在实验操作过程中，学生手动、眼看、心想、口说多方面学习数学，快乐学习数学，这比教师用幻灯片演示的效果要好，实验过程中，学生还可以体会到椭圆定义外的性质、如对称性等。
2. 通过实验，发现数学定理、公式
教科书的定理、法则、公式是数学家或者是数学教育家的发现结果，展现在学生面前的是一副经过千锤百炼“完美无缺”的逻辑体系。这种完美的形式略去了曲折复杂的发现过程。教师可以根据实际情况，运用实验手段和方法进行“再发现”“再创造”。
例如：方程的根与函数的零点存在定理的发现教学
实验用品：纸板与细绳制
实验步骤：如右图
学生把绳子的一端固定在P点，另一端在直线上Q 点或M 点，学生可以随意摆放绳子并探究以下问题：
（1）另一端在Q点时，绳子在[a，b]上是否与x 轴一定有交点？
（2）另一端在 M 点时，绳子在[a，b]上是否与 x 轴一定有交点？
（3）把绳子看做是函数在[a，b]上的图像，在什么情况下，函数必存在零点？
（4）如何用f（a），f（b）的值刻画（3）中的情况？
（5）剪断绳子，（3）中的结论是否还成立？
在此实验中，学生积极动手、热烈讨论，用细绳代替函数图像，学生通过对细绳的摆放实现图像的变化，实现了抽象向具体的转化，主动思索总结函数零点存在的条件，教师只需从旁引导学生用数学语言归纳并得到函数零点存在性定理即可。引入了数学实验充分调动了学生数学课的积极性，并使得全体学生能活动起来，并在实验中体验数学理论的形成。数学实验拉近了教师与学生的距离，也拉近了数学与学生的距离，数学实验使数学课更有魅力，更吸引学生。
3. 借助数学实验，引导探究学习
新教学大纲要求“教师要依据教材，又不囿于教材，把学生的知识、经验、生活世界作为重要的课程资源，鼓励学生自主学习。在教学过程中，要充分发挥学生的自主性和创造性，鼓励学生即兴创造、超越预设的教学目标。”借用数学实验，不仅能打破沉寂的课堂气氛，让课堂教学有声有色；还可以提高学生的学习兴趣，激发学生的探索精神，培养学生运用数学的意识和创新能力。 案例：已知a，b，m∈R ，a 。
常规的做法是通过作差来证明，这样单纯的就题证题不仅使学生感到枯燥乏味，同时也很难加深同学们的印象。我们可以拿一杯NaCl溶液（浓度为 ）和一小瓶NaCl，然后让学生想如何把这些物品和这道题目联系起来。如果学生不能想到，我们可以做如下实验：往NaCl溶液（浓度为 ））中加一些（m克），如果学生还是想不到我们可以提示一下：在这个过程中，溶液的浓度发生了什么变化？学生的思维就很容易被激活，与案例中的不等式进行联系。在上面问题的基础上接着提出问题：若a1，a2，b1，b2∈R 且 < ，试比较 ， 和 的大小。学生在这时思维已被激活，很快想到可以和如下实验进行联系：两杯质量相同，浓度分别为 ， 且 < 的NaCl溶液混合，混合后的溶液的浓度和混合前两瓶溶液的浓度比如何？学生很快就可以得出： <混合后浓度 ，而混合浓度= ，于是我们就可以得出 < < 。由实验的过程，学生又可以得出以下命题：若a1，a2，b1，b2∈R ，且 < ，则 < < 。灵活的引入，使学生领略了探索未知的甜头，同时也加深了同学们的记忆。（86%的同学在一星期后能清楚地记得这两个不等式）
4. 利用实验，探索解题途径
有不少数学问题，学生解答起来不知从何入手，但如果我们能够合理创设一些实验，通过实验为学生解决问题提供一些直观的思维背景，则常常能使学生发现数学问题的真谛，进而为找到问题解决的思路，为提出猜想提供直观的依据。
如：已知a、b是方程μ2 ·μ- =0的两根。求证：不论θ为何值，过A（a，a2）、B（b，b2）的直线恒切于一定圆。
分析：过A、B的直线方程为y=（a b）x-ab. ①
由韦达定理知a b=- ，ab=- ，于是①
变形为
x·cosθ y·sinθ=1. ②
要证②切于定圆，但因定圆未知，以下思路不明。
为此，不妨引导学生从实验开始！不妨取θ=0， ，π， ，则分别得到特殊的直线x=1，y=1，x=-1，y=-1，它们恰好围成一个正方形，据此不难猜测所找的定圆即圆心在原点的单位圆。
三、结束语
