论文部分内容阅读
立体几何中涉及到的空间距离有八种：两点间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，两平行线间的距离，异面直线间的距离，与平面平行的直线到平面的距离，两平行平面间的距离，以及球面上两点间的距离。这八种距离，都可以归结到求点与点、点与线、点与面这三种距离。求这些距离的常规方法是先找到表示该距离的线段，再证明该线段合题意，最后得到该线段所在的三角形，解这个三角形，求出距离，即“一作二证三计算”的步骤。但其中的作图有时比较困难，若采用向量法，则可有效解决这一困难。
向量是解答立体几何问题的一种得力的工具，不少复杂的几何推理，可借助向量法使其模式化，用机械性操作加以实现。因此，熟练掌握向量法，对提高立体几何的解题能力甚有好处。向量法论其要领，虽不复杂，但熟练掌握、灵活运用，仍需一定的操练。该法作为一种技能，用实例加以说明，能较好地促进理解和掌握。下面用向量法求空间距离，逐一分析，供读者商榷。
一、两点间的距离
例1、（2002年高考试题）如图，正方形ABCD、ABEF上下的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0 （1）求MN的长。
（2）求a为何值时，MN的长最小。
分析：给出的图形充满着各种垂直关系。注意到AB、BE、BC三直线两两互相垂直，且相交于点B，可以用来建立空间直角坐标系，借助向量坐标运算法进行求解，不失为一种合适的选择。
解：（1）如图，建立空间直角坐标系O-xyz，依题得各点坐标为A（1，0，0）、B（0，0，0）、C（0，0，1）、F（1，1，0）、M（ ，0，1- ）、N（ ， ，0）。
∴MN=
=
（2）由（1）所得MN长的表达式可知：当且仅当a= 时，MN长最小，为 。
点评：欲求两点M、N之间的距离，可转化为求向量|MN|。
二、点到平面的距离
例2、如图，直二面角D-AB-E，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，
（1）求证：AE⊥面BCE。
分析：本题也可建立空间直角坐标系，借助向量坐标法求解：
解：（1）易证。
（2）以线段AB中点为原点O，OE所在直线为X轴，AB所在直线为Y轴，过点O作平行于AD的直线为Z轴，建立空间直角坐标系O-XYZ，如图。
∴AE⊥平面BCE，BE面BCE，
∴AE⊥BE。在Rt△AEB中，AB=2，O为AB中点，∴OE=1。
∴A（0，-1，0），E（1，0，0）,C（0，1，2）。
AE·n=0x+y=0
AC·n=02y+2z=0
解得：
令x=1，得：n=（1，1，0）是平面ACE的一个法向量。
∵AD⊥Z轴，AD=2，∴AD=（0，0，2）。
∴AD·n=（0，0，2）·（1，-1，1）=2，n=。
∴点D到平面ACE的距离d=
∴点D到平面ACE的距离为
点评：欲求点P到平面a的距离，则可设n为平面a的一个法向量，点Q在平面a内，则点P到平面a的距离d=
三、点到直线的距离
例3、正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，E是CC1的中点，求E到A1B的距离。
分析：本题实际是点到直线的距离，关键是确定点E在直线A1B上的射影位置。由于正方体中垂直关系多，故可以建立空间直角坐标系。
解：设E在直线A1B上的射影为H，令A1H=λ·HB,以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz。
则A1（a，o，a），B（a，a，o），E（0，a，）
设H（a，y，z），则A1B=（0，a，-a），
A1H=（0，y，z-a），HB=（0，a-y，-z）
由A1H=λ·HB得到
则H（a，
∴EH=（a，
∵EH⊥A1B∴EH·A1B=0
∴λ=3∴H（a，a，）
∴|EH|=（a-0）2+（a-a）2+（-2）2
=2a。
即为E到A1B的距离。
点评：欲求E到A1B的距离，可设E在A1B上的射影为H，令A1H=λ·HB，由EH⊥A1B可求|EH|的最小值，求得参数λ的值，以确定H的位置，则|EH|即为点E到A1B的距离。
四、两异面直线间的距离
例4、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1。
求两异面直线CC1与BD1的距离。
分析：正方体中，垂直关系非常明显，这种几何体非常适宜于建立空间直角坐标系。
解：建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则CB=（1，0，0），CC1=（0，0，1）,BD1=（-1，-1，1）。设n=（x，y，z）为两异面直线BD1与CC1公垂线的一个方向向量。
令y=-1，则n=（1，-1，0），则两直线CC1与BD1间的距离d=
∴两异面直线BD1与CC1间的距离为 。
