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一、 数学填空题的特点
填空题，题目短小精干，考查目标集中明确，且不需过程, 没有备选答案可供选择，不设中间步骤分, 答案唯一正确.
中考中的填空题从题型看分为定量型填空题和定性型填空题，前者主要考查计算能力，同时也考查考生对题目中所涉及数学公式掌握的熟练程度，后者考查考生对数学概念、定理和性质等掌握的熟练程度.当然这两类填空题也是互相渗透的，只不过是考查有所侧重而已.
近几年中考中填空题的考查方式和内容不断创新.命题方式上，除了填空大题外，解答题中有时也有填空题；考查内容上，不仅考查纯数学计算和概念，而且还考查数学推理、数学应用、数学思想和方法等.这说明填空题的考查功能在不断拓宽.
二、 数学填空题的解答要求
解答填空题的基本要求是：准确、迅速、规范.准确是解答填空题的先决条件，填空题不需过程，不设中间分，因而容易失分，这就要求考生在解答填空题的过程中，做到仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，还要注意草稿清晰以备检验；迅速是获取高分的必要条件，要避免因超时影响后续答题现象的发生；规范是保住得分的充分条件，在网上阅卷时规范、整洁显得尤为重要，只有把正确的答案规范、整洁地书写在答题纸上才能有利阅卷教师正确评分.要做到这三点，在解答填空题时必须注意以下几点：① 填空题所填结果要完整，不可缺少一些限制条件；② 对于计算型填空题要运算到底，结果要规范；③ 填空题所填结论要符合初中数学课标要求.
下面就中考数学中的填空题加以分析，帮助同学们归纳填空题的解法.
三、 中考填空题的常见题型
题型1 概念型
许多填空题，往往涉及一些重要的数学概念、公理、定理、公式、性质或一些容易混淆的概念和性质.这就需要考生在审题时，应注意辨析有关概念的本质特性，从而保证所填答案的正确性.一般说来，这类题目运算量小，侧重判断.常用的方法有直接法、验证法等.
例1 （2011福建福州）在结束了380课时初中阶段数学内容的教学后,唐老师计划安排60课时用于总复习,根据数学内容所占课时比例,绘制如下统计图表(图1～图3),请根据图表提供的信息,回答下列问题：
（1） 图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角为 度；
（2） 图2中的a= ,图3中的b= .
图1
数与代数（内容） 课时数
数与式 67
方程（组）与
不等式（组） a
函数 44
图2
图3
解析 对第（1）问，要掌握这样一个公式：扇形的圆心角度数＝扇形的圆心角所占百分比×360°. 图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角所占百分比为1-45%-5%-40%＝10%，故图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角度为10%×360°＝36°；解决第（2）问要掌握这样两个性质：数与代数课时数＝数与代数的百分比×课时总数；方程(组) 与不等式(组)课时数＝A、B、C、D、E课时数的和.由于数与代数课时数＝45%×380＝171，故a=171-67-44＝60,b=60-18-13-12-3＝14.
评注 概念型试题对数学概念、公理、定理、公式、性质的要求较高，对于基础不扎实的同学来说，容易失分.如本例，有的考生不知道扇形的圆心角度数如何计算，不知道在扇形统计图中的百分比就是每部分占总体的百分比.为避免这类错误，同学们在复习中，要真正理解概念，弄清概念之间的联系与区别，达到熟练运用的程度而不出现概念错误.
题型2 计算型
这类填空题主要考查同学们对基本概念、法则、定理等的理解及运算.计算型填空题分为几何计算和代数计算两种，在计算的过程中，要讲究技巧与方法.其常用方法是直接法，即根据题干所给条件，直接经过计算、推理证明，得出正确答案.
例2 （2011黑龙江黑河）已知三角形相邻两边长分别为20 cm和30 cm，第三边上的高为10 cm，则此三角形的面积为 cm2.
图1
--!> 解析 本题需要分三种情况考虑三角形的形状：锐角三角形，钝角三角形，直角三角形.根据勾股定理求得第三边后，可排除直角三角形存在的可能.再分别求得此三角形为锐角三角形、钝角三角形时的面积.
解答过程略，答案为（1002+503）或（1002-503）cm2.
评注 本题考查了勾股定理和三角形面积的求法.解答时要注意避免一些不必要的错误，本例就是一道比较基础却很典型的分类讨论型计算题，关键是要区分三角形的形状.
题型3 应用型
解决这类试题时，同学们要在认真阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题转化为数学问题，建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，从而得出结论.
