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【摘要】本文以沪深300指数期货中的IF1509合约为例，运用OLS模型与GARCH模型，对沪深300指数与股指期货合约IF1509进行套期保值，测算出最优套期保值比率。
【关键词】最优套期保值比率 沪深300指数 OLS GARCH
一、引言
在投资领域里，投资者将会面临两种风险，一是系统性风险，二是非系统性风险。系统性风险是利率、宏观经济状况、货币政策等因素对整个市场产生的不确定影响，非系统性风险是针对小范围或某一投资对象产生的不确定影响。在实际投资中，投资者可以通过分散化投资以规避非系统性风险，对于系统性风险，投资者需要通过套期保值的方法来规避。由于期货具有套期保值功能与价格发现功能，期货标的在现货市场的价格与其在期货市场价格运动趋势具有一致性，期货合约到期时的价格将会收敛于现货市场价格。如果在期货市场与现货市场采取相反的交易策略进行套期保值，随着各自价格的变动，两个市场的盈亏将会抵补，甚至投资者能够获得盈利。
二、最优套期保值比率
套期保值比率（hedge ratio）是套期保值者用来在现货市场对某一特定风险资产进行套期保值所需要的期货合约份数，即用于冲抵现货市场风险所需要的期货合约数量。最优套期保值比率是使期货的损益恰好弥补现货损益所需要的期货合约数量。套期保值比率与空头套保、多头套保等套期保值方式无关，套期保值比率是现货合约数与期货合约数的比例关系。
三、数学模型
（一）普通最小二乘模型（OLS）
现代的套期保值理论由Johnson、Ederingston较早提出，通过采用马科维茨的组合投资理论来解释套期保值概念，是将现货市场和期货市场的头寸作为企业资产来看待，套期保值实际上是资产组合。OLS模型的回归方程具体形式如下
ΔSt=β1+β2ΔFt+εt
式中，ΔSt表示t期现货价格的变化量，ΔFt表示t期期货价格的变化量，β1表示回归方程的截距，β2表示回归方程的斜率，即套期保值比率，εt表示t期的随机误差项。
（二）广义自回归条件异方差模型（GARCH）
Engle（1982）提出了自回归条件异方差模型（ARCH），而Bollerslev（1986）发展成广义自回归条件异方模型（GARCH）。他们认为这种变化很可能是由于金融市场的波动性易受谣言、政局变动、货币政策与财政政策变化等影响，因此有理由相信误差项的条件方差不是某个自变量的函数，而是随时间变化且依赖于过去误差的大小。GARCH（1，1）模型中的套期保值比率可以通过下面的回归方程得出：
ΔS=c+ΔF×h+εΔS
σ2t=ω+αε2ΔS，t-1+βσ2t-1
式中，h为套期保值比率，σ2t表示现货价格变化的条件方差，ε2ΔS，t-1是独立同分布的随机变量，其中
h=p=p
式中，σ与σΔ分别表示现货与期货市场的价格变化的条件标准差，p是ΔS与ΔF的相关系数。
四、实证研究
（一）数据选取情况
本文通过Wind数据库，分别选取沪深300指数（代码：000300.SH）与沪深300指数期货合约IF1509且同时具有价格的交易日的指数收盘价与指数期货的结算价作为研究对象，数据选择的起止时间分别为2015年1月19日与2015年6月19日，指数与指数期货分别选取103个样本数据，总计206个。
表1 数据基本情况
从分析结果可以看到，现货市场的标准差为σΔS=87.02855，股指期货市场的标准差为σΔF=92.25126。
表2 变量相关关系
从表2中可以得到ΔS与ΔF的相关系数为0.9326702415844791，即p=0.9326702415844791。
（二）数据分析
第一，数据平稳性检验。
本文所选取的数据：沪深300指数、沪深300指数期货IF1509合约，均是时间序列，为避免“伪回归”发生，需分别对两组数据进行平稳性检验，得到表3中所示结果，从中可以得到，沪深300与IF1509合约的ADF值均小于各自所对应的临界值，说明在1%、5%与10%的显著性水平下，均能拒绝序列非平稳的原假设，说明两组数据均是十分平稳的时间序列。
表3 沪深300与IF1509合约的ADF检验
第二，数据自相关性检验。
最大滞后期选择一般取样本容量的十分之一或算数根，即若样本容量为n，最大滞后期为m，m=或在本案中，n=102，m=≈10.0995，则对沪深300与IF1509合约分别进行自相关性检验，得到结果如图1与图2中所示。
通过图1与图2，能看到沪深300与IF1509合约的各10阶滞后项，每项的直方柱状图都在2倍标准差范围内，各项的Prob.值均大于5%的显著性水平，说明两组样本没有自相关性，同时可以得出，这两组时间序列是白噪声序列，也就是纯随机序列。
图1 沪深300时间序列的自相关检验
图2 IF1509时间序列的自相关检验
第三，最小二乘法（OLS模型）分析。依据OLS模型建立的回归方程如下ΔSt=β1+β2ΔFt+εt
