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[摘要]模糊数学，伴随着社会科学的发展，在人们日常生活中的应用越来越普遍，应用模糊数学理论来解决生活中的一些实际问题显得尤其重要。本文首先介绍了模糊数学广义上的理解，其次与实际生活相联系，最后将模糊数学提升到哲学的高度，表现了其对人类智慧的突出意义。
[关键词]模糊数学 精确数学 模糊性 智慧
数学，作为一门古老而又普遍的学科，一直以来都精确并且严密的存在着，同时又被广泛的应用着。但随着科学的不断发展进步，传统精确性的数学已经不能满足生活的需要，模糊数学便应运而生，并且一出现就显示出了强大的生命力，在各种学科均可得到不同程度的应用。事实上，将数学与做人联系起来，才能够完整的展示其内在的本质，独特的魅力。
提到普通意义上的精确数学，大家自然并不陌生，它正是以准确严密的形象出现在人们脑海中的。但是什么是模糊数学呢？数学变得模糊是不是本身就是一种矛盾呢？人们脑子里肯定会浮现这样的疑问。在这里，笔者要向大家澄清，这里的模糊并不是生活中略带贬义的模糊，而是数学的进一步发展，模糊正是为了更好的清晰严谨，洞察问题的实质。
模糊数学由美国控制论专家L.A.扎德（L.A.Zadeh）教授所创立。他于1965年发表了题为《模糊集合论》（《FuzzySets》）的论文，从而宣告模糊数学的诞生。若要给它下一个明确的定义，那么模糊数学是研究和处理模糊现象的一种数学理论和方法。
如果按照大众化的意义来理解模糊，那么他就成了传统精确数学的对立，然而我们所讲的模糊数学是传统数学的突破。传统的数学并没有放弃他的严格性去迁就模糊性，而是把数学的方法打到模糊现象的禁区，形成一种更加灵活的理论体系。客观世界呈现在人们面前的不仅仅是确定的现象，还是一幅各种现象相互影响、相互作用形成的错综复杂的图景，其中有许多不确定性。正如L.A.查德所说，“当系统的复杂性日益增长时，我们作出的系统特性的精确而又有意义的描述能力将相应降低，直到达到这样一个阈值，一旦超过它，精确性与有意义性变成了两个几乎相互排斥的特性。”这样模糊数学作为时代的产物自然而然的呈现在了人们面前。
在大多数情况下，模糊数学可以看成是一种更加精确的数学，它使得一些模糊性变得数量化了。在我们身边就有许多模糊现象，没有分明的数量界限，要使用一些模糊的词句来形容、描述。比如，年轻、年老、高个、近、远、美、丑等等，这些概念是不可以简单地用是、非或数字来表示的，多大年纪才算是年老，什么样的距离才算是远等并没有确切的数字表示。在医疗诊断过程中，无论是病人的口述，医生的观察与检查，对病因的探讨以及诊断确定，都会有一定程度的模糊性。因此，模糊数学并没有让数学变得模模糊糊，而是让数学走进生活中模糊现象的圈子，将复杂的生活现象用数学来解决，深入了解生活的本质，做生活中的智者，清晰地分析事物之间的联系。
那么模糊数学是如何来解决譬如年轻、年老这样的模糊问题呢？首先引入了隶属函数，用它来表示模糊集合的特征函数。比如，令“老年人”这个模糊集合的隶属函数为
式中的x表示年龄，则可以计算得到：
这表示55岁只属于半老，因为它属于“老年人”这个模糊集合的程度只有0.5。
而70岁属于“老年人”这个模糊集合的程度就有0.94。
由此可见，模糊数学建立的并不是“非此即彼”的模型，而是在解决生活中“亦此亦彼”的现象。这样使对立双方互为中介，才能够正确的把握客观事物变化发展的数量特征。
