论文部分内容阅读
摘要：小学数学练习课，需要引导学生经历从“练”到“炼”的学习进阶。“练”突出的是知识技能的熟练掌握和实际应用，“炼”则更关注知识本质的提炼、学习能力和思维方法的渗透、学习习惯的烙印。贲友林老师执教的《有关分数、比的问题》练习课，注意“炼”素材：用极少素材生成丰富“题”材;“炼”思维：在关联思考中促进本质把握;“炼”习惯，在潜移默化中促进学力提升。
关键词：练习课 学习素材 思维方法 学习习惯 《有关分数、比的问题》
《有关分数、比的问题》练习课，我以前也上过。当时的我，身处奋力提升六年级教学质量的洪流之中，做了二十几张PPT，几乎淘尽了所有的教辅资料。课后，听课教师的评价是“练习设计层层深入，涵盖了所有的易错点，学生练得非常充分，正确率很高”。
直到学习了贲友林老师上的课，我才发现自己对练习课“练”的理解过于浅表化——练习课的“练”还有更为深刻的内涵，即引导学生经历从“练”到“炼”的学习进阶。
所谓“炼”，《说文解字》中释义：“铄治金也。”即通过加热使金石（金属矿物）等物质熔化从而变得纯净和坚韧。“练”和“炼”同为加工方法，“练”是水煮，而“炼”是火烧;“练”是熟能生巧，而“炼”是去芜存精。回到小学数学练习课的语境中，“练”突出的是知识技能的熟练掌握和实际应用，“炼”则更关注知识本质的提炼、学习能力的提升和思维方法的渗透、学习习惯的烙印。
接下来，让我们聚焦贲老师的这节课，一起见证“炼”的教学历程，从中领悟一些重要的策略和方法。
一、“炼”素材：用极少素材生成丰富“题”材
练习课练什么题，是教师们最关心的问题。贲老师用极少的素材生成了丰富的“题”材。整节课，贲老师只提供了两道题。
第一道题是课上呈现的基本练习：
尽管贲老师布置了课前研究学习任务，不少学生已经在学习单上做了较为深入的思考，但是，练习课最基本的教学目的不能丢，即通过一定量的习题练习巩固重难点知识，并能熟练运用。这个基本练习是贲老师精心设计的：紧紧抓住“单位‘1”’和“数量关系”这两个关键要素，顺势引导学生由“分数”想到“比”，从“份数”的角度灵活地思考，为下面的学习交流打下扎实的基础，为后续的分析问题激活思路“节点”。
第二道题是课前学习单（见图1）上的第1题。
这是一道开放题，思维的空间非常大，不同层次的学生都能尽情发挥。课前，学生的学习单基本上都写得满满当当的。课上，贲老师展示了4位学生的学习单，除了最后一位学生设计的一道题因为时间关系而留作课后思考，前面3位学生的学习单都得到了充分的交流探讨。对比我曾经设计的练习题，我发现，展示的学习单几乎涵盖了各种题型，解决分数和比的实际问题中的重难点、易错点基本上都没有疏漏。特别令人欣喜的是，在习题的呈现方式上，学生并不是一股脑儿地堆砌“好的”习题，而是经过认真地筛选、精心地整理。很多学生编创的习题以题组的形式出现，体现出从“一道题”到“一类题”的结构化思维。这是一种良好的数学思维习惯，与学生长期的实践运用息息相关。
在编创习题的过程中，学生积极主动地唤醒已有的知识经验，不断地去除次要的、表面的、形式化的东西，检索出心目中最重要的东西，并渴望与老师、同学分享。这就是贲老师所倡导的“学为中心”课堂教学理念中所说的“有准备地学”的意蕴。
贲老师课前很少做PPT，对“炼”素材有着几近严苛的备课习惯。他设计的学习单字数极少，但是留给学生独立创造的空间特别大。而我上课，一不小心就会做很多张PPT。这给我很深的启发：不管是练习课，还是其他课型，教师不要给得太多、太满，应该还给学生学习的空间，让学生学会自主思考：“我想练什么？”“我想怎么学？”……如此，我们的学生才能从“学会”走向“会学”。
二、“炼”思维：在关联思考中促进本质把握
