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【摘 要】 立体几何是高中数学培养学生空间想象能力的重要知识板块，在立体几何教学中既有培养空间思维的传统方式方法，也有立足于代数运算的向量方法，如何对立体几何教学进行合理、有效的复习探究，是教师教学需要关注的。
【关键词】立体几何;复习策略;空间感知;空间想象能力;向量;传统法
立体几何是高中数学的重要知识板块，其在建立学生空间感知、图形结构、空间想象能力方面有着重要的作用。陕西师大罗增儒教授对课程标准关于立体几何的建议如此解读：要努力培养学生的空间想象能力，使学生掌握空间点、线、面之间的关系，逐步建立起空间感知，既要注重传统立体几何公理化体系对学生空间知识的螺旋式搭建，也要让学生了解空间向量对解决立体几何问题的作用。
从标准的这一段解读中，笔者认为空间几何教学需要教授的是立体几何的关键与核心，从两个分支来说，即需要掌握公理化体系与向量解决方案的共同实施;从知识点来说，空间几何的核心考查围绕于空间感知、平行与垂直、角和距离等以及其他各种相关小题;从能力诉求来说，考查空间问题平面化的能力以及运用代数方式解决立体几何的向量运算能力。鉴于上述分析，笔者认为空间几何教学的复习策略要注重下列方面：
1.关注空间感知
立体几何在空间感知方面需要长时间的培养和巩固训练，这主要从公理化体系中的命题判断、对一些问题的直观感知等方面进行培养。空间感知对于学生而言，是立体几何教学最感性的培养，空间感知培养是否优秀对于学生解决立体几何的概念性问题有着极为重要的指导，因此立体几何教学复习的首要是给予学生扎实的双基培养。
案例1：l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题错误的是 。
（1）l1⊥l2，l2⊥l3？圯l1∥l3;（2）l1⊥l2，l2∥l3？圯l1⊥l3。
（3）l1∥l2∥l3？圯l1，l2，l3共面;（4）l1，l2，l3共点？圯l1，l2，l3共面。
易错分析：由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多，特别是当直线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断。
解析：当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1与l3也可能相交或异面，故（1）不正确;当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故（3）不正确;l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故（4）不正确。因此（1）（3）（4）为错误命题。
温馨提醒：（1）平面几何中的一些定理和结论在空间中不一定成立，如“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”在空间中不成立，所以在用一些平面几何中的定理和结论时，必须说明涉及的元素都在某个平面内;（2）解决点、线、面位置关系问题的基本思路：一是逐个判断，利用空间线面关系证明正确的结论，寻找反例否定错误的结论;二是结合长方体模型或实际空间位置（如课桌、教室）作出判断，但要注意定理应用要准确、考虑问题要全面细致。
案例2：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条。
审题视角：找三条异面直线都相交的直线，可以转化成在一个平面内，作与三条直线都相交的直线。因而可考虑过一条直线及另外一条直线上的一点作平面。进而研究公共交线问题。
解析：方法一，在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点。如右图所示。方法二，在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线。由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交。
温馨提醒：本题难度较大，问题比较灵活。对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查，要注意的是本题解法较多，但关键在于构造平面，但不少学生不会构造平面，因此失分较多。这说明学生还是缺少空间想象能力，缺少对空间直线位置关系的理解。
2.传统与向量并举
传统公理化体系的解决方案愈来愈在教学中不受教学重视，这里既有教师教学的原因也有学生对方法选择使用的原因。从近年来高考问题坚持两种解决方案并举的今天，笔者认为立体几何依旧要坚持传统公理化体系的建立，在这基础之上辅以空间向量的解决方案，使学生学会两种不同的方式掌握立体几何问题的解决。
例2（2013年镇江模拟）如图1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，BM⊥PD于点M。（1）求证：AM⊥PD;（2）求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值。
分析：（1）略;（2）线面角的解决是空间几何中最常考查的一种角的问题，对于本题所涉及的线面角，笔者以为平时教学中宜用两种不同的方法进行教学，孰优孰劣应该由学生自己选取，学生对立体几何不同的掌握决定其自身对向量法的使用更为合适还是传统法的解决更为轻快，教师的主要职能是引导学生两条腿走立体几何的路。
说明：（1）求线面夹角时重点是找到斜线在平面内的射影，因此重点是找到直线上一点向平面作垂线。（2）求线线角和线面角时，有时可通过平移改换要求的角，有时不易直接找到角可以利用等体积法求距离，使问题得以巧妙解决。（3）第一问往往是为第二问设置台阶，要注意这一规律。
总之，新课程下的立体几何教学相比传统，有了显著的变化，我们教学既要关注立体几何本质的传递，也要掌握和熟练运用空间向量法解决立体几何中角和距离的常规问题。限于篇幅，本文未对常规的角和距离问题进行展开求解说明，更多关注的是培养学生空间感觉、立足向量基础和紧抓几何本质的视角，阐述了新课程立体几何教学的复习策略。上述两方面是立体几何复习教学的重要方面，关注空间感知和两条路的并举是解决空间几何问题的关键，限于篇幅笔者用三个案例阐述了复习教学需要掌控的方向，不足之处请读者批评指正和补充。
【参考文献】
[1]俞求是.高中数学新课程立体几何教学问题研究[J].数学教学.2010.2