清晰地记得小时候受到的教育：学好数学，头脑才会变得聪明。直到现在，数学科班的人们也会令人有望而生畏的感觉，数学与智慧总是息息相关的。但大家都认为数学是一系列准确的数字以及抽象的图形集合。学会用数字进行基本运算，不仅能够去打酱油了，还能解决生活中商品买卖、货品交换等一些最有实际价值的问题，所以大多数人认为数学的学习靠近生活，会算术是一个人聪明的象征。不过由于涉及了大量精确的数字以及运算，数学的学习不免过于死板枯燥，也就是所谓的趣味性太差。每天人们都用语言文字进行交流，表达情感，涉及到文学的东西就显得如此具有亲和力。殊不知我们语言沟通的同时，模糊数学的思想也于无形中发挥着巨大的作用，比如谈论到关于年轻女孩都比较敏感的胖瘦问题时，没有明确的数字表示多少公斤算作胖人，也就是胖瘦之间没有具体的数字来划清界限，那我们所谓的胖就是一种模糊的表达。形成这样模糊的思维意识，我们在做事情时就不自觉的多了几分变通，少了些许死板，模糊数学对生活起到的作用也是潜移默化的。如此看来，模糊数学概念的提出，不仅丰富了数学的理论知识，还增加了数学的趣味性，融入生活后人们看问题办事情也会提升到一定的高度。
以前总有一种说法：哲学是世上最高深的学问，其次是数学，然后才可以考虑其他学科。但是模糊数学的引入，从根本上动摇了这种说法，因为模糊数学本身便是一种高深的哲学，除了精确严密之外，它还引入了一种变通，一种思维的升华。如果说哲学以其辩证法的思想灵活的展现在众人面前，那么现在模糊数学的产生就是为辩证法提供了新鲜的血液。模糊数学理论体现了辩证法中的事物间联系发展的观点，阐明了质量互变规律和对立统一规律。由于模糊数学研究了事物之间的过渡性质，从而加深了因果性联系的认识。比如说当医生分析患者的病因时，会列举出一系列待观察因素，分析哪些因素致病几率大些，哪些致病几率小些，并不是简单的断定两者有无因果关系，如此便反应了哲学中的确定性和不确定性范畴。模糊数学削弱了某些概念的固定性，显示了概念应有的流动性，具有明显的辩证性质。如果处处讲究精确清晰，只承认非此即彼，不承认亦此亦彼，显然是陷入了形而上学的泥潭。如此看来，模糊数学在反映哲学辩证唯物主义的同时亦进一步拓展了哲学的宽度。
生活中绝大多数概念，并不是确切的概念，那么就不能对某个事物是否属于它作出完全肯定的回答，在属于和不属于之间，就容许中间状态的存在，这就是模糊数学思想影响的反映。深入思考一番，这种逻辑方式在做人方面也值得借鉴。好多事情我们根本就没有必要必须具体化，刨根问底，了解事物的本质就可以了，难得模糊嘛！这样说并不是一种不求甚解的思想，而是适当的变通，有时硬往南墙上撞会使得本来简单的事情变得复杂，适当变换一下思路，会起到扭转乾坤的作用，正所谓“变则通，通则广”。 不仅生活中的事物具有模糊性，人的主观认识有时也具有一定的模糊性。由于接收外部信息时，靠的是我们的感觉器官直接接收，这样不经过仪器测量的认识便具有一定的模糊性，同时我们考查事物并不是孤立、静止的，大脑会主动分析并且加工联系发展的事物的性质状态，这样得到的认识就不可避免的出现一定的模糊性。当我们对事物认识层次越深时，就会越模糊，适当应用模糊数学的思维原理，做生活的驾驭者便显得水到渠成了。
