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在解某些有关图形的无图数学问题时，如果能够根据已知条件，正确画出大致图形，那么根据图形的直观性，有时能够使我们对问题茅塞顿开，对结论一目了然；有时能够帮助我们逻辑推理，正确判断，简捷解题.现以2008年中考试题为例说明.
例1 （天津市）在平面直角坐标系中，已知点A（-4，0）、B（2，0）.若点C在一次函数 y=-12x+2的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的点C有（ ）
（A） 1个
（B） 2个
（C） 3个
（D） 4个
解题思路：在平面直角坐标系中，画出点A（-4，0），点B（2，0），直线 y=-12x2+2，如图1.观察图1，点A、点B在 x 轴上.△ABC为直角三角形，可以有以下三种情况：
（1）A为直角顶点.过点A作 x 轴垂线，交直线 y=-12x+2于点C1，连结BC1，得Rt△ABC1，把 x=-4代入 y=-12x+2中，得 y=4，所以点C1的坐标为（-4，4）.
（2）B为直角顶点.过点B作 x 轴垂线，交直线 y=-12x+2于点C2，连结AC2，得Rt△ABC2，把 x=2代入 y=-12x+2中，得 y=1.所以点C2的坐标为（2，1）.
（3）AB为斜边.以AB为直径画圆，交直线 y=-12x+2于C3，C4两点.连结AC3，BC3，AC4，BC4.根据直径所对的圆周角是直角，得△ABC3与△ABC4均为直角三角形，所以满足条件的点C有4个，故选（D）.
若要求出直角顶点C的坐标，可设点C（x，-12x+2）根据勾股定理，有AC2+BC2=AB2，得
（x+4）2+（-12x+2）2+（x-2）2+（-12x+2）2=36，
解得 x=±455.
求得点C3（-455，10+255），C4（455，10-255）.
例2 （山东省）若A（-134，y1），B（-54，y2），C（14，y3）为二次函数 y=x2+4x-5的图象上的三点，则 y1，y2，y3 的大小关系是（ ）
（A） y1 (B) y2 (C) y3 (D) y1 解题思路:由二次函数 y=x2+4x-5=(x+2)2-9,知图象对称轴为直线 x=-2,顶点坐标为(-2,-9).
令 y=0,得方程 x2+4x-5=0,
解得 x1=-5,x2=1,
所以此抛物线与 x 轴有两个交点(-5,0),(1,0).
画出二次函数 y=x2+4x-5的大致图象如图2.
在图2中,分别过点(-134,0),(-54,0),(14,0)作 x 轴的垂线,分别交抛物线于点A,B,C,分别过A,B,C三点作 y 轴的垂线,得垂足分别为 y1,y2,y3.观察图2,知 y2 例3 (杭州市)在直角坐标系 xOy 中,点P(4,y)在第一象限内,且OP与 x 轴正半轴的夹角为60°,则 y 的值是( )
(A) 433 (B) 43 (C) 8 (D) 2
解题思路:在直角坐标系 xOy 的第一象限内画∠xOM=60°,过点A(4,0)作 x 轴的垂线交OM于点P(4,y),如图3.在Rt△PAO中,∠POA=60°,OA=4,PA=y,由锐角三角函数定义,知
PAOA=tan∠POA,
所以PA=OA•tan60°=43=y,
故选(B).
例4 (江苏省无锡市)已知平面上四点A(0,0),B(10,0),C(10,6),D(0,6),直线 y=mx-3m+2将四边形ABCD分成面积相等的两部分,则 m 的值为.
解题思路:在平面直角坐标系中画出A(0,0),B(10,0),C(10,6),D(0,6)四个点,顺次连结ABCD,如图4,易知四边形ABCD是矩形,它是一个中心对称图形.其对称中心是对角线AC与BD的交点E(5,3).因为经过矩形对称中心的任意一条直线能将矩形分成面积相等的两部分,而直线 y=mx-3m+2将矩形ABCD分成面积相等的两部分,所以这条直线必定经过对称中心E(5,3).把 x=5,y=3代入 y=mx-3m+2中,得 m=12即为所求.
（初三）
例1 （天津市）在平面直角坐标系中，已知点A（-4，0）、B（2，0）.若点C在一次函数 y=-12x+2的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的点C有（ ）
（A） 1个
（B） 2个
（C） 3个
（D） 4个
解题思路：在平面直角坐标系中，画出点A（-4，0），点B（2，0），直线 y=-12x2+2，如图1.观察图1，点A、点B在 x 轴上.△ABC为直角三角形，可以有以下三种情况：
（1）A为直角顶点.过点A作 x 轴垂线，交直线 y=-12x+2于点C1，连结BC1，得Rt△ABC1，把 x=-4代入 y=-12x+2中，得 y=4，所以点C1的坐标为（-4，4）.
（2）B为直角顶点.过点B作 x 轴垂线，交直线 y=-12x+2于点C2，连结AC2，得Rt△ABC2，把 x=2代入 y=-12x+2中，得 y=1.所以点C2的坐标为（2，1）.
（3）AB为斜边.以AB为直径画圆，交直线 y=-12x+2于C3，C4两点.连结AC3，BC3，AC4，BC4.根据直径所对的圆周角是直角，得△ABC3与△ABC4均为直角三角形，所以满足条件的点C有4个，故选（D）.
若要求出直角顶点C的坐标，可设点C（x，-12x+2）根据勾股定理，有AC2+BC2=AB2，得
（x+4）2+（-12x+2）2+（x-2）2+（-12x+2）2=36，
解得 x=±455.
求得点C3（-455，10+255），C4（455，10-255）.
例2 （山东省）若A（-134，y1），B（-54，y2），C（14，y3）为二次函数 y=x2+4x-5的图象上的三点，则 y1，y2，y3 的大小关系是（ ）
（A） y1
令 y=0,得方程 x2+4x-5=0,
解得 x1=-5,x2=1,
所以此抛物线与 x 轴有两个交点(-5,0),(1,0).
画出二次函数 y=x2+4x-5的大致图象如图2.
在图2中,分别过点(-134,0),(-54,0),(14,0)作 x 轴的垂线,分别交抛物线于点A,B,C,分别过A,B,C三点作 y 轴的垂线,得垂足分别为 y1,y2,y3.观察图2,知 y2
(A) 433 (B) 43 (C) 8 (D) 2
解题思路:在直角坐标系 xOy 的第一象限内画∠xOM=60°,过点A(4,0)作 x 轴的垂线交OM于点P(4,y),如图3.在Rt△PAO中,∠POA=60°,OA=4,PA=y,由锐角三角函数定义,知
PAOA=tan∠POA,
所以PA=OA•tan60°=43=y,
故选(B).
例4 (江苏省无锡市)已知平面上四点A(0,0),B(10,0),C(10,6),D(0,6),直线 y=mx-3m+2将四边形ABCD分成面积相等的两部分,则 m 的值为.
解题思路:在平面直角坐标系中画出A(0,0),B(10,0),C(10,6),D(0,6)四个点,顺次连结ABCD,如图4,易知四边形ABCD是矩形,它是一个中心对称图形.其对称中心是对角线AC与BD的交点E(5,3).因为经过矩形对称中心的任意一条直线能将矩形分成面积相等的两部分,而直线 y=mx-3m+2将矩形ABCD分成面积相等的两部分,所以这条直线必定经过对称中心E(5,3).把 x=5,y=3代入 y=mx-3m+2中,得 m=12即为所求.
（初三）