图4
例3 （2011湖北武汉）一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻起只打开进水管进水，经过一段时间，再打开出水管放水.至12分钟时，关停进水管.在打开进水管到关停进水管这段时间内，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分钟）之间的函数关系如图4所示.关闭进水管后，经过 分钟，容器中的水恰好放完.
解析 本题考查了同学们对文字、图表等信息资料的阅读理解能力，对信息的分检、组合、加工的能力.求解此类问题的关键是：针对给出的实际问题，找到容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分钟）之间的函数关系，进而解决问题.解此类问题，要注意验证结果是否适合实际问题.
由函数图象可知，当0＜x≤4时只打开进水管进水，则进水速度为20÷4＝5（升/分）；当4≤x≤12时表示再打开出水管放水，由于y随x的增大而增大（即成上升趋势），故进水速度大于放水速度，故进水与放水速度差为（30-20）÷（12-4）＝54（升/分），放水速度为5-54＝154（升/分），所以关闭进水管后，容器中的水恰好放完，经过的时间为30÷154＝8（分钟）. 评注 本题还可以利用图象求得函数解析式获解.解这类与实际生活联系的试题，要注意两点：（1） 考生要能够将数学应用题中所有表示数量关系的文字、图象语言翻译成数学符号语言即数、式子、方程、不等式、函数等；（2） 提高数学运算、推理能力是正确求解的关键所在，忽视运算能力，只重视推理过程的做法是不可取的.
题型4 信息迁移型
所谓信息迁移型题，就是指以已有知识为基础，进一步引申新的情景或定义新的概念等.这样的填空题，往往是先给考生一定容量的新信息，这些信息可能是考生未曾见过的，也可能是已学过的某个知识点的延伸或拓宽，然后要求考生依据新信息进行解题.解答此类问题关键在于理解新信息的含义，从而将新信息转化为已学过的知识，便可使问题顺利获解.
图5
例4 （2011甘肃兰州）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰△ABC中底边BC与腰AB的比叫做顶角A的正对，记作sadA.如图5，sadA=底边腰=BCAB.容易知道一个角的大小与这个角的正对值是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1） sad60°＝ .
（2） 对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 .
（3） 如图6，已知sinA=35，其中∠A为锐角，则sadA的值为 .
图6
解析 阅读理解题意知道等腰三角形顶角A的正对的意义.
（1） 设△ABC中，AB=AC，∠A＝60°，
∴ △ABC为等边三角形，∴ BC＝AB，∴ sad60°＝BCAB＝1.
（2） 设△ABC中，AB=AC，
当∠A＝0°时，则BC＝0，∴ sadA＝sad0°＝BCAB＝0；
当∠A＝180°时，则点A在BC上，BC＝2AB，∴ sadA＝sad180°＝BCAB＝2.
∴ 对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是0＜sadA＜2.
（3） 如图6，设在△ABC中，∠ACB＝90°，sin∠A＝35，令BC＝3k，则AB＝5k，AC=4k.在AB上取点D，使AD=AC，连接CD，则sadA=CDAC.
作DH⊥AC，H为垂足，在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A＝35，
∴ DH＝AD×sin∠A＝4k×35＝125k，∴ AH＝AD2-DH2＝165k，∴ CH＝AC-AH＝45k.
则在△CDH中，CD＝CH2+DH2＝4105k，
于是在△ACD中，AD＝AC＝4k，由正对定义知，sadA＝CDAC＝105.
题型5 规律型
解决规律型问题的最佳办法是采用“归纳猜想法”，就是当一个问题涉及到相当多，乃至无穷多的情形时，可从问题的简单情形或特殊情形入手，通过简单情形或特殊情形的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法.
例5 （2011北京市）在下表中，我们把第i行第j列的数记为ai,j（其中i、j都是不大于5的正整数），对于表中的每个数ai,j，规定如下：当i≥j时，ai,j=1；当i
a1,1 a1,2 a1,3 a1,4 a1,5
a2,1 a2,2 a2,3 a2,4 a2,5
a3,1 a3,2 a3,3 a3,4 a3,5
a4,1 a4,2 a4,3 a4,4 a4,5
a5,1 a5,2 a5,3 a5,4 a5,5
解析 本题主要考查从数字找规律的方法，难点是对行列对应数字大小的识别.当i≥j时，ai,j=1；当i 评注 本题是一道代数找规律的题目，这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，同学们很容易发现各部分的变化规律，但是如何用一个统一的式子表示出变化规律是难点中的难点，需加强练习.