学生带着丰富多元的题目来到课堂，怎么开展练习？练习课，比练更重要的是“思”。“我们应当通过数学教学，让学生一天比一天更加智慧，一天比一天更加聪明，即应当努力促进学生思维的发展与理性精神的养成。”（郑毓信）
贲老师没有让学生依次“晾晒”学习单，顺次解答题目，而是以3份学习单为载体，引导学生紧紧围绕多角度的对比练习，抓住知识本质，展开纵横交错的关联思考。学生深度卷入分析、质疑、提炼和概括等学习历程，砥砺其思维不断进阶。
本节课中的关联思考主要有以下几处，每一处都有无法预料的惊喜。
（一）对比习题，提高效率
课前学习单上有那么多学生自编的习题，课上教师不可能一网打尽。贲老师有意识地引导学生对比分析这些习题，打通它们之间的关联，从而“以点带面”，大大提高练习的效率。
第一位学生（沈辰谕）展示学习单（见下页图2，其中罗列了4组不同的条件，共12小题）后，贲老师只和学生重点交流了第一小题。
然后，贲老师做了很好的方向性引导，定下了对比练习的课堂基调——
师这样，给你们一个挑战：下面你们要介绍的哪道题和这一题可以做对比？
生（沈辰谕）我觉得是第二个条件中的第一个问题：小刚有y张，求小明的张数。这个问题与第一个问题可以比较一下。
（全班热烈掌声。）
师刚才沈辰谕说什么？
生（刘珩歆）他说，与第一个问题对应的是已知小刚的张数，求小明的张数。
师（在沈辰谕的这两个问题下画线）谁来比较一下？
生（沈辰諭，指着板书）我觉得这两题，第一题要逆着想，要求小刚的张数，用除法;第二题要求小明的张数，用乘法，是顺着想的。（全班掌声。）
师（指关系式）刚才柯欣怡、沈辰谕都是围绕这个关系式进行比较的。我想，如果把沈辰谕补充的这两个条件中的问题都介绍一番，那需要很长的时间。请大家想一想：补充的这两个条件中的其他问题，要不要再分析了？ 生不要。
师为什么？
生第一个问题是后面问题的基础。
师是的，沈辰谕在补充条件、问题时是很有顺序的，第一个问题解决了，后面的两个问题就接着都解决了。下面，我们继续交流沈辰谕补充的第三个条件中的问题。
（二）关联知识，拓宽思路
本节课的教学目标是引导学生进一步掌握有关分数乘、除法应用问题的分析方法，能从分数意义、比的角度灵活思考，正确解答。除了对比不同的题目，贲老师还引导学生关联不同的知识，沟通分数和比的联系，拓宽解题的思路，从分数解法的计算步骤到比方法的数学思考，促进学生的思维不断进阶。
（沈辰谕讲完他补充的第三个条件中的第一个问题——）
生（顾博涵，同步板演）由“小明的画片张数是小刚的2/5”可知，小明的画片张数与小刚的画片张数的比是2：5，他们一共有7份。一共有105张，105除以7，得到1份的，再乘2，得到小明的。
师具体得多少，不算了。不同的同学，有不同的想法。他们讲完之后，大家要进行比较。
生（钟晓源）我们可以拿这一题和前面两题做对比。前面两题都是告诉你一个人有多少，也就是一个人的份数;而这一题告诉你的是两个人一共有多少，也就是两个人一共的份数。
（三）转换模式，推进思维
当算术解法得到充分的交流后，学生的认知处于一种平衡状态。贲老师继续激发学生的认知冲突，推进学生的思维。
师这样的方法，有些同学还有点晕。还有更简单的方法。
（学生一下子有些不知所措。）
师（轻轻地）用方程来做。
生（恍然大悟）噢。
师刚才为什么还要补充方程解法呢？（学生通过交流，体会到不管是整数思路，还是分数思路，都是逆着想的，而用方程是顺着题意想的，这样更简单。）
（四）进一步对比习题的编排特点
