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摘 要:回顾了现有的时变Rayleigh信道的仿真实现方法,将空间相关信道实现中基于相关矩阵的方法引入时变信道的仿真实现中,提出了一种新的基于相关矩阵的时变单入单出和多入多出信道仿真实现方法。比较了基于相关矩阵的实现方法和传统常用的基于正弦波叠加的方法的精确性和实现复杂度,指出了基于时间相关矩阵的时变信道仿真实现方法的主要适用范围。
关键词:信道模型 仿真方法 相关矩阵 实现复杂度
中图分类号:TN92 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)02(a)-0036-03
引言
Rayleigh信道的仿真实现是无线通信技术仿真的基础之一。信道仿真一般有两个目标:其一,准确反映现实传播环境;其二,可接受的仿真复杂度。这两个目标存在矛盾,信道仿真一般在两个目标之间取得折中。衰落信道仿真需表现出各种相关特征。首先,由于移动台的运动或传播环境的运动,信道表现出时变特征,即信道具有时间相关性。其次,由于不同散射体造成的传播时延不同,即多径效应,信道表现出频率選择特征,即信道具有频率相关性。再次,由于多天线技术的引入,信道表现出空间相关性。信道的频率相关特征一般使用抽头延时线模型或分簇延时线模型实现,且与其他两种相关性的实现独立。
信道的时间相关性的实现一般可以分为两类方法:
1)正弦波叠加法(SOS)[1][2][3]。此类方法应用较为广泛,具体形式表现为使用多个正弦波函数的和产生信道。
2)成形滤波器法[4]。根据滤波器实现可分为时域滤波器法和频域滤波器法,其思路是将加性白高斯噪声(AWGN)序列经过滤波器,通过设计滤波器的冲激响应,使输出序列满足预设频谱。
信道的空间相关性实现也可以分为两类方法[5]:
1)基于空间相关矩阵的方法。此类方法出现较早,相对较为简单,也更有利于理论分析。
2)基于子径叠加的方法。此类方法被3GPP采纳作为LTE系统评估的系统级信道仿真方法[6]。此方法同时表现了信道的时间和空间相关特征,两者不能相互分离。
这两种方法并不存在等效关系。基于子径叠加的方法较为接近现实无线传播环境,但参数众多,实现复杂度较大,且不利于理论分析。
综上所述,时变空间相关信道实现一般有三类方法,各有适用场景和优缺点。本文致力于提出第四类方法,将基于相关矩阵的思路引入时变单入单出(SISO)信道的仿真实现中,并将其推广用于时变多入多出(MIMO)信道的实现。
1 时变SISO信道仿真方法
1.1 改进Jakes模型回顾
基于正弦波叠加的信道仿真源于文献[1]中提出的模型,此后最重要的是文献[2]中提出的Jakes模型,为SOS仿真方法的工程实现奠定了基础。以下回顾的是文献[3]中的改进Jakes模型。信道的表达式为:
(1)
其中
(2)
(3)
(4)
(5)
服从内的独立均匀分布,是最大多普勒角频率。从(1)～(5)可以看出,信道的实虚部各由M+1个正弦波叠加而成。在后文中M=8。
以经典多普勒谱为目标,理想的信道实现应满足:
1)广义平稳;2)各态历经;3)均值为0,包络满足标准Rayleigh分布,相位满足均匀分布;4)同相和正交分量的自相关函数满足0阶一类Bessel函数:
(6)
互相关函数为0:
(7)
当信道的功率谱不是经典多普勒谱时,第4个条件的函数形式有所区别。上述4个条件是理想化的标准,实际上第2和第4条是相互矛盾,无法同时满足的。
1.2 基于相关矩阵的时变SISO信道仿真实现
基于相关矩阵的方法在空间相关信道的实现中使用广泛[5][7],类似的思路可以应用于时间相关信道的仿真实现中。假设产生信道的采样均匀,采样间隔为。信道实现的总长度为N个采样点,即时间长度为(当信道采样间隔非均匀时同样可以使用)。产生的时变信道是的行矢量。
基于相关矩阵的时变SISO信道仿真可分为两个步骤:
1)产生时间相关矩阵。定义时间相关矩阵:
(8)
其中表示数学期望,、、分别表示矩阵的转置、共轭和共轭转置。根据(6)和(7)的要求:
(9)
其中表示矩阵的第j行第k列的元素。