将两组数据代入到统计计量软件EViews中，得到如表4所示的输出结果，并可写出如下回归分析结果：
Δ=0.623772+0.879868ΔFt
t：（0.197526） （25.85507）
R2=0.869874 F=668.4846 D.W.=1.988423 表4 EViews输出结果
第四，模型检验。
从回归的结果看，可决系数R=0.869874，表明在沪深300指数总离差中，由IF1509合约的离差解释部分占86.9874%，模型的拟合优度较高，从斜率项的t检验值看，大于5%显著性水平下自由度为n-2=100的临界值①，但截距项的Prob.值为0.8438大于0.05，所以接受原假设，截距项是不显著的，虽然方程通过整体显著性水平检验（Prob（F-statistic）=0.000000），但截距项不显著，说明方程在设定上存在问题。
第五，模型调整。
对OLS模型的回归方程重新设定，不包含截距项，具体形式为
ΔSt=β3ΔFt+εt
式中，ΔSt表示t期现货价格的变化量，ΔFt表示t期期货价格的变化量，β3表示回归方程的斜率，即套期保值比率，εt表示t期的随机误差项。得到回归结果如表5所示，可建立沪深300指数与IF1509合约套期保值函数
ΔSt=0.880851ΔFt
t： （26.29081）
R2=0.869823 D.W.=1.988946
6.新模型检验。
从回归的结果看，模型拟合较好：可决系数R2=0.869823，表明期货价格变动能解释88%的现货价格变动，斜率项的Prob（t-statistic）=0.000000，说明斜率项是显著的，可认为现货价格变动量与期货价格变动量之间具有线性回归关系。同时新输出的结果中的AIC与SC值均小于旧模型，说明旧模型中的截距项是没有解释能力，也说明模型修改的正确。新的回归结果中D.W.=1.988946，查表可知在5%上下界，k=1与n=100的情况下，dL=1.654，dU=1.694，D.W.∈（dL，4-dU），说明模型无自相关。斜率项β3=0.880851≈0.88，表示期货价格价格变动1，现货价格变动0.88，即最优套期保值比率是0.88，每一份现货需要0.88份期货合约对其进行套期保值。
表5 方程调整后的EViews输出结果
7.ARCH效应检验。公式ΔSt=αΔSt-1+εt（公式①）与（ΔFt=γΔFt-1+εt公式②），建立OLS模型，并对两式残差项，进行自相关检验，得到如表6与表7所示。
表6 公式①的自相关检验
表7 公式②的自相关检验
通过以上结果可以看到，两式AC与PAC模型显著的不为0，再进行ARCH效应检验，得到如表8与表9所示结果，从中能够看出两表中的Prob.Chi-Square（1）值均大于0.05（0.3528>0.05;0.7242>0.05），说明异方差不显著，对于σΔS与σΔF的估计，可选用静态值，即σΔS=87.02855与σΔF=92.25126。对于ΔS与ΔF的相关系数p也可选用静态值，即p=0.9326702415844791。
表8 公式①的ARCH（1）效应检验结果
表9 公式②的ARCH（1）效应检验结果
根据公式h=p=p
能够得到，
h=0.9326702415844791×=0.8796687836639667≈0.879669，最优套期保值比率为0.879669。即h=0.879669。
五、套期保值效果的衡量
在套期保值效果的检验中，主要比较进行套期保值组合回报的方差比未进行套期保值组合的方差降低的比例，得出套期保值有效性，具体公式为
k=
v=σ2Δs+h2×σ2ΔF-2hpσΔsσΔF
式中，v表示运用股指期货进行套期保值的投资组合回报。OLS模型所得结果与GARCH模型所得计算结果带入进去，可得到OLS模型下与GARCH模型下的套期保值效果，如表10所示，可以看到GARCH稍优于OLS模型，但相差不大，仅在百万分之一。
表10 套期保值绩效比较
六、结论
采用OLS模型与通过GARCH方法所得到的最优套期保值比率非常接近，一方面说明沪深300指数与沪深300指数股指期货合约IF1509存在长期均衡关系，另一方面也说明从静态和动态角度分析，均能得到相同或相似的最优套期保值比率。诚然，股指期货合约是有存续期的，投资者需要在不同的股指期货合约进行选择，对数据进行实时调整，或可调整数据间的对应关系，使模型能够预测现货市场或期货市场的变动趋势。
注释
①在5%显著性水平下，t（60）=t0.025（60）=2.000，t（120）=t0.025（120）=1.980，因为100∈（60，120），所以t（100）=t0.025（100）∈（t（120），t=（60）），t0.025（100）∈（1.980，2.000），|t|=25.85507>t0.025（100），因此拒绝原假设，变量是显著的。
参考文献
[1]钟赟，杨朋君.基于OLS模型的我国铜期货的最优套期保值率研究[J].经济论坛，2009，10：19-20.