数学学习过程充满着观察、实验、猜想、验证、推理与交流等丰富多彩的数学活动，而数学实验是其中的一种最基本的数学学习活动。数学实验体现出了数学知识感性的一面，并把数学学习从感性推向理性，让学生真切地体验如何“做数学’，如何实现数学知识的“再发现”，并从中感受数学的力量。当数学实验走进数学课堂，数学将不再抽象，不再难懂，数学因实验而简单，学生因实验而快乐。因此，把数学实验引入教学课堂，引入学生的数学学习中，是一种必然趋势。
（作者单位：①浙江省浙江师范大学 321001；②浙江省苍南中学 325800）
关键词：数学实验；数学课堂；教师；学生
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）03-0072
数学家欧拉曾说：“数学这门科学，需要观察，也需要实验。”数学实验是一种最基本的数学学习活动，它能改变学生的数学观和数学学习方式，在学生的数学学习中有着一种无可替代的作用。《国家基础教育课程改革纲要（试行）》要求教学活动要“逐步实现教学内容的呈现方式，学生的学习方式，教师的教学方法和师生的互动方式的改革”，改变“过于强调接受学习，死记硬背，机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力，获取新知识的能力，分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力”。数学中的许多概念、定理、公式都是通过实验而发现的，计算、作图、测量等活动都是数学实验中的重要手段。通过实验可以再现数学概念、定理、公式的形成过程，把握题目的特征，发现解题的思路，使问题获得简捷解决。因此，在平时的教学中，教师可以根据新教材的特点，结合教学内容，设计出有利于学生主动参与的教学方案，让学生能以一种主动参与的学习心态和合作探究的学习方式，构建新的认知结构，使学生的数学思维能力在实验参与过程中得到提升和发展。
一、数学实验教学的概念与理论基础
1. 数学实验教学的概念
“数学实验”一词，最早出现在波利亚的著作《数学与猜想》《怎样解题》中波利亚在论述数学时说：“数学有两个侧面，它是欧几里得式的严谨科学……是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学。”因此，数学实验可以界定为：为获得某种数学理论，检验某个数学猜想，解决某类数学问题，实验者运用一定的物质手段，在数学思维的参与下，在典型的实验环境中或特定的实验条件下所进行的一种数学探究活动。实验教学就是恰当运用数学实验，创设问题情境，引导学生参与实践、自主探索、合作交流，进而发现问题、提出猜想、验证猜想和创造性解决问题的教学活动。
2. 数学实验教学的理论基础
皮亚杰的“建构论”认为：主体认识的实质是主体利用其原有的知识结构对外界客体进行加工、改造、整合的过程。在整个过程中，主体的认知结构也得到不断建构和发展。现代建构意义下的数学实验教学，应该是学生在教师的指导下辅以计算机的帮助，自主参与，具有高度的自主性、探索性的一种教学。
二、实施数学实验教学的实践
1. 运用实验探索概念的形成
数学概念是客观事物、现象的数量关系和空间形式在人们头脑中的反映。大多数的数学概念在周围环境中都有它们的现实原型，都可以用观察、实验方法发现得到。
如在引入椭圆定义前，让学生动手操作到两定点F1，F2的距离之和为定值大于|F1F2|的动点轨迹的实验，而构建椭圆的定义。
实验用品：厚硬纸板、大头针、彩笔、橡皮筋一条、不带弹性的细绳一条（15厘米），两根大头针固定，两个大头针之间距离为10厘米。
实验步骤及探究问题如右图：
（1）将橡皮筋的两端固定在大头针上，用笔尖将橡皮筋拉紧（不松松垮垮的即可），画图形，可以得到椭圆吗？
（2）把橡皮筋换成细绳，再按上述步骤做一遍，可以得到椭圆吗？
（3）把大头针的距离变为15厘米，重复步骤（1）做一遍，能画出椭圆吗？
（4）把大头针的距离变为16厘米，重复步骤（1）做一遍，能画出椭圆吗？
通过实验操作，学生体验椭圆的形成，理解椭圆定义中的“到定点的距离”与“定长”的关系决定椭圆的形成。在实验操作过程中，学生手动、眼看、心想、口说多方面学习数学，快乐学习数学，这比教师用幻灯片演示的效果要好，实验过程中，学生还可以体会到椭圆定义外的性质、如对称性等。
2. 通过实验，发现数学定理、公式
教科书的定理、法则、公式是数学家或者是数学教育家的发现结果，展现在学生面前的是一副经过千锤百炼“完美无缺”的逻辑体系。这种完美的形式略去了曲折复杂的发现过程。教师可以根据实际情况，运用实验手段和方法进行“再发现”“再创造”。