2)基于时间相关矩阵,实现时变SISO信道。分解相关矩阵:
(10)
(11)
其中是独立同分布复高斯行矢量。在基于相关矩阵的空间相关信道实现中,如(10)所示相关矩阵的分解,一般使用Cholesky分解,也可使用矩阵平方根分解实现。
2 时变MIMO信道仿真方法
上一节中的方法可以拓展至MIMO系统中,使用基于空时相关矩阵的方法实现时变空间相关MIMO信道。定义MIMO系统中的发射天线数为,接收天线数为,每个时刻信道为行列矩阵。定义空间相关矩阵:
(12)
其中表示将矩阵按列重排为列矢量。采用二维矩阵表示时变MIMO信道:
(13)
定义时间相关矩阵为
(14)
其中表示的第j行。根据空间和时间相关矩阵可以构造总相关矩阵:
(15)
其中表示Kronecker张量积运算。与上节类似,信道的仿真实现分为两步:
1)产生相关矩阵。时间相关矩阵的产生参照(9)。一般是预先定义好的,或根据到达(离开)角分布和天线间距等参数进行计算。由于为共轭对称阵,是实对称矩阵,因此为共轭对称阵。
2)基于空时相关矩阵,实现时变空间相关MIMO信道。使用(10)进行分解,然后产生信道:
(16)
其中是与同等大小的独立同分布信道矩阵。
3 仿真比较和复杂度分析
3.1 仿真效果比较
使用仿真实例对比1.1节和1.2节中的两种信道实现方法:反馈时延对自适应编码调制(AMC)技术的吞吐量的影响。接收端对接收信噪比进行估计后反馈回发射端,发射端根据反馈信噪比选择适合的编码调制方式。由于信息反馈存在时延(),用于选择调制编码方式(MCS)的信道状态信息与即将经历的信道相比有误差。因此,仿真结果与信道的二阶特征有很大关系。仿真中AMC技术使用的MCS有8种,编码块长度为150个符号,信道编码器和速率匹配参考文献[8],其在AWGN信道下的性能如图1所示。
最大多普勒频移为,观察反馈时延对吞吐量的影响。在使用1.1节中回顾的SOS法进行仿真时,需要分别产生时刻和时刻的信道。若使用基于时间相关矩阵的方法产生信道进行仿真时,信道序列的长度为N=2,时间相关矩阵为
(17)
每次产生前后两个信道,第一个用于选择MCS,选定后经过第二个信道,计算有效接收吞吐量,并进行统计平均。图2(a)是时延对应的相关系数,图2(b)是使用两种信道产生方法进行仿真的结果。两种信道实现方法的结果基本一致。在时延为0时,两种方法的吞吐量略有区别,是因为基于SOS方法产生信道的分布与标准Rayleigh分布略有区别,拖尾部分略大。如果以标准Rayleigh分布和0阶一类Bessel函数为逼近目标,基于相关矩阵的方法的准确性是最高的。SOS方法实现复杂度高,且一阶和二阶特性不够完美。
3.2 复杂度分析
使用两种指标对信道仿真实现方法的复杂度进行评估:浮点运算次数和运行时间。信道实现方法的复杂度一般由两部分组成:初始化部分和循环部分。初始化部分一般在仿真中仅执行一次,而循环部分的执行次数取决于仿真所需随机样本数量,定义为W。循环部分的运算次数是W的线性函数。在每个随机样本中,需要产生长度为N的信道序列,则产生每个随机样本需要的运算量与N基本成线性关系。因此,在仿真中,信道实现占据的复杂度可以表示为:
(18)
其中表示初始化部分的计算复杂度,表示每个随机样本的每个信道抽样实现所需计算复杂度。
SOS类方法的初始化部分复杂度与N和W无关,基本可以忽略。基本由实虚部各M+1次正弦函数求和构成,根据(1)可得如表1所示的复杂度构成。表中“”表示实数乘法次数,“”表示实数加法次数,“”表示正(余)弦函数执行次数。1.2节中提出的基于相关矩阵的信道实现方法,其初始化部分需要执行相关矩阵的平方根分解,复杂度不能被随意忽略,且与信道序列长度N有关。使用Matlab 5.3对矩阵平方根或Cholesky分解的复杂度进行统计,其浮点运算次数可以表示为N的函数:
(19)
(20)
矩阵平方根分解和Cholesky分解的复杂度均与矩阵维度的3次方成正比。由于与无关,因此基于相关矩阵的实现方法的复杂度与初始化部分的关系同样不大。循环部分的复杂度如表1。在初始化完成之后,基于相关矩阵的方法非常简单,产生信道的过程仅仅是矩阵乘,而SOS类方法需要计算正(余)弦函数。从和的表达式可以看出,基于相关矩阵的信道仿真方法适用于较小时。如3.1节中的例子,仿真需要的最小的信道序列长度为N=2,相对更精确的仿真所需信道序列长度取决于具体系统设计和最大多普勒频移。