[2]胡向科.不同估计模型最优套期保值比率绩效研究[J].经济视角（下），2010，01：73-75.
[3]李路苗，梁朝晖.沪深300股指期货最优套期保值实证研究[J].华北金融，2010，01：8-10+32.
[4]崔新琰，何春雄.沪深300指数期货最优套期保值比率的估计[J].科学技术与工程，2008，15：4422-4426.
[5]杨晋璇，余渡.股指期货、最优套期保值比率与金融资产管理——基于沪深300ETF套期保值的实证[J].财会通讯，2015，11：6-11+129.
[6]高海波.股指期货不同方法套期保值比率的实证研究[J].金融经济，2015，08：111-113.
[7]李子奈，潘文卿.计量经济学[M].北京：高等教育出版社，2000.50-58.
[8]于俊年.计量经济学[M].北京：对外经济贸易大学出版社， 2014. 313-315.
[9]于俊年.计量经济学——EViews的使用[M].北京：对外经济贸易大学出版社， 2006.193-204.
[10]Don M.Chance，Robert Brooks.An Introduction to Derivatives and Risk Management [M]Beijing： China Machine Press，2015.168-169.
【关键词】最优套期保值比率 沪深300指数 OLS GARCH
一、引言
在投资领域里，投资者将会面临两种风险，一是系统性风险，二是非系统性风险。系统性风险是利率、宏观经济状况、货币政策等因素对整个市场产生的不确定影响，非系统性风险是针对小范围或某一投资对象产生的不确定影响。在实际投资中，投资者可以通过分散化投资以规避非系统性风险，对于系统性风险，投资者需要通过套期保值的方法来规避。由于期货具有套期保值功能与价格发现功能，期货标的在现货市场的价格与其在期货市场价格运动趋势具有一致性，期货合约到期时的价格将会收敛于现货市场价格。如果在期货市场与现货市场采取相反的交易策略进行套期保值，随着各自价格的变动，两个市场的盈亏将会抵补，甚至投资者能够获得盈利。
二、最优套期保值比率
套期保值比率（hedge ratio）是套期保值者用来在现货市场对某一特定风险资产进行套期保值所需要的期货合约份数，即用于冲抵现货市场风险所需要的期货合约数量。最优套期保值比率是使期货的损益恰好弥补现货损益所需要的期货合约数量。套期保值比率与空头套保、多头套保等套期保值方式无关，套期保值比率是现货合约数与期货合约数的比例关系。
三、数学模型
（一）普通最小二乘模型（OLS）
现代的套期保值理论由Johnson、Ederingston较早提出，通过采用马科维茨的组合投资理论来解释套期保值概念，是将现货市场和期货市场的头寸作为企业资产来看待，套期保值实际上是资产组合。OLS模型的回归方程具体形式如下
ΔSt=β1+β2ΔFt+εt
式中，ΔSt表示t期现货价格的变化量，ΔFt表示t期期货价格的变化量，β1表示回归方程的截距，β2表示回归方程的斜率，即套期保值比率，εt表示t期的随机误差项。
（二）广义自回归条件异方差模型（GARCH）
Engle（1982）提出了自回归条件异方差模型（ARCH），而Bollerslev（1986）发展成广义自回归条件异方模型（GARCH）。他们认为这种变化很可能是由于金融市场的波动性易受谣言、政局变动、货币政策与财政政策变化等影响，因此有理由相信误差项的条件方差不是某个自变量的函数，而是随时间变化且依赖于过去误差的大小。GARCH（1，1）模型中的套期保值比率可以通过下面的回归方程得出：
ΔS=c+ΔF×h+εΔS
σ2t=ω+αε2ΔS，t-1+βσ2t-1
式中，h为套期保值比率，σ2t表示现货价格变化的条件方差，ε2ΔS，t-1是独立同分布的随机变量，其中
h=p=p
式中，σ与σΔ分别表示现货与期货市场的价格变化的条件标准差，p是ΔS与ΔF的相关系数。
四、实证研究
（一）数据选取情况