大千世界，无奇不有。我们每天都会面对各种各样的生活问题，如何去应对与解决，不同的人之间也是有差异的。有人说“大事化小，小事化了”是一种智者的心态。但是如何“化小”“化了”呢？模糊数学的思维方法清晰地告诉我们首先要找到事物之间的关联程度，然后依据这种关联性最大限度去削减复杂的事物。如此找到事物自身存在的精髓，也就是大家通常所说的看到了事物的本质，这样解决起来便会有的放矢，不会像无头苍蝇乱撞般的浪费精力了。我们讲的学好模糊数学，便会做生活的智者，这里的智不是简单的聪明智慧，而是一种思维高度的提升，一种心态的成熟，一种境界的升华。模糊思维习惯的形成，让我们不再像幼儿般钻牛角尖，与他人就无意义的话题一比高低。培养起模糊的思维意识，也让我们去动态联系的看待周围世界，每个个体在社会中并不是孤立的，这样一种令人温暖的亲切感便油然而升。同时模糊思维习惯也会让我们偶遇生活难题时处变不惊，迅速认清问题的症结所在，解决起来游刃有余，做生活的主宰者。所以当模糊数学潜移默化的深入到我们的大脑时，智慧的种子便也不知不觉的埋在了心底。
模糊数学作为时代的产儿一出现便显示出了强大地生命力，能很好的处理各种模糊问题。对人类生活更是无限启发，发挥着巨大的作用。人脑能在较高的准确性下有效地处理复杂问题，如果计算机使用模糊数学，模拟人脑思维方式，便能大大提高模式识别能力。在工业控制领域中，应用模糊数学，可使洗衣机节电、节水、提高效率。在现代社会管理的大系统中，运用模糊数学的方法，能快速形成更加有效的决策。同时模糊数学的触角还深入到了医学、气象、工程力学、地质、农业、环境、心理、教育等众多领域，应用前景非常广阔。
模糊数学的诞生，标志着数学的一次本质性解放，它冲破传统精确数学的束缚，将不确定性的关联程度引入数学，使数学成为一个既精确又灵活的充满生机的学科。同时表现了人类思想上的飞跃，更是人类智慧光芒的绽放。所以模糊数学的思想值得我们在整个社会中做一个普遍性的推广，使其深入人心，更好的去为人类思维的革新服务，为更高一层的生活质量指明方向。
（作者单位：河北师范大学数学与信息科学学院 河北省石家庄市）
[关键词]模糊数学 精确数学 模糊性 智慧
数学，作为一门古老而又普遍的学科，一直以来都精确并且严密的存在着，同时又被广泛的应用着。但随着科学的不断发展进步，传统精确性的数学已经不能满足生活的需要，模糊数学便应运而生，并且一出现就显示出了强大的生命力，在各种学科均可得到不同程度的应用。事实上，将数学与做人联系起来，才能够完整的展示其内在的本质，独特的魅力。
提到普通意义上的精确数学，大家自然并不陌生，它正是以准确严密的形象出现在人们脑海中的。但是什么是模糊数学呢？数学变得模糊是不是本身就是一种矛盾呢？人们脑子里肯定会浮现这样的疑问。在这里，笔者要向大家澄清，这里的模糊并不是生活中略带贬义的模糊，而是数学的进一步发展，模糊正是为了更好的清晰严谨，洞察问题的实质。
模糊数学由美国控制论专家L.A.扎德（L.A.Zadeh）教授所创立。他于1965年发表了题为《模糊集合论》（《FuzzySets》）的论文，从而宣告模糊数学的诞生。若要给它下一个明确的定义，那么模糊数学是研究和处理模糊现象的一种数学理论和方法。
如果按照大众化的意义来理解模糊，那么他就成了传统精确数学的对立，然而我们所讲的模糊数学是传统数学的突破。传统的数学并没有放弃他的严格性去迁就模糊性，而是把数学的方法打到模糊现象的禁区，形成一种更加灵活的理论体系。客观世界呈现在人们面前的不仅仅是确定的现象，还是一幅各种现象相互影响、相互作用形成的错综复杂的图景，其中有许多不确定性。正如L.A.查德所说，“当系统的复杂性日益增长时，我们作出的系统特性的精确而又有意义的描述能力将相应降低，直到达到这样一个阈值，一旦超过它，精确性与有意义性变成了两个几乎相互排斥的特性。”这样模糊数学作为时代的产物自然而然的呈现在了人们面前。