下面使用在Matlab软件的运行时间作为评估复杂度的另一个指标。在仿真结果图中,()表示基于相关矩阵的信道实现方法,且使用Cholesky(矩阵平方根)分解实现(10);表示基于SOS的信道实现方法,对于每个随机样本,一次产生长度为N的信道序列。
从图3可以看出,两种时变信道实现方法的运行时间均与W成线性关系。不同矩阵分解的差别不大,运行时间基本一样。信道序列长度N对运行时间影响不大,N=11和31时运行时间并未呈现3倍的关系。同样的,N对基于SOS的实现方法的运行时间影响不大。基于SOS的方法的运行时间大约相当于基于相关矩阵的方法的20倍。
根据以上两个指标可以得出结论:使用基于相关矩阵的时变信道实现方法,相比于传统SOS的方法,计算复杂度更低,实现更为简单,尤其是在块衰落信道的仿真中(表1)。
4 结论
本文提出了使用基于相关矩阵的方法实现信道的时间相关性的方法,可以应用于时变SISO和MIMO信道的仿真实现中。基于相关矩阵的时变信道实现方法,可以保证精确的实现标准Rayleigh分布和各种时间相关函数,实现简单,复杂度低,利于理论分析,是无线通信系统仿真评估,尤其是单点技术初步评估的有效工具。
参考文献
[1] R. H. Clarke,A statistical theory of mobile-radio reception [J].Bell System Technical Journal,1968.
[2] William C.Jakes,Microwave Mobile Communications [M]. New York:IEEE Press, 1974.
[3] M.F.Pop,N.C.Beaulieu,Limitations of sum-of-sinusoids fading channel simulators [J].IEEE Trans.on Comm.,2001.
注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
关键词:信道模型 仿真方法 相关矩阵 实现复杂度
中图分类号:TN92 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)02(a)-0036-03
引言
Rayleigh信道的仿真实现是无线通信技术仿真的基础之一。信道仿真一般有两个目标:其一,准确反映现实传播环境;其二,可接受的仿真复杂度。这两个目标存在矛盾,信道仿真一般在两个目标之间取得折中。衰落信道仿真需表现出各种相关特征。首先,由于移动台的运动或传播环境的运动,信道表现出时变特征,即信道具有时间相关性。其次,由于不同散射体造成的传播时延不同,即多径效应,信道表现出频率選择特征,即信道具有频率相关性。再次,由于多天线技术的引入,信道表现出空间相关性。信道的频率相关特征一般使用抽头延时线模型或分簇延时线模型实现,且与其他两种相关性的实现独立。
信道的时间相关性的实现一般可以分为两类方法:
1)正弦波叠加法(SOS)[1][2][3]。此类方法应用较为广泛,具体形式表现为使用多个正弦波函数的和产生信道。
2)成形滤波器法[4]。根据滤波器实现可分为时域滤波器法和频域滤波器法,其思路是将加性白高斯噪声(AWGN)序列经过滤波器,通过设计滤波器的冲激响应,使输出序列满足预设频谱。
信道的空间相关性实现也可以分为两类方法[5]:
1)基于空间相关矩阵的方法。此类方法出现较早,相对较为简单,也更有利于理论分析。
2)基于子径叠加的方法。此类方法被3GPP采纳作为LTE系统评估的系统级信道仿真方法[6]。此方法同时表现了信道的时间和空间相关特征,两者不能相互分离。
这两种方法并不存在等效关系。基于子径叠加的方法较为接近现实无线传播环境,但参数众多,实现复杂度较大,且不利于理论分析。