本文通过Wind数据库，分别选取沪深300指数（代码：000300.SH）与沪深300指数期货合约IF1509且同时具有价格的交易日的指数收盘价与指数期货的结算价作为研究对象，数据选择的起止时间分别为2015年1月19日与2015年6月19日，指数与指数期货分别选取103个样本数据，总计206个。
表1 数据基本情况
从分析结果可以看到，现货市场的标准差为σΔS=87.02855，股指期货市场的标准差为σΔF=92.25126。
表2 变量相关关系
从表2中可以得到ΔS与ΔF的相关系数为0.9326702415844791，即p=0.9326702415844791。
（二）数据分析
第一，数据平稳性检验。
本文所选取的数据：沪深300指数、沪深300指数期货IF1509合约，均是时间序列，为避免“伪回归”发生，需分别对两组数据进行平稳性检验，得到表3中所示结果，从中可以得到，沪深300与IF1509合约的ADF值均小于各自所对应的临界值，说明在1%、5%与10%的显著性水平下，均能拒绝序列非平稳的原假设，说明两组数据均是十分平稳的时间序列。
表3 沪深300与IF1509合约的ADF检验
第二，数据自相关性检验。
最大滞后期选择一般取样本容量的十分之一或算数根，即若样本容量为n，最大滞后期为m，m=或在本案中，n=102，m=≈10.0995，则对沪深300与IF1509合约分别进行自相关性检验，得到结果如图1与图2中所示。
通过图1与图2，能看到沪深300与IF1509合约的各10阶滞后项，每项的直方柱状图都在2倍标准差范围内，各项的Prob.值均大于5%的显著性水平，说明两组样本没有自相关性，同时可以得出，这两组时间序列是白噪声序列，也就是纯随机序列。
图1 沪深300时间序列的自相关检验
图2 IF1509时间序列的自相关检验
第三，最小二乘法（OLS模型）分析。依据OLS模型建立的回归方程如下ΔSt=β1+β2ΔFt+εt
将两组数据代入到统计计量软件EViews中，得到如表4所示的输出结果，并可写出如下回归分析结果：
Δ=0.623772+0.879868ΔFt
t：（0.197526） （25.85507）
R2=0.869874 F=668.4846 D.W.=1.988423 表4 EViews输出结果
第四，模型检验。
从回归的结果看，可决系数R=0.869874，表明在沪深300指数总离差中，由IF1509合约的离差解释部分占86.9874%，模型的拟合优度较高，从斜率项的t检验值看，大于5%显著性水平下自由度为n-2=100的临界值①，但截距项的Prob.值为0.8438大于0.05，所以接受原假设，截距项是不显著的，虽然方程通过整体显著性水平检验（Prob（F-statistic）=0.000000），但截距项不显著，说明方程在设定上存在问题。
第五，模型调整。
对OLS模型的回归方程重新设定，不包含截距项，具体形式为
ΔSt=β3ΔFt+εt
式中，ΔSt表示t期现货价格的变化量，ΔFt表示t期期货价格的变化量，β3表示回归方程的斜率，即套期保值比率，εt表示t期的随机误差项。得到回归结果如表5所示，可建立沪深300指数与IF1509合约套期保值函数
ΔSt=0.880851ΔFt
t： （26.29081）
R2=0.869823 D.W.=1.988946
6.新模型检验。
从回归的结果看，模型拟合较好：可决系数R2=0.869823，表明期货价格变动能解释88%的现货价格变动，斜率项的Prob（t-statistic）=0.000000，说明斜率项是显著的，可认为现货价格变动量与期货价格变动量之间具有线性回归关系。同时新输出的结果中的AIC与SC值均小于旧模型，说明旧模型中的截距项是没有解释能力，也说明模型修改的正确。新的回归结果中D.W.=1.988946，查表可知在5%上下界，k=1与n=100的情况下，dL=1.654，dU=1.694，D.W.∈（dL，4-dU），说明模型无自相关。斜率项β3=0.880851≈0.88，表示期货价格价格变动1，现货价格变动0.88，即最优套期保值比率是0.88，每一份现货需要0.88份期货合约对其进行套期保值。
