函数的最值是函数这一章节中的重要内容，它的重要性不仅在题型多样、方法灵活上，更主要的是其在实际生活及生产实践中的应用。高考应用题几乎都与最值问题有关,一元二次函数是函数应用求最值的常用方法，而基本不等式是解决此类实际问题的有力工具。利用基本不等式求函数最值的方法使用范围较广泛，既可适用于已学过的二次函数，又可适用于分式函数、高次函数、无理函数。
　　两个基本不等式：
　　（1）若a，b∈R，则a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”号）
　　（2） 若a，b∈R+，则 ■≥■（当且仅当a=b时取“=”号）
　　其中■和■分别叫做正数a、b的算术平均数和几何平均数。基本不等式可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
　　利用基本不等式求最值需注意的问题：
　　⑴各数（或式）均为正；
　　⑵和或积为定值；
　　⑶等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可。
　　基本不等式的几种变形公式：
　　对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种常见变形形式及公式的逆用等，如：设a，b∈R+，则■≤■≤■≤■（调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值），当且仅当a=b时等号成立。
　　题型一 利用基本不等式证明不等式
　　例1 求证：对于任意实数a、b、c，有a2+b2+c2≥ab+bc+ca当且仅当a=b=c时等号成立.
　　证明：由基本不等式（1），得a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2，
　　对应相加，得 2（a2+b2+c2）≥2(ab+bc+ca)，即a2+b2+c2≥ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时等号成立。
　　题型二、利用基本不等式求最值或者取值范围
　　例2 已知ab=1，求a+b的取值范围。
　　解：若a,b﹥0,a+b≥2■=2，当且仅当a=b=1时，等号成立。若a,b﹤0,a+b=-[(-a)+(-b)]≤-2■=-2，当且仅当a=b=-1时，等号成立。综上,a+b的范围为：a+b≤-2或a+b≥2。
　　例3 求下列函数的最值
　　（1）x﹥0,求y=■的最小值，若x＜0呢?
　　 解：因为x＞0，所以f(x)=■=x+■≥2■=4,当且仅当x=■，即x=2时 ，f(x)min=4。
　　若x<0，f (x)=■=-[(-x)+(■)]
　　≤-2■=-4,
　　当且仅当-x=■ 即x=-2时f(x)min=-4。
　　（2）求 y=t+■的最小值，t∈(0,n]，n﹥0。
　　 ■
　　因為当0﹤n≤2时，y在(0.n]在上单调递减，所以当t=n时，ymin=n+■，而当n＞2时，y在(2,n]上单调递增。所以当t=2时，ymin=2+■=4。
　　题型三、基本不等式在实际问题中的应用
　　例4 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800m3,深为3 m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
　　解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得
　　l=240 000+720(x+■)≥240 000+720×■=240 000+720×2×40=297 600。
　　当x=■,即x=40时，l有最小值297 600。
　　答：当水池的底面是边长为40 m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297 600元。◆(作者单位：江西省南昌县莲塘第二中学)
　　责任编辑：周瑜芽