综上所述,时变空间相关信道实现一般有三类方法,各有适用场景和优缺点。本文致力于提出第四类方法,将基于相关矩阵的思路引入时变单入单出(SISO)信道的仿真实现中,并将其推广用于时变多入多出(MIMO)信道的实现。
1 时变SISO信道仿真方法
1.1 改进Jakes模型回顾
基于正弦波叠加的信道仿真源于文献[1]中提出的模型,此后最重要的是文献[2]中提出的Jakes模型,为SOS仿真方法的工程实现奠定了基础。以下回顾的是文献[3]中的改进Jakes模型。信道的表达式为:
(1)
其中
(2)
(3)
(4)
(5)
服从内的独立均匀分布,是最大多普勒角频率。从(1)～(5)可以看出,信道的实虚部各由M+1个正弦波叠加而成。在后文中M=8。
以经典多普勒谱为目标,理想的信道实现应满足:
1)广义平稳;2)各态历经;3)均值为0,包络满足标准Rayleigh分布,相位满足均匀分布;4)同相和正交分量的自相关函数满足0阶一类Bessel函数:
(6)
互相关函数为0:
(7)
当信道的功率谱不是经典多普勒谱时,第4个条件的函数形式有所区别。上述4个条件是理想化的标准,实际上第2和第4条是相互矛盾,无法同时满足的。
1.2 基于相关矩阵的时变SISO信道仿真实现
基于相关矩阵的方法在空间相关信道的实现中使用广泛[5][7],类似的思路可以应用于时间相关信道的仿真实现中。假设产生信道的采样均匀,采样间隔为。信道实现的总长度为N个采样点,即时间长度为(当信道采样间隔非均匀时同样可以使用)。产生的时变信道是的行矢量。
基于相关矩阵的时变SISO信道仿真可分为两个步骤:
1)产生时间相关矩阵。定义时间相关矩阵:
(8)
其中表示数学期望,、、分别表示矩阵的转置、共轭和共轭转置。根据(6)和(7)的要求:
(9)
其中表示矩阵的第j行第k列的元素。
2)基于时间相关矩阵,实现时变SISO信道。分解相关矩阵:
(10)
(11)
其中是独立同分布复高斯行矢量。在基于相关矩阵的空间相关信道实现中,如(10)所示相关矩阵的分解,一般使用Cholesky分解,也可使用矩阵平方根分解实现。
2 时变MIMO信道仿真方法
上一节中的方法可以拓展至MIMO系统中,使用基于空时相关矩阵的方法实现时变空间相关MIMO信道。定义MIMO系统中的发射天线数为,接收天线数为,每个时刻信道为行列矩阵。定义空间相关矩阵:
(12)
其中表示将矩阵按列重排为列矢量。采用二维矩阵表示时变MIMO信道:
(13)
定义时间相关矩阵为
(14)
其中表示的第j行。根据空间和时间相关矩阵可以构造总相关矩阵:
(15)
其中表示Kronecker张量积运算。与上节类似,信道的仿真实现分为两步:
1)产生相关矩阵。时间相关矩阵的产生参照(9)。一般是预先定义好的,或根据到达(离开)角分布和天线间距等参数进行计算。由于为共轭对称阵,是实对称矩阵,因此为共轭对称阵。
2)基于空时相关矩阵,实现时变空间相关MIMO信道。使用(10)进行分解,然后产生信道:
(16)
其中是与同等大小的独立同分布信道矩阵。
3 仿真比较和复杂度分析
3.1 仿真效果比较
使用仿真实例对比1.1节和1.2节中的两种信道实现方法:反馈时延对自适应编码调制(AMC)技术的吞吐量的影响。接收端对接收信噪比进行估计后反馈回发射端,发射端根据反馈信噪比选择适合的编码调制方式。由于信息反馈存在时延(),用于选择调制编码方式(MCS)的信道状态信息与即将经历的信道相比有误差。因此,仿真结果与信道的二阶特征有很大关系。仿真中AMC技术使用的MCS有8种,编码块长度为150个符号,信道编码器和速率匹配参考文献[8],其在AWGN信道下的性能如图1所示。
最大多普勒频移为,观察反馈时延对吞吐量的影响。在使用1.1节中回顾的SOS法进行仿真时,需要分别产生时刻和时刻的信道。若使用基于时间相关矩阵的方法产生信道进行仿真时,信道序列的长度为N=2,时间相关矩阵为
(17)