在大多数情况下，模糊数学可以看成是一种更加精确的数学，它使得一些模糊性变得数量化了。在我们身边就有许多模糊现象，没有分明的数量界限，要使用一些模糊的词句来形容、描述。比如，年轻、年老、高个、近、远、美、丑等等，这些概念是不可以简单地用是、非或数字来表示的，多大年纪才算是年老，什么样的距离才算是远等并没有确切的数字表示。在医疗诊断过程中，无论是病人的口述，医生的观察与检查，对病因的探讨以及诊断确定，都会有一定程度的模糊性。因此，模糊数学并没有让数学变得模模糊糊，而是让数学走进生活中模糊现象的圈子，将复杂的生活现象用数学来解决，深入了解生活的本质，做生活中的智者，清晰地分析事物之间的联系。
那么模糊数学是如何来解决譬如年轻、年老这样的模糊问题呢？首先引入了隶属函数，用它来表示模糊集合的特征函数。比如，令“老年人”这个模糊集合的隶属函数为
式中的x表示年龄，则可以计算得到：
这表示55岁只属于半老，因为它属于“老年人”这个模糊集合的程度只有0.5。
而70岁属于“老年人”这个模糊集合的程度就有0.94。
由此可见，模糊数学建立的并不是“非此即彼”的模型，而是在解决生活中“亦此亦彼”的现象。这样使对立双方互为中介，才能够正确的把握客观事物变化发展的数量特征。
清晰地记得小时候受到的教育：学好数学，头脑才会变得聪明。直到现在，数学科班的人们也会令人有望而生畏的感觉，数学与智慧总是息息相关的。但大家都认为数学是一系列准确的数字以及抽象的图形集合。学会用数字进行基本运算，不仅能够去打酱油了，还能解决生活中商品买卖、货品交换等一些最有实际价值的问题，所以大多数人认为数学的学习靠近生活，会算术是一个人聪明的象征。不过由于涉及了大量精确的数字以及运算，数学的学习不免过于死板枯燥，也就是所谓的趣味性太差。每天人们都用语言文字进行交流，表达情感，涉及到文学的东西就显得如此具有亲和力。殊不知我们语言沟通的同时，模糊数学的思想也于无形中发挥着巨大的作用，比如谈论到关于年轻女孩都比较敏感的胖瘦问题时，没有明确的数字表示多少公斤算作胖人，也就是胖瘦之间没有具体的数字来划清界限，那我们所谓的胖就是一种模糊的表达。形成这样模糊的思维意识，我们在做事情时就不自觉的多了几分变通，少了些许死板，模糊数学对生活起到的作用也是潜移默化的。如此看来，模糊数学概念的提出，不仅丰富了数学的理论知识，还增加了数学的趣味性，融入生活后人们看问题办事情也会提升到一定的高度。
以前总有一种说法：哲学是世上最高深的学问，其次是数学，然后才可以考虑其他学科。但是模糊数学的引入，从根本上动摇了这种说法，因为模糊数学本身便是一种高深的哲学，除了精确严密之外，它还引入了一种变通，一种思维的升华。如果说哲学以其辩证法的思想灵活的展现在众人面前，那么现在模糊数学的产生就是为辩证法提供了新鲜的血液。模糊数学理论体现了辩证法中的事物间联系发展的观点，阐明了质量互变规律和对立统一规律。由于模糊数学研究了事物之间的过渡性质，从而加深了因果性联系的认识。比如说当医生分析患者的病因时，会列举出一系列待观察因素，分析哪些因素致病几率大些，哪些致病几率小些，并不是简单的断定两者有无因果关系，如此便反应了哲学中的确定性和不确定性范畴。模糊数学削弱了某些概念的固定性，显示了概念应有的流动性，具有明显的辩证性质。如果处处讲究精确清晰，只承认非此即彼，不承认亦此亦彼，显然是陷入了形而上学的泥潭。如此看来，模糊数学在反映哲学辩证唯物主义的同时亦进一步拓展了哲学的宽度。