点评：欲求两条异面直线l1、l2之间的距离，可设与公垂线平行的向量为n，C、D分别为l1、l2上任意一点，则l1、l2之间的距离d=。
总之，本文的例题，不用向量法也都能解答，但用向量法求解，却有特色，也有可取之处，因为向量法舍却了繁杂的辅助线和推理，融计算于推理之中，而这是近些年立体几何高考试题的一大特色。
向量是解答立体几何问题的一种得力的工具，不少复杂的几何推理，可借助向量法使其模式化，用机械性操作加以实现。因此，熟练掌握向量法，对提高立体几何的解题能力甚有好处。向量法论其要领，虽不复杂，但熟练掌握、灵活运用，仍需一定的操练。该法作为一种技能，用实例加以说明，能较好地促进理解和掌握。下面用向量法求空间距离，逐一分析，供读者商榷。
一、两点间的距离
例1、（2002年高考试题）如图，正方形ABCD、ABEF上下的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0
（2）求a为何值时，MN的长最小。
分析：给出的图形充满着各种垂直关系。注意到AB、BE、BC三直线两两互相垂直，且相交于点B，可以用来建立空间直角坐标系，借助向量坐标运算法进行求解，不失为一种合适的选择。
解：（1）如图，建立空间直角坐标系O-xyz，依题得各点坐标为A（1，0，0）、B（0，0，0）、C（0，0，1）、F（1，1，0）、M（ ，0，1- ）、N（ ， ，0）。
∴MN=
=
（2）由（1）所得MN长的表达式可知：当且仅当a= 时，MN长最小，为 。
点评：欲求两点M、N之间的距离，可转化为求向量|MN|。
二、点到平面的距离
例2、如图，直二面角D-AB-E，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，
（1）求证：AE⊥面BCE。
分析：本题也可建立空间直角坐标系，借助向量坐标法求解：
解：（1）易证。
（2）以线段AB中点为原点O，OE所在直线为X轴，AB所在直线为Y轴，过点O作平行于AD的直线为Z轴，建立空间直角坐标系O-XYZ，如图。
∴AE⊥平面BCE，BE面BCE，
∴AE⊥BE。在Rt△AEB中，AB=2，O为AB中点，∴OE=1。
∴A（0，-1，0），E（1，0，0）,C（0，1，2）。
AE·n=0x+y=0
AC·n=02y+2z=0
解得：
令x=1，得：n=（1，1，0）是平面ACE的一个法向量。
∵AD⊥Z轴，AD=2，∴AD=（0，0，2）。
∴AD·n=（0，0，2）·（1，-1，1）=2，n=。
∴点D到平面ACE的距离d=
∴点D到平面ACE的距离为
点评：欲求点P到平面a的距离，则可设n为平面a的一个法向量，点Q在平面a内，则点P到平面a的距离d=
三、点到直线的距离
例3、正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，E是CC1的中点，求E到A1B的距离。
分析：本题实际是点到直线的距离，关键是确定点E在直线A1B上的射影位置。由于正方体中垂直关系多，故可以建立空间直角坐标系。
解：设E在直线A1B上的射影为H，令A1H=λ·HB,以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz。
则A1（a，o，a），B（a，a，o），E（0，a，）
设H（a，y，z），则A1B=（0，a，-a），
A1H=（0，y，z-a），HB=（0，a-y，-z）
由A1H=λ·HB得到
则H（a，
∴EH=（a，
∵EH⊥A1B∴EH·A1B=0
∴λ=3∴H（a，a，）
∴|EH|=（a-0）2+（a-a）2+（-2）2
=2a。
即为E到A1B的距离。
点评：欲求E到A1B的距离，可设E在A1B上的射影为H，令A1H=λ·HB，由EH⊥A1B可求|EH|的最小值，求得参数λ的值，以确定H的位置，则|EH|即为点E到A1B的距离。
四、两异面直线间的距离
例4、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1。
求两异面直线CC1与BD1的距离。
分析：正方体中，垂直关系非常明显，这种几何体非常适宜于建立空间直角坐标系。
解：建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则CB=（1，0，0），CC1=（0，0，1）,BD1=（-1，-1，1）。设n=（x，y，z）为两异面直线BD1与CC1公垂线的一个方向向量。
令y=-1，则n=（1，-1，0），则两直线CC1与BD1间的距离d=
∴两异面直线BD1与CC1间的距离为 。
点评：欲求两条异面直线l1、l2之间的距离，可设与公垂线平行的向量为n，C、D分别为l1、l2上任意一点，则l1、l2之间的距离d=。
总之，本文的例题，不用向量法也都能解答，但用向量法求解，却有特色，也有可取之处，因为向量法舍却了繁杂的辅助线和推理，融计算于推理之中，而这是近些年立体几何高考试题的一大特色。