每次产生前后两个信道,第一个用于选择MCS,选定后经过第二个信道,计算有效接收吞吐量,并进行统计平均。图2(a)是时延对应的相关系数,图2(b)是使用两种信道产生方法进行仿真的结果。两种信道实现方法的结果基本一致。在时延为0时,两种方法的吞吐量略有区别,是因为基于SOS方法产生信道的分布与标准Rayleigh分布略有区别,拖尾部分略大。如果以标准Rayleigh分布和0阶一类Bessel函数为逼近目标,基于相关矩阵的方法的准确性是最高的。SOS方法实现复杂度高,且一阶和二阶特性不够完美。
3.2 复杂度分析
使用两种指标对信道仿真实现方法的复杂度进行评估:浮点运算次数和运行时间。信道实现方法的复杂度一般由两部分组成:初始化部分和循环部分。初始化部分一般在仿真中仅执行一次,而循环部分的执行次数取决于仿真所需随机样本数量,定义为W。循环部分的运算次数是W的线性函数。在每个随机样本中,需要产生长度为N的信道序列,则产生每个随机样本需要的运算量与N基本成线性关系。因此,在仿真中,信道实现占据的复杂度可以表示为:
(18)
其中表示初始化部分的计算复杂度,表示每个随机样本的每个信道抽样实现所需计算复杂度。
SOS类方法的初始化部分复杂度与N和W无关,基本可以忽略。基本由实虚部各M+1次正弦函数求和构成,根据(1)可得如表1所示的复杂度构成。表中“”表示实数乘法次数,“”表示实数加法次数,“”表示正(余)弦函数执行次数。1.2节中提出的基于相关矩阵的信道实现方法,其初始化部分需要执行相关矩阵的平方根分解,复杂度不能被随意忽略,且与信道序列长度N有关。使用Matlab 5.3对矩阵平方根或Cholesky分解的复杂度进行统计,其浮点运算次数可以表示为N的函数:
(19)
(20)
矩阵平方根分解和Cholesky分解的复杂度均与矩阵维度的3次方成正比。由于与无关,因此基于相关矩阵的实现方法的复杂度与初始化部分的关系同样不大。循环部分的复杂度如表1。在初始化完成之后,基于相关矩阵的方法非常简单,产生信道的过程仅仅是矩阵乘,而SOS类方法需要计算正(余)弦函数。从和的表达式可以看出,基于相关矩阵的信道仿真方法适用于较小时。如3.1节中的例子,仿真需要的最小的信道序列长度为N=2,相对更精确的仿真所需信道序列长度取决于具体系统设计和最大多普勒频移。
下面使用在Matlab软件的运行时间作为评估复杂度的另一个指标。在仿真结果图中,()表示基于相关矩阵的信道实现方法,且使用Cholesky(矩阵平方根)分解实现(10);表示基于SOS的信道实现方法,对于每个随机样本,一次产生长度为N的信道序列。
从图3可以看出,两种时变信道实现方法的运行时间均与W成线性关系。不同矩阵分解的差别不大,运行时间基本一样。信道序列长度N对运行时间影响不大,N=11和31时运行时间并未呈现3倍的关系。同样的,N对基于SOS的实现方法的运行时间影响不大。基于SOS的方法的运行时间大约相当于基于相关矩阵的方法的20倍。
根据以上两个指标可以得出结论:使用基于相关矩阵的时变信道实现方法,相比于传统SOS的方法,计算复杂度更低,实现更为简单,尤其是在块衰落信道的仿真中(表1)。
4 结论
本文提出了使用基于相关矩阵的方法实现信道的时间相关性的方法,可以应用于时变SISO和MIMO信道的仿真实现中。基于相关矩阵的时变信道实现方法,可以保证精确的实现标准Rayleigh分布和各种时间相关函数,实现简单,复杂度低,利于理论分析,是无线通信系统仿真评估,尤其是单点技术初步评估的有效工具。
参考文献
[1] R. H. Clarke,A statistical theory of mobile-radio reception [J].Bell System Technical Journal,1968.
[2] William C.Jakes,Microwave Mobile Communications [M]. New York:IEEE Press, 1974.
[3] M.F.Pop,N.C.Beaulieu,Limitations of sum-of-sinusoids fading channel simulators [J].IEEE Trans.on Comm.,2001.
注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文