生活中绝大多数概念，并不是确切的概念，那么就不能对某个事物是否属于它作出完全肯定的回答，在属于和不属于之间，就容许中间状态的存在，这就是模糊数学思想影响的反映。深入思考一番，这种逻辑方式在做人方面也值得借鉴。好多事情我们根本就没有必要必须具体化，刨根问底，了解事物的本质就可以了，难得模糊嘛！这样说并不是一种不求甚解的思想，而是适当的变通，有时硬往南墙上撞会使得本来简单的事情变得复杂，适当变换一下思路，会起到扭转乾坤的作用，正所谓“变则通，通则广”。 不仅生活中的事物具有模糊性，人的主观认识有时也具有一定的模糊性。由于接收外部信息时，靠的是我们的感觉器官直接接收，这样不经过仪器测量的认识便具有一定的模糊性，同时我们考查事物并不是孤立、静止的，大脑会主动分析并且加工联系发展的事物的性质状态，这样得到的认识就不可避免的出现一定的模糊性。当我们对事物认识层次越深时，就会越模糊，适当应用模糊数学的思维原理，做生活的驾驭者便显得水到渠成了。
大千世界，无奇不有。我们每天都会面对各种各样的生活问题，如何去应对与解决，不同的人之间也是有差异的。有人说“大事化小，小事化了”是一种智者的心态。但是如何“化小”“化了”呢？模糊数学的思维方法清晰地告诉我们首先要找到事物之间的关联程度，然后依据这种关联性最大限度去削减复杂的事物。如此找到事物自身存在的精髓，也就是大家通常所说的看到了事物的本质，这样解决起来便会有的放矢，不会像无头苍蝇乱撞般的浪费精力了。我们讲的学好模糊数学，便会做生活的智者，这里的智不是简单的聪明智慧，而是一种思维高度的提升，一种心态的成熟，一种境界的升华。模糊思维习惯的形成，让我们不再像幼儿般钻牛角尖，与他人就无意义的话题一比高低。培养起模糊的思维意识，也让我们去动态联系的看待周围世界，每个个体在社会中并不是孤立的，这样一种令人温暖的亲切感便油然而升。同时模糊思维习惯也会让我们偶遇生活难题时处变不惊，迅速认清问题的症结所在，解决起来游刃有余，做生活的主宰者。所以当模糊数学潜移默化的深入到我们的大脑时，智慧的种子便也不知不觉的埋在了心底。
模糊数学作为时代的产儿一出现便显示出了强大地生命力，能很好的处理各种模糊问题。对人类生活更是无限启发，发挥着巨大的作用。人脑能在较高的准确性下有效地处理复杂问题，如果计算机使用模糊数学，模拟人脑思维方式，便能大大提高模式识别能力。在工业控制领域中，应用模糊数学，可使洗衣机节电、节水、提高效率。在现代社会管理的大系统中，运用模糊数学的方法，能快速形成更加有效的决策。同时模糊数学的触角还深入到了医学、气象、工程力学、地质、农业、环境、心理、教育等众多领域，应用前景非常广阔。
模糊数学的诞生，标志着数学的一次本质性解放，它冲破传统精确数学的束缚，将不确定性的关联程度引入数学，使数学成为一个既精确又灵活的充满生机的学科。同时表现了人类思想上的飞跃，更是人类智慧光芒的绽放。所以模糊数学的思想值得我们在整个社会中做一个普遍性的推广，使其深入人心，更好的去为人类思维的革新服务，为更高一层的生活质量指明方向。
（作者单位：河北师范大学数学与信息科学学院 河北省石家庄市）