例如：方程的根与函数的零点存在定理的发现教学
实验用品：纸板与细绳制
实验步骤：如右图
学生把绳子的一端固定在P点，另一端在直线上Q 点或M 点，学生可以随意摆放绳子并探究以下问题：
（1）另一端在Q点时，绳子在[a，b]上是否与x 轴一定有交点？
（2）另一端在 M 点时，绳子在[a，b]上是否与 x 轴一定有交点？
（3）把绳子看做是函数在[a，b]上的图像，在什么情况下，函数必存在零点？
（4）如何用f（a），f（b）的值刻画（3）中的情况？
（5）剪断绳子，（3）中的结论是否还成立？
在此实验中，学生积极动手、热烈讨论，用细绳代替函数图像，学生通过对细绳的摆放实现图像的变化，实现了抽象向具体的转化，主动思索总结函数零点存在的条件，教师只需从旁引导学生用数学语言归纳并得到函数零点存在性定理即可。引入了数学实验充分调动了学生数学课的积极性，并使得全体学生能活动起来，并在实验中体验数学理论的形成。数学实验拉近了教师与学生的距离，也拉近了数学与学生的距离，数学实验使数学课更有魅力，更吸引学生。
3. 借助数学实验，引导探究学习
新教学大纲要求“教师要依据教材，又不囿于教材，把学生的知识、经验、生活世界作为重要的课程资源，鼓励学生自主学习。在教学过程中，要充分发挥学生的自主性和创造性，鼓励学生即兴创造、超越预设的教学目标。”借用数学实验，不仅能打破沉寂的课堂气氛，让课堂教学有声有色；还可以提高学生的学习兴趣，激发学生的探索精神，培养学生运用数学的意识和创新能力。 案例：已知a，b，m∈R ，a
常规的做法是通过作差来证明，这样单纯的就题证题不仅使学生感到枯燥乏味，同时也很难加深同学们的印象。我们可以拿一杯NaCl溶液（浓度为 ）和一小瓶NaCl，然后让学生想如何把这些物品和这道题目联系起来。如果学生不能想到，我们可以做如下实验：往NaCl溶液（浓度为 ））中加一些（m克），如果学生还是想不到我们可以提示一下：在这个过程中，溶液的浓度发生了什么变化？学生的思维就很容易被激活，与案例中的不等式进行联系。在上面问题的基础上接着提出问题：若a1，a2，b1，b2∈R 且 < ，试比较 ， 和 的大小。学生在这时思维已被激活，很快想到可以和如下实验进行联系：两杯质量相同，浓度分别为 ， 且 < 的NaCl溶液混合，混合后的溶液的浓度和混合前两瓶溶液的浓度比如何？学生很快就可以得出： <混合后浓度 ，而混合浓度= ，于是我们就可以得出 < < 。由实验的过程，学生又可以得出以下命题：若a1，a2，b1，b2∈R ，且 < ，则 < < 。灵活的引入，使学生领略了探索未知的甜头，同时也加深了同学们的记忆。（86%的同学在一星期后能清楚地记得这两个不等式）
4. 利用实验，探索解题途径
有不少数学问题，学生解答起来不知从何入手，但如果我们能够合理创设一些实验，通过实验为学生解决问题提供一些直观的思维背景，则常常能使学生发现数学问题的真谛，进而为找到问题解决的思路，为提出猜想提供直观的依据。
如：已知a、b是方程μ2 ·μ- =0的两根。求证：不论θ为何值，过A（a，a2）、B（b，b2）的直线恒切于一定圆。
分析：过A、B的直线方程为y=（a b）x-ab. ①
由韦达定理知a b=- ，ab=- ，于是①
变形为
x·cosθ y·sinθ=1. ②
要证②切于定圆，但因定圆未知，以下思路不明。
为此，不妨引导学生从实验开始！不妨取θ=0， ，π， ，则分别得到特殊的直线x=1，y=1，x=-1，y=-1，它们恰好围成一个正方形，据此不难猜测所找的定圆即圆心在原点的单位圆。
三、结束语
数学学习过程充满着观察、实验、猜想、验证、推理与交流等丰富多彩的数学活动，而数学实验是其中的一种最基本的数学学习活动。数学实验体现出了数学知识感性的一面，并把数学学习从感性推向理性，让学生真切地体验如何“做数学’，如何实现数学知识的“再发现”，并从中感受数学的力量。当数学实验走进数学课堂，数学将不再抽象，不再难懂，数学因实验而简单，学生因实验而快乐。因此，把数学实验引入教学课堂，引入学生的数学学习中，是一种必然趋势。
（作者单位：①浙江省浙江师范大学 321001；②浙江省苍南中学 325800）