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立体几何中涉及到的空间距离有八种:两点间的距离,点到直线的距离,点到平面的距离,两平行线间的距离,异面直线间的距离,与平面平行的直线到平面的距离,两平行平面间的距离,以及球面上两点间的距离。这八种距离,都可以归结到求点与点、点与线、点与面这三种距离。求这些距离的常规方法是先找到表示该距离的线段,再证明该线段合题意,最后得到该线段所在的三角形,解这个三角形,求出距离,即“一作二证三计算”的步骤。但其中的作图有时比较困难,若采用向量法,则可有效解决这一困难。
向量是解答立体几何问题的一种得力的工具,不少复杂的几何推理,可借助向量法使其模式化,用机械性操作加以实现。因此,熟练掌握向量法,对提高立体几何的解题能力甚有好处。向量法论其要领,虽不复杂,但熟练掌握、灵活运用,仍需一定的操练。该法作为一种技能,用实例加以说明,能较好地促进理解和掌握。下面用向量法求空间距离,逐一分析,供读者商榷。
一、两点间的距离
例1、(2002年高考试题)如图,正方形ABCD、ABEF上下的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN=a(0 (1)求MN的长。
(2)求a为何值时,MN的长最小。
分析:给出的图形充满着各种垂直关系。注意到AB、BE、BC三直线两两互相垂直,且相交于点B,可以用来建立空间直角坐标系,借助向量坐标运算法进行求解,不失为一种合适的选择。
解:(1)如图,建立空间直角坐标系O-xyz,依题得各点坐标为A(1,0,0)、B(0,0,0)、C(0,0,1)、F(1,1,0)、M( ,0,1- )、N( , ,0)。
∴MN=
=
(2)由(1)所得MN长的表达式可知:当且仅当a= 时,MN长最小,为 。
点评:欲求两点M、N之间的距离,可转化为求向量|MN|。
二、点到平面的距离
例2、如图,直二面角D-AB-E,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,
(1)求证:AE⊥面BCE。
分析:本题也可建立空间直角坐标系,借助向量坐标法求解:
解:(1)易证。
(2)以线段AB中点为原点O,OE所在直线为X轴,AB所在直线为Y轴,过点O作平行于AD的直线为Z轴,建立空间直角坐标系O-XYZ,如图。
∴AE⊥平面BCE,BE面BCE,
∴AE⊥BE。在Rt△AEB中,AB=2,O为AB中点,∴OE=1。
∴A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2)。
AE·n=0x+y=0
AC·n=02y+2z=0
解得:
令x=1,得:n=(1,1,0)是平面ACE的一个法向量。
∵AD⊥Z轴,AD=2,∴AD=(0,0,2)。
∴AD·n=(0,0,2)·(1,-1,1)=2,n=。
∴点D到平面ACE的距离d=
∴点D到平面ACE的距离为
点评:欲求点P到平面a的距离,则可设n为平面a的一个法向量,点Q在平面a内,则点P到平面a的距离d=
三、点到直线的距离
例3、正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,E是CC1的中点,求E到A1B的距离。
分析:本题实际是点到直线的距离,关键是确定点E在直线A1B上的射影位置。由于正方体中垂直关系多,故可以建立空间直角坐标系。
解:设E在直线A1B上的射影为H,令A1H=λ·HB,以D为原点,建立如图所示空间直角坐标系D-xyz。
则A1(a,o,a),B(a,a,o),E(0,a,)
设H(a,y,z),则A1B=(0,a,-a),
A1H=(0,y,z-a),HB=(0,a-y,-z)
由A1H=λ·HB得到
则H(a,
∴EH=(a,
∵EH⊥A1B∴EH·A1B=0
∴λ=3∴H(a,a,)
∴|EH|=(a-0)2+(a-a)2+(-2)2
=2a。
即为E到A1B的距离。
点评:欲求E到A1B的距离,可设E在A1B上的射影为H,令A1H=λ·HB,由EH⊥A1B可求|EH|的最小值,求得参数λ的值,以确定H的位置,则|EH|即为点E到A1B的距离。
四、两异面直线间的距离
例4、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1。
求两异面直线CC1与BD1的距离。
分析:正方体中,垂直关系非常明显,这种几何体非常适宜于建立空间直角坐标系。
解:建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则CB=(1,0,0),CC1=(0,0,1),BD1=(-1,-1,1)。设n=(x,y,z)为两异面直线BD1与CC1公垂线的一个方向向量。
令y=-1,则n=(1,-1,0),则两直线CC1与BD1间的距离d=
∴两异面直线BD1与CC1间的距离为 。