四、 填空题的常用解法
解法1 转化法
所谓转化是指通过观察、分析、类比、联想等思维过程，借助某些性质、
图7
公式将问题通过变换加以转化，从而达到化难为易的目的.
例6 （2011河南省）如图7，一次函数y1=k1x+2与反比例函数y2=k2x的图象交于点A(4,m)和B(-8,-2)，与y轴交于点C.
（1） k1= ，k2= ；
（2） 根据函数图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围是 ；
（3） 过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC∶S△ODE=3∶1时，则点P的坐标为 .
解析 （1） 由一次函数和反比例函数过点B(-8,-2)，可求得k1=12，k2=16；（2） 首先想到的是解不等式，但分式不等式（或二次不等式）同学们不会解，所以借助函数图象解决.条件y1＞y2在图象上的体现，是一次函数要在反比例函数的上方，由此可知-8＜x＜0或x＞4；（3） 由（1）知，y1=12x+2,y2=16x.∴ m=4，点C的坐标是（0，2），点A的坐标是（4，4）.
∴ CO=2，AD=OD=4，∴ S梯形ODAC=CO+AD2×OD=2+42×4=12.
∵ S四边形ODAC∶S△ODE=3∶1，∴ S△ODE＝4.
即12OD·DE=4，∴ DE=2.∴ 点E的坐标为（4，2）.
又点E在直线OP上，∴ 直线OP的解析式是y=12x.
∴ 直线OP与y2=16x的图象在第一象限内的交点P的坐标为（42,22）.
解法2 整体法
在解题的过程中，根据题设条件，将某些代数式看作一个数(量)或把一个式子视为一个整体去思考问题，处理问题，巧作“整体代入”，这种解决问题的思维方法叫整体法.
例7 （2011湖北鄂州）若关于x，y的二元一次方程组3x+y=1+a，
x+3y=3的解满足x+y＜2，则a的取值范围为 .
解析 本题有两个思路：一是直接利用方程组，用含a的代数式表示x、y,再用含a的代数式表示x+y,解有关a的不等式即可求得a的取值范围.二是整体法.将方程组中两个方程相加，得4x+4y=4+a，即x+y=4+a4=1+a4＜2，∴ a＜4.
填空题，题目短小精干，考查目标集中明确，且不需过程, 没有备选答案可供选择，不设中间步骤分, 答案唯一正确.
中考中的填空题从题型看分为定量型填空题和定性型填空题，前者主要考查计算能力，同时也考查考生对题目中所涉及数学公式掌握的熟练程度，后者考查考生对数学概念、定理和性质等掌握的熟练程度.当然这两类填空题也是互相渗透的，只不过是考查有所侧重而已.
近几年中考中填空题的考查方式和内容不断创新.命题方式上，除了填空大题外，解答题中有时也有填空题；考查内容上，不仅考查纯数学计算和概念，而且还考查数学推理、数学应用、数学思想和方法等.这说明填空题的考查功能在不断拓宽.
二、 数学填空题的解答要求
解答填空题的基本要求是：准确、迅速、规范.准确是解答填空题的先决条件，填空题不需过程，不设中间分，因而容易失分，这就要求考生在解答填空题的过程中，做到仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，还要注意草稿清晰以备检验；迅速是获取高分的必要条件，要避免因超时影响后续答题现象的发生；规范是保住得分的充分条件，在网上阅卷时规范、整洁显得尤为重要，只有把正确的答案规范、整洁地书写在答题纸上才能有利阅卷教师正确评分.要做到这三点，在解答填空题时必须注意以下几点：① 填空题所填结果要完整，不可缺少一些限制条件；② 对于计算型填空题要运算到底，结果要规范；③ 填空题所填结论要符合初中数学课标要求.
下面就中考数学中的填空题加以分析，帮助同学们归纳填空题的解法.
三、 中考填空题的常见题型
题型1 概念型
许多填空题，往往涉及一些重要的数学概念、公理、定理、公式、性质或一些容易混淆的概念和性质.这就需要考生在审题时，应注意辨析有关概念的本质特性，从而保证所填答案的正确性.一般说来，这类题目运算量小，侧重判断.常用的方法有直接法、验证法等.
例1 （2011福建福州）在结束了380课时初中阶段数学内容的教学后,唐老师计划安排60课时用于总复习,根据数学内容所占课时比例,绘制如下统计图表(图1～图3),请根据图表提供的信息,回答下列问题：
（1） 图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角为 度；
（2） 图2中的a= ,图3中的b= .