表5 方程调整后的EViews输出结果
7.ARCH效应检验。公式ΔSt=αΔSt-1+εt（公式①）与（ΔFt=γΔFt-1+εt公式②），建立OLS模型，并对两式残差项，进行自相关检验，得到如表6与表7所示。
表6 公式①的自相关检验
表7 公式②的自相关检验
通过以上结果可以看到，两式AC与PAC模型显著的不为0，再进行ARCH效应检验，得到如表8与表9所示结果，从中能够看出两表中的Prob.Chi-Square（1）值均大于0.05（0.3528>0.05;0.7242>0.05），说明异方差不显著，对于σΔS与σΔF的估计，可选用静态值，即σΔS=87.02855与σΔF=92.25126。对于ΔS与ΔF的相关系数p也可选用静态值，即p=0.9326702415844791。
表8 公式①的ARCH（1）效应检验结果
表9 公式②的ARCH（1）效应检验结果
根据公式h=p=p
能够得到，
h=0.9326702415844791×=0.8796687836639667≈0.879669，最优套期保值比率为0.879669。即h=0.879669。
五、套期保值效果的衡量
在套期保值效果的检验中，主要比较进行套期保值组合回报的方差比未进行套期保值组合的方差降低的比例，得出套期保值有效性，具体公式为
k=
v=σ2Δs+h2×σ2ΔF-2hpσΔsσΔF
式中，v表示运用股指期货进行套期保值的投资组合回报。OLS模型所得结果与GARCH模型所得计算结果带入进去，可得到OLS模型下与GARCH模型下的套期保值效果，如表10所示，可以看到GARCH稍优于OLS模型，但相差不大，仅在百万分之一。
表10 套期保值绩效比较
六、结论
采用OLS模型与通过GARCH方法所得到的最优套期保值比率非常接近，一方面说明沪深300指数与沪深300指数股指期货合约IF1509存在长期均衡关系，另一方面也说明从静态和动态角度分析，均能得到相同或相似的最优套期保值比率。诚然，股指期货合约是有存续期的，投资者需要在不同的股指期货合约进行选择，对数据进行实时调整，或可调整数据间的对应关系，使模型能够预测现货市场或期货市场的变动趋势。
注释
①在5%显著性水平下，t（60）=t0.025（60）=2.000，t（120）=t0.025（120）=1.980，因为100∈（60，120），所以t（100）=t0.025（100）∈（t（120），t=（60）），t0.025（100）∈（1.980，2.000），|t|=25.85507>t0.025（100），因此拒绝原假设，变量是显著的。
参考文献
[1]钟赟，杨朋君.基于OLS模型的我国铜期货的最优套期保值率研究[J].经济论坛，2009，10：19-20.
[2]胡向科.不同估计模型最优套期保值比率绩效研究[J].经济视角（下），2010，01：73-75.
[3]李路苗，梁朝晖.沪深300股指期货最优套期保值实证研究[J].华北金融，2010，01：8-10+32.
[4]崔新琰，何春雄.沪深300指数期货最优套期保值比率的估计[J].科学技术与工程，2008，15：4422-4426.
[5]杨晋璇，余渡.股指期货、最优套期保值比率与金融资产管理——基于沪深300ETF套期保值的实证[J].财会通讯，2015，11：6-11+129.
[6]高海波.股指期货不同方法套期保值比率的实证研究[J].金融经济，2015，08：111-113.
[7]李子奈，潘文卿.计量经济学[M].北京：高等教育出版社，2000.50-58.
[8]于俊年.计量经济学[M].北京：对外经济贸易大学出版社， 2014. 313-315.
[9]于俊年.计量经济学——EViews的使用[M].北京：对外经济贸易大学出版社， 2006.193-204.
[10]Don M.Chance，Robert Brooks.An Introduction to Derivatives and Risk Management [M]Beijing： China Machine Press，2015.168-169.