点评:欲求两条异面直线l1、l2之间的距离,可设与公垂线平行的向量为n,C、D分别为l1、l2上任意一点,则l1、l2之间的距离d=。
总之,本文的例题,不用向量法也都能解答,但用向量法求解,却有特色,也有可取之处,因为向量法舍却了繁杂的辅助线和推理,融计算于推理之中,而这是近些年立体几何高考试题的一大特色。
向量是解答立体几何问题的一种得力的工具,不少复杂的几何推理,可借助向量法使其模式化,用机械性操作加以实现。因此,熟练掌握向量法,对提高立体几何的解题能力甚有好处。向量法论其要领,虽不复杂,但熟练掌握、灵活运用,仍需一定的操练。该法作为一种技能,用实例加以说明,能较好地促进理解和掌握。下面用向量法求空间距离,逐一分析,供读者商榷。
一、两点间的距离
例1、(2002年高考试题)如图,正方形ABCD、ABEF上下的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN=a(0 (1)求MN的长。
(2)求a为何值时,MN的长最小。
分析:给出的图形充满着各种垂直关系。注意到AB、BE、BC三直线两两互相垂直,且相交于点B,可以用来建立空间直角坐标系,借助向量坐标运算法进行求解,不失为一种合适的选择。
解:(1)如图,建立空间直角坐标系O-xyz,依题得各点坐标为A(1,0,0)、B(0,0,0)、C(0,0,1)、F(1,1,0)、M( ,0,1- )、N( , ,0)。
∴MN=
=
(2)由(1)所得MN长的表达式可知:当且仅当a= 时,MN长最小,为 。
点评:欲求两点M、N之间的距离,可转化为求向量|MN|。
二、点到平面的距离
例2、如图,直二面角D-AB-E,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,
(1)求证:AE⊥面BCE。
分析:本题也可建立空间直角坐标系,借助向量坐标法求解:
解:(1)易证。
(2)以线段AB中点为原点O,OE所在直线为X轴,AB所在直线为Y轴,过点O作平行于AD的直线为Z轴,建立空间直角坐标系O-XYZ,如图。
∴AE⊥平面BCE,BE面BCE,
∴AE⊥BE。在Rt△AEB中,AB=2,O为AB中点,∴OE=1。
∴A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2)。
AE·n=0x+y=0
AC·n=02y+2z=0
解得:
令x=1,得:n=(1,1,0)是平面ACE的一个法向量。
∵AD⊥Z轴,AD=2,∴AD=(0,0,2)。
∴AD·n=(0,0,2)·(1,-1,1)=2,n=。
∴点D到平面ACE的距离d=
∴点D到平面ACE的距离为
点评:欲求点P到平面a的距离,则可设n为平面a的一个法向量,点Q在平面a内,则点P到平面a的距离d=
三、点到直线的距离
例3、正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,E是CC1的中点,求E到A1B的距离。
分析:本题实际是点到直线的距离,关键是确定点E在直线A1B上的射影位置。由于正方体中垂直关系多,故可以建立空间直角坐标系。
解:设E在直线A1B上的射影为H,令A1H=λ·HB,以D为原点,建立如图所示空间直角坐标系D-xyz。
则A1(a,o,a),B(a,a,o),E(0,a,)
设H(a,y,z),则A1B=(0,a,-a),
A1H=(0,y,z-a),HB=(0,a-y,-z)
由A1H=λ·HB得到
则H(a,
∴EH=(a,
∵EH⊥A1B∴EH·A1B=0
∴λ=3∴H(a,a,)
∴|EH|=(a-0)2+(a-a)2+(-2)2
=2a。
即为E到A1B的距离。
点评:欲求E到A1B的距离,可设E在A1B上的射影为H,令A1H=λ·HB,由EH⊥A1B可求|EH|的最小值,求得参数λ的值,以确定H的位置,则|EH|即为点E到A1B的距离。
四、两异面直线间的距离
例4、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1。
求两异面直线CC1与BD1的距离。
分析:正方体中,垂直关系非常明显,这种几何体非常适宜于建立空间直角坐标系。
解:建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则CB=(1,0,0),CC1=(0,0,1),BD1=(-1,-1,1)。设n=(x,y,z)为两异面直线BD1与CC1公垂线的一个方向向量。
令y=-1,则n=(1,-1,0),则两直线CC1与BD1间的距离d=
∴两异面直线BD1与CC1间的距离为 。
点评:欲求两条异面直线l1、l2之间的距离,可设与公垂线平行的向量为n,C、D分别为l1、l2上任意一点,则l1、l2之间的距离d=。
总之,本文的例题,不用向量法也都能解答,但用向量法求解,却有特色,也有可取之处,因为向量法舍却了繁杂的辅助线和推理,融计算于推理之中,而这是近些年立体几何高考试题的一大特色。