2011年江苏高考数学卷第18题是一道关于椭圆的解析几何题，对于第（3）问，许多考生虽有解题的思路，但是对于求解B点的坐标，具有较高的运算能力。因为需要通过解含有变量 的一元二次方程确定点B的坐标，使得很多学生到此是“戛然而止”！笔者利用圆锥曲线中的弦的一个性质，将求解点B的坐标转化为直线的交点与中点坐标问题，这样显得更易于求解。
　　性质1：椭圆
　　的弦的中点与椭圆中心的连线的斜率与此弦斜率之积（两斜率均存在）等于
　　
　　证明：如图，设弦AB的中点 ，
　　则
　　两式相减得：
　　即
　　
　　题目：（2011江苏高考题18题）
　　如图，在平面直角坐标系
　　中，
　　分别是椭圆
　　的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于
　　两点，其中点
　　在第一象限，过
　　作
　　轴的垂线，垂足为
　　，连接
　　，并延长交椭圆于点
　　．设直线
　　的斜率为
　　．
　　（1）当直线
　　平分线段
　　，求
　　的值；
　　（2）当
　　时，求点
　　到直线
　　的距离
　　；
　　（3）对任意
　　，求证：
　　．
　　解：（1）（2）解答略
　　 （3）将直线PA的方程
　　代入
　　，解得
　　
　　则
　　
　　故直线AB的斜率为
　　，设线段AB的中点为D
　　由上述的定理知： ，则直线OD的方程为
　　
　　 直线AB的方程为
　　由 得D
　　又由
　　，
　　故点B的坐标为
　　
　　所以：
　　所以
　　，即
　　
　　通過弦的性质来处理问题，可以简化数学的运算，使人感受到数学的清新与简洁之美。同时，在双曲线与抛物线中也发现有同样的性质。
　　性质2：双曲线
　　的弦的中点与双曲线中心的连线的斜率与此弦斜率（两斜率均存在）之积等于
　　
　　性质3：抛物线
　　的弦的中点与抛物线顶点的连线的斜率与此弦的斜率之积（两斜率均存在）等于
　　（其中
　　是弦的中点的横坐标）
　　作者单位：江苏省连云港市杨集中学