传统的练习课上，“教师出题一学生做题一教师反馈一再出题一再做题一再反馈”是一个以追求高正确率为核心的闭环，几乎看不到学生对习题相互关联、编排结构等方面的见解。有些教师认为，期末考试考什么，我们就练什么，刻苦训练是最现实的。这种功利化的习题教学观亟待转变。高年级学生具有一定的知识和能力储备，他们既是练习题的解答者，又可以是练习题的命题人和评审人。
本节课上，第二位学生（张惟天）展示学习单（见图3）时，把自己按问题分成5大类的想法和第一位学生按条件分成4大类的想法进行对比。这时，学生已经跳出习题的解答过程，站在习题编排结构的高度，来俯瞰一道道习题。这是非常高级的关联思维和整体思维。
课尾，贲老师又推荐了一位学生独立设计的一道题（见图5）。这道题用“比”的形式构建了数量关系，新增的条件比较复杂，很有思维含量，吸引着学生灵活选用分数乘除法、比的知识、列方程等方法解决问题。
三、“炼”习惯，在潜移默化中促进学力提升
良好的学习习惯是学生获得学业发展、学力提升的核心力量。听过贲老师课的教师都无比羡慕他的学生：实在是太厉害了，数学学习习惯非常好，卷入思考的速度快、互动交流的程度深、批判创新的角度多。那么，他的学生是怎么“久炼成钢”的呢？让我们通过这节练习课做初步的分析。
（一）建设“负责任、有效益”的小组交流
当下的很多课堂中，学生的小组交流浮于表面：每个学生读一遍自己的学习单，一圈转下来就结束了。小组交流要负责任、有效益。
贲老师在学生小组交流之前，郑重提出要求：“请大家拿出课前做的材料，注意交流：我补充时，是怎样想的？稍后向全班匯报时，我们小组能否有序地汇报？这里所说的有序，是指问题由简单到复杂、由容易到困难。这是第一点。第二点，我之前看过，有些同学还有一些错误，那小组交流的时候，要看看自己是不是有错。如果有错，要在小组里纠正一下;如果你觉得这个错很典型，可以放到全班交流。”这样的要求聚焦有序思考和错题反思这两点，使得学生的小组交流更负责任、更有实效。
课堂上，学生小组交流用时近5分钟，组内学生彼此尊重、有序表达，互相碰撞、互相启发，培养了良好的合作交流习惯。有质量的小组交流所产生的思维成果将成为下一步全班交流的基础。
（二）开展“全卷入、深推进”的课堂互动
学生良好的学习习惯不是封闭的、静止的，而应该与数学、与同伴、与自己建立深度互动。首先是在知识之间寻找联结。学生需要在开阔的视野里看到知识之间的关联，使得头脑里不再是孤立的、碎片化的知识，而是拥有整体性结构的思维。贲老师说，教师要帮助学生把所学的知识装上“钩子”，将知识建立联系。比如，本节练习课，贲老师组织学生沟通分数与比的联系，关注算术解法与方程解法的灵活选择等。久而久之，学生会慢慢建立起结构化的思维习惯。
深度互动还体现在学生个体与学习同伴之间，比如师生互动、生生互动。在互动交流的过程中，教师要引导学生既关注自己的想法，又关注他人的想法，进一步地，关注自己想法和他人想法之间的联系。贲老师喜欢抽签选择学生到讲台前面，以此组织全班的交流。学生随时可以到讲台前面参与讲解，随时可以做出补充，台上台下的每一个人都全身心卷入，把自己的想法和他人的观点建立联结。因此，贲老师说：“我虽然在课前深入阅读过每一个学生的学习单，但是永远不知道课堂上下一分钟会发生什么。”
此外，还有一种隐秘的互动是学生与自我的互动，在自我调节中学习。例如，通过“我会倾听”“我要表达”“我有质疑”“我回头看”“我为什么错了”等积极的提示开展学习的反思与调整。与自我互动，有利于培养反省性思维，极大地促进数学学习能力的提升。
（三）烙印“尊重每一个”的学习痕迹
对于学习单上的开放题，全班学生呈现出参差不齐的思维水平。例如，有的学生对同学的问题改编十分欣赏;而有的学生则保持理性审视的态度，考虑改编问题的合理性。对此，贲老师尊重差异，包容不同学生的不同思维水平。