[2]岳儒芳.由2009年高考立体几何题阅卷引发的思考[J].数学通讯.2009.8
[3]戴海林.立体几何教学中的转化策略[J].中学数学月刊.2012.11
（作者单位：江苏省口岸中学）
【关键词】立体几何;复习策略;空间感知;空间想象能力;向量;传统法
立体几何是高中数学的重要知识板块，其在建立学生空间感知、图形结构、空间想象能力方面有着重要的作用。陕西师大罗增儒教授对课程标准关于立体几何的建议如此解读：要努力培养学生的空间想象能力，使学生掌握空间点、线、面之间的关系，逐步建立起空间感知，既要注重传统立体几何公理化体系对学生空间知识的螺旋式搭建，也要让学生了解空间向量对解决立体几何问题的作用。
从标准的这一段解读中，笔者认为空间几何教学需要教授的是立体几何的关键与核心，从两个分支来说，即需要掌握公理化体系与向量解决方案的共同实施;从知识点来说，空间几何的核心考查围绕于空间感知、平行与垂直、角和距离等以及其他各种相关小题;从能力诉求来说，考查空间问题平面化的能力以及运用代数方式解决立体几何的向量运算能力。鉴于上述分析，笔者认为空间几何教学的复习策略要注重下列方面：
1.关注空间感知
立体几何在空间感知方面需要长时间的培养和巩固训练，这主要从公理化体系中的命题判断、对一些问题的直观感知等方面进行培养。空间感知对于学生而言，是立体几何教学最感性的培养，空间感知培养是否优秀对于学生解决立体几何的概念性问题有着极为重要的指导，因此立体几何教学复习的首要是给予学生扎实的双基培养。
案例1：l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题错误的是 。
（1）l1⊥l2，l2⊥l3？圯l1∥l3;（2）l1⊥l2，l2∥l3？圯l1⊥l3。
（3）l1∥l2∥l3？圯l1，l2，l3共面;（4）l1，l2，l3共点？圯l1，l2，l3共面。
易错分析：由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多，特别是当直线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断。
解析：当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1与l3也可能相交或异面，故（1）不正确;当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故（3）不正确;l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故（4）不正确。因此（1）（3）（4）为错误命题。
温馨提醒：（1）平面几何中的一些定理和结论在空间中不一定成立，如“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”在空间中不成立，所以在用一些平面几何中的定理和结论时，必须说明涉及的元素都在某个平面内;（2）解决点、线、面位置关系问题的基本思路：一是逐个判断，利用空间线面关系证明正确的结论，寻找反例否定错误的结论;二是结合长方体模型或实际空间位置（如课桌、教室）作出判断，但要注意定理应用要准确、考虑问题要全面细致。
案例2：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条。
审题视角：找三条异面直线都相交的直线，可以转化成在一个平面内，作与三条直线都相交的直线。因而可考虑过一条直线及另外一条直线上的一点作平面。进而研究公共交线问题。
解析：方法一，在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点。如右图所示。方法二，在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线。由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交。
温馨提醒：本题难度较大，问题比较灵活。对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查，要注意的是本题解法较多，但关键在于构造平面，但不少学生不会构造平面，因此失分较多。这说明学生还是缺少空间想象能力，缺少对空间直线位置关系的理解。
2.传统与向量并举
传统公理化体系的解决方案愈来愈在教学中不受教学重视，这里既有教师教学的原因也有学生对方法选择使用的原因。从近年来高考问题坚持两种解决方案并举的今天，笔者认为立体几何依旧要坚持传统公理化体系的建立，在这基础之上辅以空间向量的解决方案，使学生学会两种不同的方式掌握立体几何问题的解决。
例2（2013年镇江模拟）如图1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，BM⊥PD于点M。（1）求证：AM⊥PD;（2）求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值。
分析：（1）略;（2）线面角的解决是空间几何中最常考查的一种角的问题，对于本题所涉及的线面角，笔者以为平时教学中宜用两种不同的方法进行教学，孰优孰劣应该由学生自己选取，学生对立体几何不同的掌握决定其自身对向量法的使用更为合适还是传统法的解决更为轻快，教师的主要职能是引导学生两条腿走立体几何的路。
说明：（1）求线面夹角时重点是找到斜线在平面内的射影，因此重点是找到直线上一点向平面作垂线。（2）求线线角和线面角时，有时可通过平移改换要求的角，有时不易直接找到角可以利用等体积法求距离，使问题得以巧妙解决。（3）第一问往往是为第二问设置台阶，要注意这一规律。
总之，新课程下的立体几何教学相比传统，有了显著的变化，我们教学既要关注立体几何本质的传递，也要掌握和熟练运用空间向量法解决立体几何中角和距离的常规问题。限于篇幅，本文未对常规的角和距离问题进行展开求解说明，更多关注的是培养学生空间感觉、立足向量基础和紧抓几何本质的视角，阐述了新课程立体几何教学的复习策略。上述两方面是立体几何复习教学的重要方面，关注空间感知和两条路的并举是解决空间几何问题的关键，限于篇幅笔者用三个案例阐述了复习教学需要掌控的方向，不足之处请读者批评指正和补充。
【参考文献】
[1]俞求是.高中数学新课程立体几何教学问题研究[J].数学教学.2010.2
[2]岳儒芳.由2009年高考立体几何题阅卷引发的思考[J].数学通讯.2009.8
[3]戴海林.立体几何教学中的转化策略[J].中学数学月刊.2012.11
（作者单位：江苏省口岸中学）