图1
数与代数（内容） 课时数
数与式 67
方程（组）与
不等式（组） a
函数 44
图2
图3
解析 对第（1）问，要掌握这样一个公式：扇形的圆心角度数＝扇形的圆心角所占百分比×360°. 图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角所占百分比为1-45%-5%-40%＝10%，故图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角度为10%×360°＝36°；解决第（2）问要掌握这样两个性质：数与代数课时数＝数与代数的百分比×课时总数；方程(组) 与不等式(组)课时数＝A、B、C、D、E课时数的和.由于数与代数课时数＝45%×380＝171，故a=171-67-44＝60,b=60-18-13-12-3＝14.
评注 概念型试题对数学概念、公理、定理、公式、性质的要求较高，对于基础不扎实的同学来说，容易失分.如本例，有的考生不知道扇形的圆心角度数如何计算，不知道在扇形统计图中的百分比就是每部分占总体的百分比.为避免这类错误，同学们在复习中，要真正理解概念，弄清概念之间的联系与区别，达到熟练运用的程度而不出现概念错误.
题型2 计算型
这类填空题主要考查同学们对基本概念、法则、定理等的理解及运算.计算型填空题分为几何计算和代数计算两种，在计算的过程中，要讲究技巧与方法.其常用方法是直接法，即根据题干所给条件，直接经过计算、推理证明，得出正确答案.
例2 （2011黑龙江黑河）已知三角形相邻两边长分别为20 cm和30 cm，第三边上的高为10 cm，则此三角形的面积为 cm2.
图1
--!> 解析 本题需要分三种情况考虑三角形的形状：锐角三角形，钝角三角形，直角三角形.根据勾股定理求得第三边后，可排除直角三角形存在的可能.再分别求得此三角形为锐角三角形、钝角三角形时的面积.
解答过程略，答案为（1002+503）或（1002-503）cm2.
评注 本题考查了勾股定理和三角形面积的求法.解答时要注意避免一些不必要的错误，本例就是一道比较基础却很典型的分类讨论型计算题，关键是要区分三角形的形状.
题型3 应用型
解决这类试题时，同学们要在认真阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题转化为数学问题，建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，从而得出结论.
图4
例3 （2011湖北武汉）一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻起只打开进水管进水，经过一段时间，再打开出水管放水.至12分钟时，关停进水管.在打开进水管到关停进水管这段时间内，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分钟）之间的函数关系如图4所示.关闭进水管后，经过 分钟，容器中的水恰好放完.
解析 本题考查了同学们对文字、图表等信息资料的阅读理解能力，对信息的分检、组合、加工的能力.求解此类问题的关键是：针对给出的实际问题，找到容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分钟）之间的函数关系，进而解决问题.解此类问题，要注意验证结果是否适合实际问题.
由函数图象可知，当0＜x≤4时只打开进水管进水，则进水速度为20÷4＝5（升/分）；当4≤x≤12时表示再打开出水管放水，由于y随x的增大而增大（即成上升趋势），故进水速度大于放水速度，故进水与放水速度差为（30-20）÷（12-4）＝54（升/分），放水速度为5-54＝154（升/分），所以关闭进水管后，容器中的水恰好放完，经过的时间为30÷154＝8（分钟）. 评注 本题还可以利用图象求得函数解析式获解.解这类与实际生活联系的试题，要注意两点：（1） 考生要能够将数学应用题中所有表示数量关系的文字、图象语言翻译成数学符号语言即数、式子、方程、不等式、函数等；（2） 提高数学运算、推理能力是正确求解的关键所在，忽视运算能力，只重视推理过程的做法是不可取的.
题型4 信息迁移型
所谓信息迁移型题，就是指以已有知识为基础，进一步引申新的情景或定义新的概念等.这样的填空题，往往是先给考生一定容量的新信息，这些信息可能是考生未曾见过的，也可能是已学过的某个知识点的延伸或拓宽，然后要求考生依据新信息进行解题.解答此类问题关键在于理解新信息的含义，从而将新信息转化为已学过的知识，便可使问题顺利获解.
图5
例4 （2011甘肃兰州）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰△ABC中底边BC与腰AB的比叫做顶角A的正对，记作sadA.如图5，sadA=底边腰=BCAB.容易知道一个角的大小与这个角的正对值是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1） sad60°＝ .
（2） 对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 .
（3） 如图6，已知sinA=35，其中∠A为锐角，则sadA的值为 .
