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恰当的运用启发式教学，精讲多练，引导学生不断地向新的领域探索，在传授知识同时注重培养能力，是提高数学教学质量行之有效的方法。本文以讲授“三角函数的周期性”这堂课为例，谈谈这方面的体会。
一、教师精讲，是充分挖掘四十五分钟的潜力，提高质量，培养能力，发展智力的前提条件
精讲不等于少讲，但精讲不能不少讲。总结这些年来在数学教学中的一些体会，我认为，精讲主要有三个方面的要求：
1.引入新课，要精心设计，精辟分析，符合教学规律
在讲这个内容时，不能一下子端出周期函数及最小正周期的定义。可以这样设计一个练习题让学生分析思考：“对于函数y=sinx：（1）用描点法做出函数y=sinx在上的图像；（2）怎样由这一部分图像得到y=sinx在整个定义域R上的图像？”
从诱导公式和图形直观两条渠道，使学生明确了周期函数定义的内涵，启发学生用自己的语言说出周期函数的一般定义，老师再给以整理提高，因势利导地接受了周期函数的概念。与此同时也培养了学生的观察能力、分析能力、理解能力和抽象思维能力。
2.整堂课要周密构思，妥善安排，前后照应，由浅入深地讲解
这堂课在给出周期函数的定义后，老师不是紧接着讲最小正周期的概念，而是要求学生证明一个结论：“正弦函数y=sinx，是以为周期的周期函数，其中且”，使学生清醒地认识到正弦函數的周期性可以是…这之中，有没有一个最小的呢？多数学生可以不假思索地回答：“有，是”，这时，教师指出究竟是不是正周期中最小的，还有待证明。如果一个周期函数的所有正周期中有一个最小的，那么，我们就把它叫做这个周期函数的最小正周期。这样，培养了学生对数学对象进行观察、探究、猜想的能力，水到渠成地给出了最小正周期的定义，使学生懂得：思考必须严密，对猜想必须加以推理论证才能断定其正确性。将前面提出的定理扩充为：“正弦函数y=sinx是以为周期的周期函数（且），其最小正周期为”要求学生给出证明。证明最小正周期是，无疑是对学生推理论证能力的一次考验，多数学生感到无从下手。这时，教师可向学生提示：当我们正面证明一个数学命题不太容易时，往往动用“反证法”，启发学生的逆向思维，引导学生用反证法给出证明。这样不仅复习了反证法，加深了对周期函数的概念的理解，而且发展了学生的逻辑推理能力。至此，这节课的基本理论的教学即告完成。为了巩固和发展这些成果，教师又启发学生，提出了关于余弦、正切函数的周期性的命题并指出是可以同理可证的，以培养学生触类旁通，举一反三的能力。有了上述理论基础，学生判断三角函数的周期就不困难了。这时教师可以让学生阅读课本，明确解题步骤和书写格式，然后归纳出“函数及的周期是，的周期是”一般结论。
3.教师的教学语言要简练、确切、合乎逻辑，并力求生动、形象，有感染力
在讲周期函数及最小正周期的定义时，可设计这样一个例子：每周的星期几是时间的周期函数---每隔七天（一周）时间才能重复出现，星期几是以七天为最小正周期的周期函数。这里周期有“周而复始”的意思。这个例子虽然简单，但给学生举了一个周期函数的现实模型，把抽象的数学概念具体化了，学生听后会发出会心的笑声。
二、在精讲的基础上，认真加强课堂练习，把传授知识与培养能力有机的结合起来，使其互相促进，相得益彰
1.明确课堂练习的目的，重视课堂练习的作用
教师应把课堂练习作为课堂教学的一个重要组成部分，尽量提供机会让学生在课堂上进行多种形式的练习，力求通过练习，当堂消化知识，初步学会运用，为课后练习打好基础。
2.课堂练习必须有的放矢，周密布局，为全面完成一堂课的教学任务服务
这堂课主要设计了以下7个类型的练习：
（1）引入性练习---如前面所述之引入例题，为导入新课服务，起承前启后的作用。
