【摘 要】
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线性次椭圆算子理论的研究已有30多年历史,是偏微分方程微局部分析理论的一个重要分支,先后有一大批著名数学家研究过这一理论.随着研究的深入,人们将注意力转向了相应的Carn
【机 构】
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武汉大学数学研究所,武汉,430072
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线性次椭圆算子理论的研究已有30多年历史,是偏微分方程微局部分析理论的一个重要分支,先后有一大批著名数学家研究过这一理论.随着研究的深入,人们将注意力转向了相应的Carnot-Caratheodory几何理论,以及相应的非线性偏微分方程理论.近3年来,我们在非线性次椭圆方程以及相应的几何分析理论的研究方面取得了一系列重要结果.首先研究的是从一个Carnot-Caratheodory(C-C)流形到一个Riemann流形的次椭圆调和映照.因为由相应的变分问题导出的Lagrange方程组是一个退化的次椭圆拟线性方程组,我们得到了与经典情形类似的存在性与正则性结果.但由于方程是退化椭圆的,我们使用的方法与经典的完全不同.与此相连系的是C-C流形上的相应的“带权”Sobolev空间的LP的嵌入问题,我们也证明了类似经典情形的结果.但是由于现在的函数空间是各向异性的,因此我们的证明要用到高阶微局部分析理论,即所谓的Weyl-Hormander象征运算理论.接下来我们研究了C-C流形上的半线性带临界指标的次椭圆方程,为了证明解的存在性与正则性,我们还研究了相应的集中紧致原理.这3个主要的结果,形成了一个系列,对本学科发展有重要的作用,曾在法、德、意等国的国际学术会议上报告过这些工作,得到国际同行关注.下面将简单介绍这些结果,详细表述及证明见文献[1]-[3].在“国家杰出青年科学基金”的资助下,本人及本人所在课题组还开展了很多相关课题的研究,有关内容请见参考文献[4]-[9].
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