课堂上还有一个细节。学生小组交流完毕后，每一个小组都迫不及待地想到讲台前面与全班分享。贲老师像平时那样，提议通过抽签选择分享的小组。那么，由谁来抽签呢？这次，贲老师没有自己来，而是邀请柯欣怡来抽签，并做出说明：“邀请柯欣怡，是因为之前她的补充发言，让我们发现她听得特别仔细。”合情合理、有根有据的话语，在潜移默化中渗透了关于倾听学习习惯的培养，让每一个学生看到了老师对他们的尊重和欣赏。
关键词：练习课 学习素材 思维方法 学习习惯 《有关分数、比的问题》
《有关分数、比的问题》练习课，我以前也上过。当时的我，身处奋力提升六年级教学质量的洪流之中，做了二十几张PPT，几乎淘尽了所有的教辅资料。课后，听课教师的评价是“练习设计层层深入，涵盖了所有的易错点，学生练得非常充分，正确率很高”。
直到学习了贲友林老师上的课，我才发现自己对练习课“练”的理解过于浅表化——练习课的“练”还有更为深刻的内涵，即引导学生经历从“练”到“炼”的学习进阶。
所谓“炼”，《说文解字》中释义：“铄治金也。”即通过加热使金石（金属矿物）等物质熔化从而变得纯净和坚韧。“练”和“炼”同为加工方法，“练”是水煮，而“炼”是火烧;“练”是熟能生巧，而“炼”是去芜存精。回到小学数学练习课的语境中，“练”突出的是知识技能的熟练掌握和实际应用，“炼”则更关注知识本质的提炼、学习能力的提升和思维方法的渗透、学习习惯的烙印。
接下来，让我们聚焦贲老师的这节课，一起见证“炼”的教学历程，从中领悟一些重要的策略和方法。
一、“炼”素材：用极少素材生成丰富“题”材
练习课练什么题，是教师们最关心的问题。贲老师用极少的素材生成了丰富的“题”材。整节课，贲老师只提供了两道题。
第一道题是课上呈现的基本练习：
尽管贲老师布置了课前研究学习任务，不少学生已经在学习单上做了较为深入的思考，但是，练习课最基本的教学目的不能丢，即通过一定量的习题练习巩固重难点知识，并能熟练运用。这个基本练习是贲老师精心设计的：紧紧抓住“单位‘1”’和“数量关系”这两个关键要素，顺势引导学生由“分数”想到“比”，从“份数”的角度灵活地思考，为下面的学习交流打下扎实的基础，为后续的分析问题激活思路“节点”。
第二道题是课前学习单（见图1）上的第1题。
这是一道开放题，思维的空间非常大，不同层次的学生都能尽情发挥。课前，学生的学习单基本上都写得满满当当的。课上，贲老师展示了4位学生的学习单，除了最后一位学生设计的一道题因为时间关系而留作课后思考，前面3位学生的学习单都得到了充分的交流探讨。对比我曾经设计的练习题，我发现，展示的学习单几乎涵盖了各种题型，解决分数和比的实际问题中的重难点、易错点基本上都没有疏漏。特别令人欣喜的是，在习题的呈现方式上，学生并不是一股脑儿地堆砌“好的”习题，而是经过认真地筛选、精心地整理。很多学生编创的习题以题组的形式出现，体现出从“一道题”到“一类题”的结构化思维。这是一种良好的数学思维习惯，与学生长期的实践运用息息相关。
在编创习题的过程中，学生积极主动地唤醒已有的知识经验，不断地去除次要的、表面的、形式化的东西，检索出心目中最重要的东西，并渴望与老师、同学分享。这就是贲老师所倡导的“学为中心”课堂教学理念中所说的“有准备地学”的意蕴。
贲老师课前很少做PPT，对“炼”素材有着几近严苛的备课习惯。他设计的学习单字数极少，但是留给学生独立创造的空间特别大。而我上课，一不小心就会做很多张PPT。这给我很深的启发：不管是练习课，还是其他课型，教师不要给得太多、太满，应该还给学生学习的空间，让学生学会自主思考：“我想练什么？”“我想怎么学？”……如此，我们的学生才能从“学会”走向“会学”。
二、“炼”思维：在关联思考中促进本质把握