（2）探究性练习---由诱导公式和图形直观得出周期函数的定义后引导学生探索、研究y=sinx的周期和最小正周期。
（3）复习性练习---复习反证法的思想脉络和推理过程，然后运用于证明y=sinx的最小正周期定理。
（4）开拓性练习---由此及彼，举一反三，让学生由y=sinx的周期性去联想y=cosx的周期性，进而思考y=tanx的周期性。
（5）巩固性练习---师生共同给出了的周期性定理后，让学生独立证明y=cosx的类似定理。
（6）辨别性练习---通过对教材练习题的讨论，使学生辨别正误，加深对基础概念的理解。
（7）运用性练习---使学生会运用所学的知识解决实际问题，如等函数的周期。
上述7种不同类型的练习题，虽然目的各有侧重，但都是围绕“感知--理解--巩固--运用”三角函数的周期性这一总的目的的一个重要手段和课堂教学的一个有机组成部分。通过这些，发展了学生观察、辨别、分析、归纳、探究、猜想、逻辑思维、语言表述等方面的能力。
3.课堂练习必须形式多样，灵活运用，讲练结合
练习是学生最主要的学习实践，课堂练习的时间是有限制的，要想多练就必须巧练，也就是说练习的形式不能千篇一律，应因题而宜，灵活多样。这堂课采用的练习方式有口答、笔答、讨论质疑、阅读课本等等，使学生手脑并用，从而形成了紧张不呆滞，热烈而又井然有序的气氛。
回顾这一节课的教学，我觉得教学过程对学生来说，实际上是一个科学探索的过程，也就是以原有知识为基础去发现、探索、开拓新的知识领域并发展能力的过程。在教学过程中，教师的主导作用是十分重要的，但主导作用不是向学生灌输新知识的条条款款，而是使学生掌握探索的武器，指明探索的方向，知道探索的方法和养成探索的习惯。这样，就能使学生的学习始终处于向未知境界探索的状态之中，从而激发学生学习的主动性、积极性，并在学习过程中培养不畏艰难的精神和多方面的能力。
实践使我认识到，每节课的45分钟还是大有潜力可挖的，要提高45分钟的教学效果和效率，关键在于吃透两头（教材和学生），讲究教学方法，重视教学语言，做到心中有书，目中有人，手中有法，力求一语中的，弹无虚发。
一、教师精讲，是充分挖掘四十五分钟的潜力，提高质量，培养能力，发展智力的前提条件
精讲不等于少讲，但精讲不能不少讲。总结这些年来在数学教学中的一些体会，我认为，精讲主要有三个方面的要求：
1.引入新课，要精心设计，精辟分析，符合教学规律
在讲这个内容时，不能一下子端出周期函数及最小正周期的定义。可以这样设计一个练习题让学生分析思考：“对于函数y=sinx：（1）用描点法做出函数y=sinx在上的图像；（2）怎样由这一部分图像得到y=sinx在整个定义域R上的图像？”
从诱导公式和图形直观两条渠道，使学生明确了周期函数定义的内涵，启发学生用自己的语言说出周期函数的一般定义，老师再给以整理提高，因势利导地接受了周期函数的概念。与此同时也培养了学生的观察能力、分析能力、理解能力和抽象思维能力。
2.整堂课要周密构思，妥善安排，前后照应，由浅入深地讲解
这堂课在给出周期函数的定义后，老师不是紧接着讲最小正周期的概念，而是要求学生证明一个结论：“正弦函数y=sinx，是以为周期的周期函数，其中且”，使学生清醒地认识到正弦函數的周期性可以是…这之中，有没有一个最小的呢？多数学生可以不假思索地回答：“有，是”，这时，教师指出究竟是不是正周期中最小的，还有待证明。如果一个周期函数的所有正周期中有一个最小的，那么，我们就把它叫做这个周期函数的最小正周期。这样，培养了学生对数学对象进行观察、探究、猜想的能力，水到渠成地给出了最小正周期的定义，使学生懂得：思考必须严密，对猜想必须加以推理论证才能断定其正确性。将前面提出的定理扩充为：“正弦函数y=sinx是以为周期的周期函数（且），其最小正周期为”要求学生给出证明。证明最小正周期是，无疑是对学生推理论证能力的一次考验，多数学生感到无从下手。