贵刊2010年第10期P63《巧解最省力方向》(以下简称为原文)一文，解答了如何拖动水
　　平
　　地面上的课桌，才能最省力的问题。原文解法是通过受力分析，列出了三个方程，求解方程
　　组得到F=[SX(]μmg[]cosα μsinα[SX)]，再借助数学的换元法和三角函数的和
　　差化积公式，得到tanα=μ时力F有最小值的结论。
　　笔者认为，原文解法太复杂了，算不上巧解，一般的学生也是这么求解，但由于求解过程
　　太繁琐，大部分学生知道此方法但解不出结果来，除非知道摩擦角tanα=μ这一结论。
　　其实，我们完全可以换一种真正的巧解方法，说明如下。
　　由问题知道，物体受4个力作用，由于物体受到的滑动摩擦力f和支持力N之间存在f=μN的
　　关系且相互垂直，其合力FNf大小为
　　FNf=[KF(]N2 (μN)2[KF)]=[KF(]1 μ2[KF)]?N，
　　且tanθ=μ，即方向是不变的，如图1，故可以将物体受到4个力的平衡问题转变成物体
　　受
　　3个力的平衡问题。由于拉力F、重力mg、FNf合力为0，则必有拉力F与FNf的合
　　力大小等于重力mg，方向向上。进一步将问题转化为已知恒定的合力，知道其中一分力的方
　　向，求解另一分力的极值问题(三力动态平衡问题)，画出动态受力分析图，由矢量三角形易
　　知，拉力F在垂直FNf时候有最小值，如图2，即tanα=tanθ=μ时，由三角
　　函数定义式可求F最小值为
　　Fmin=mgsinθ。
　　上述解法，即体现了物理灵活多变的特性，又没有繁杂的数学运算，口算可以得结果，应
　　该比原文方法简单、明了、高效。
　　应用上述方法，我们可以轻松的解决一道学生普遍认为较难的高考题。
　　(2009年宁夏卷21)水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为μ(0<μ<
　　1)。现对木箱施加一拉力F，使木箱做匀速直线运动。设F的方向与水平面夹角为θ，如图3
　　，在θ从0逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则
　　A。F先减小后增大　B。F一直增大
　　C。F的功率减小D。F的功率不变
　　大部分学生是按照原文提供的解法求解A、B选项的，求功率时也是将得到的F表
　　达式代
　　入公式P=Fvcosθ求解的，很多参考书也是这样给答案的，但对于学生而言，这样做不
　　仅费时耗力，正确率还很低。
　　其实，如果能够将问题进行转换，根据图2，我们很快知道，选项A是对的。因为功的定
　　义可
　　以理解为力与力方向上位移的乘积，同样功率也可以这么理解：功率等于力和力方向速度的
　　乘积，根据F与v的矢量性，功率数值上也等于速度和速度方向的力的乘积，即将P=F?v?
　　cosθ变形为P=v?Fcosθ，其中Fcosθ为力在速度方向的分量。此题题干有“木
　　箱的速度保持
　　不变”且沿水平方向，所以只需判断拉力在水平方向分量的变化情况即可，根据图2，在θ
　　从0逐渐增大到90°的过程中，力F在水平方向的投影逐渐减小，所以F的功率减小，选项C
　　对，从而知道答案为A、C。
　　上述解法，既不需要物理公式，又没有任何数学计算或数学表达式，并且正确率还高。对于
　　考场就是战场，时间就是分数的高考考场上，掌握合适恰当的方法，显得尤为重要。上述解
　　法之所以简洁方便，主要是源于对物理概念规律的深刻理解，只要掌握概念规律的内涵和外
　　延，很多时候都事半功倍，会有意想不到的高效。
　　
　　
　　
　　
　　将(3)变形可得k=CM、k′=Cm，分别代入(1)、(2)两式可得到
　　F=m[SX(]4π2[]R2[SX)]k=m[SX(]4π2[]R2[SX)]?CM=4π2C?[SX(]Mm[]R2[SX
　　)]，
　　F′=M[SX(]4π2[]R2[SX)]k′=M[SX(]4π2[]R2[SX)]?Cm=4π2C?[SX(]Mm[]R
　　2[SX)]。
　　二者的形式完全一样，此时我们才确信这对作用力和反作用力的确遵循相对称的表达形式。
　　令G=4π2C，代入上式可得：
　　F=F′=G[SX(]Mm[]R2[SX)](4)
　　即太阳与行星间的引力与太阳和行星的质量成正比，与太阳和行星间距离的二次方成反比。
　　学习了万有引力定律之后，回过头来再看前面F=4π2C?[SX(]Mm[]R2[SX)]中的常量C，
　　它与引力常量G相差4π2倍，确实是一个普适恒量。
　　虽然笔者认为上述推导过程是完备的，但百密难免一漏，若有不当，敬请各位同仁批评指正。