图6
解析 阅读理解题意知道等腰三角形顶角A的正对的意义.
（1） 设△ABC中，AB=AC，∠A＝60°，
∴ △ABC为等边三角形，∴ BC＝AB，∴ sad60°＝BCAB＝1.
（2） 设△ABC中，AB=AC，
当∠A＝0°时，则BC＝0，∴ sadA＝sad0°＝BCAB＝0；
当∠A＝180°时，则点A在BC上，BC＝2AB，∴ sadA＝sad180°＝BCAB＝2.
∴ 对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是0＜sadA＜2.
（3） 如图6，设在△ABC中，∠ACB＝90°，sin∠A＝35，令BC＝3k，则AB＝5k，AC=4k.在AB上取点D，使AD=AC，连接CD，则sadA=CDAC.
作DH⊥AC，H为垂足，在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A＝35，
∴ DH＝AD×sin∠A＝4k×35＝125k，∴ AH＝AD2-DH2＝165k，∴ CH＝AC-AH＝45k.
则在△CDH中，CD＝CH2+DH2＝4105k，
于是在△ACD中，AD＝AC＝4k，由正对定义知，sadA＝CDAC＝105.
题型5 规律型
解决规律型问题的最佳办法是采用“归纳猜想法”，就是当一个问题涉及到相当多，乃至无穷多的情形时，可从问题的简单情形或特殊情形入手，通过简单情形或特殊情形的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法.
例5 （2011北京市）在下表中，我们把第i行第j列的数记为ai,j（其中i、j都是不大于5的正整数），对于表中的每个数ai,j，规定如下：当i≥j时，ai,j=1；当i
a1,1 a1,2 a1,3 a1,4 a1,5
a2,1 a2,2 a2,3 a2,4 a2,5
a3,1 a3,2 a3,3 a3,4 a3,5
a4,1 a4,2 a4,3 a4,4 a4,5
a5,1 a5,2 a5,3 a5,4 a5,5
解析 本题主要考查从数字找规律的方法，难点是对行列对应数字大小的识别.当i≥j时，ai,j=1；当i 评注 本题是一道代数找规律的题目，这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，同学们很容易发现各部分的变化规律，但是如何用一个统一的式子表示出变化规律是难点中的难点，需加强练习.
四、 填空题的常用解法
解法1 转化法
所谓转化是指通过观察、分析、类比、联想等思维过程，借助某些性质、
图7
公式将问题通过变换加以转化，从而达到化难为易的目的.
例6 （2011河南省）如图7，一次函数y1=k1x+2与反比例函数y2=k2x的图象交于点A(4,m)和B(-8,-2)，与y轴交于点C.
（1） k1= ，k2= ；
（2） 根据函数图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围是 ；
（3） 过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC∶S△ODE=3∶1时，则点P的坐标为 .
解析 （1） 由一次函数和反比例函数过点B(-8,-2)，可求得k1=12，k2=16；（2） 首先想到的是解不等式，但分式不等式（或二次不等式）同学们不会解，所以借助函数图象解决.条件y1＞y2在图象上的体现，是一次函数要在反比例函数的上方，由此可知-8＜x＜0或x＞4；（3） 由（1）知，y1=12x+2,y2=16x.∴ m=4，点C的坐标是（0，2），点A的坐标是（4，4）.
∴ CO=2，AD=OD=4，∴ S梯形ODAC=CO+AD2×OD=2+42×4=12.
∵ S四边形ODAC∶S△ODE=3∶1，∴ S△ODE＝4.
即12OD·DE=4，∴ DE=2.∴ 点E的坐标为（4，2）.
又点E在直线OP上，∴ 直线OP的解析式是y=12x.
∴ 直线OP与y2=16x的图象在第一象限内的交点P的坐标为（42,22）.
解法2 整体法
在解题的过程中，根据题设条件，将某些代数式看作一个数(量)或把一个式子视为一个整体去思考问题，处理问题，巧作“整体代入”，这种解决问题的思维方法叫整体法.
例7 （2011湖北鄂州）若关于x，y的二元一次方程组3x+y=1+a，
x+3y=3的解满足x+y＜2，则a的取值范围为 .
解析 本题有两个思路：一是直接利用方程组，用含a的代数式表示x、y,再用含a的代数式表示x+y,解有关a的不等式即可求得a的取值范围.二是整体法.将方程组中两个方程相加，得4x+4y=4+a，即x+y=4+a4=1+a4＜2，∴ a＜4.