这时，教师可向学生提示：当我们正面证明一个数学命题不太容易时，往往动用“反证法”，启发学生的逆向思维，引导学生用反证法给出证明。这样不仅复习了反证法，加深了对周期函数的概念的理解，而且发展了学生的逻辑推理能力。至此，这节课的基本理论的教学即告完成。为了巩固和发展这些成果，教师又启发学生，提出了关于余弦、正切函数的周期性的命题并指出是可以同理可证的，以培养学生触类旁通，举一反三的能力。有了上述理论基础，学生判断三角函数的周期就不困难了。这时教师可以让学生阅读课本，明确解题步骤和书写格式，然后归纳出“函数及的周期是，的周期是”一般结论。
3.教师的教学语言要简练、确切、合乎逻辑，并力求生动、形象，有感染力
在讲周期函数及最小正周期的定义时，可设计这样一个例子：每周的星期几是时间的周期函数---每隔七天（一周）时间才能重复出现，星期几是以七天为最小正周期的周期函数。这里周期有“周而复始”的意思。这个例子虽然简单，但给学生举了一个周期函数的现实模型，把抽象的数学概念具体化了，学生听后会发出会心的笑声。
二、在精讲的基础上，认真加强课堂练习，把传授知识与培养能力有机的结合起来，使其互相促进，相得益彰
1.明确课堂练习的目的，重视课堂练习的作用
教师应把课堂练习作为课堂教学的一个重要组成部分，尽量提供机会让学生在课堂上进行多种形式的练习，力求通过练习，当堂消化知识，初步学会运用，为课后练习打好基础。
2.课堂练习必须有的放矢，周密布局，为全面完成一堂课的教学任务服务
这堂课主要设计了以下7个类型的练习：
（1）引入性练习---如前面所述之引入例题，为导入新课服务，起承前启后的作用。
（2）探究性练习---由诱导公式和图形直观得出周期函数的定义后引导学生探索、研究y=sinx的周期和最小正周期。
（3）复习性练习---复习反证法的思想脉络和推理过程，然后运用于证明y=sinx的最小正周期定理。
（4）开拓性练习---由此及彼，举一反三，让学生由y=sinx的周期性去联想y=cosx的周期性，进而思考y=tanx的周期性。
（5）巩固性练习---师生共同给出了的周期性定理后，让学生独立证明y=cosx的类似定理。
（6）辨别性练习---通过对教材练习题的讨论，使学生辨别正误，加深对基础概念的理解。
（7）运用性练习---使学生会运用所学的知识解决实际问题，如等函数的周期。
上述7种不同类型的练习题，虽然目的各有侧重，但都是围绕“感知--理解--巩固--运用”三角函数的周期性这一总的目的的一个重要手段和课堂教学的一个有机组成部分。通过这些，发展了学生观察、辨别、分析、归纳、探究、猜想、逻辑思维、语言表述等方面的能力。
3.课堂练习必须形式多样，灵活运用，讲练结合
练习是学生最主要的学习实践，课堂练习的时间是有限制的，要想多练就必须巧练，也就是说练习的形式不能千篇一律，应因题而宜，灵活多样。这堂课采用的练习方式有口答、笔答、讨论质疑、阅读课本等等，使学生手脑并用，从而形成了紧张不呆滞，热烈而又井然有序的气氛。
回顾这一节课的教学，我觉得教学过程对学生来说，实际上是一个科学探索的过程，也就是以原有知识为基础去发现、探索、开拓新的知识领域并发展能力的过程。在教学过程中，教师的主导作用是十分重要的，但主导作用不是向学生灌输新知识的条条款款，而是使学生掌握探索的武器，指明探索的方向，知道探索的方法和养成探索的习惯。这样，就能使学生的学习始终处于向未知境界探索的状态之中，从而激发学生学习的主动性、积极性，并在学习过程中培养不畏艰难的精神和多方面的能力。
实践使我认识到，每节课的45分钟还是大有潜力可挖的，要提高45分钟的教学效果和效率，关键在于吃透两头（教材和学生），讲究教学方法，重视教学语言，做到心中有书，目中有人，手中有法，力求一语中的，弹无虚发。