学生带着丰富多元的题目来到课堂，怎么开展练习？练习课，比练更重要的是“思”。“我们应当通过数学教学，让学生一天比一天更加智慧，一天比一天更加聪明，即应当努力促进学生思维的发展与理性精神的养成。”（郑毓信）
贲老师没有让学生依次“晾晒”学习单，顺次解答题目，而是以3份学习单为载体，引导学生紧紧围绕多角度的对比练习，抓住知识本质，展开纵横交错的关联思考。学生深度卷入分析、质疑、提炼和概括等学习历程，砥砺其思维不断进阶。
本节课中的关联思考主要有以下几处，每一处都有无法预料的惊喜。
（一）对比习题，提高效率
课前学习单上有那么多学生自编的习题，课上教师不可能一网打尽。贲老师有意识地引导学生对比分析这些习题，打通它们之间的关联，从而“以点带面”，大大提高练习的效率。
第一位学生（沈辰谕）展示学习单（见下页图2，其中罗列了4组不同的条件，共12小题）后，贲老师只和学生重点交流了第一小题。
然后，贲老师做了很好的方向性引导，定下了对比练习的课堂基调——
师这样，给你们一个挑战：下面你们要介绍的哪道题和这一题可以做对比？
生（沈辰谕）我觉得是第二个条件中的第一个问题：小刚有y张，求小明的张数。这个问题与第一个问题可以比较一下。
（全班热烈掌声。）
师刚才沈辰谕说什么？
生（刘珩歆）他说，与第一个问题对应的是已知小刚的张数，求小明的张数。
师（在沈辰谕的这两个问题下画线）谁来比较一下？
生（沈辰諭，指着板书）我觉得这两题，第一题要逆着想，要求小刚的张数，用除法;第二题要求小明的张数，用乘法，是顺着想的。（全班掌声。）
师（指关系式）刚才柯欣怡、沈辰谕都是围绕这个关系式进行比较的。我想，如果把沈辰谕补充的这两个条件中的问题都介绍一番，那需要很长的时间。请大家想一想：补充的这两个条件中的其他问题，要不要再分析了？ 生不要。
师为什么？
生第一个问题是后面问题的基础。
师是的，沈辰谕在补充条件、问题时是很有顺序的，第一个问题解决了，后面的两个问题就接着都解决了。下面，我们继续交流沈辰谕补充的第三个条件中的问题。
（二）关联知识，拓宽思路
本节课的教学目标是引导学生进一步掌握有关分数乘、除法应用问题的分析方法，能从分数意义、比的角度灵活思考，正确解答。除了对比不同的题目，贲老师还引导学生关联不同的知识，沟通分数和比的联系，拓宽解题的思路，从分数解法的计算步骤到比方法的数学思考，促进学生的思维不断进阶。
（沈辰谕讲完他补充的第三个条件中的第一个问题——）
生（顾博涵，同步板演）由“小明的画片张数是小刚的2/5”可知，小明的画片张数与小刚的画片张数的比是2：5，他们一共有7份。一共有105张，105除以7，得到1份的，再乘2，得到小明的。
师具体得多少，不算了。不同的同学，有不同的想法。他们讲完之后，大家要进行比较。
生（钟晓源）我们可以拿这一题和前面两题做对比。前面两题都是告诉你一个人有多少，也就是一个人的份数;而这一题告诉你的是两个人一共有多少，也就是两个人一共的份数。
（三）转换模式，推进思维
当算术解法得到充分的交流后，学生的认知处于一种平衡状态。贲老师继续激发学生的认知冲突，推进学生的思维。
师这样的方法，有些同学还有点晕。还有更简单的方法。
（学生一下子有些不知所措。）
师（轻轻地）用方程来做。
生（恍然大悟）噢。
师刚才为什么还要补充方程解法呢？（学生通过交流，体会到不管是整数思路，还是分数思路，都是逆着想的，而用方程是顺着题意想的，这样更简单。）
（四）进一步对比习题的编排特点
传统的练习课上，“教师出题一学生做题一教师反馈一再出题一再做题一再反馈”是一个以追求高正确率为核心的闭环，几乎看不到学生对习题相互关联、编排结构等方面的见解。有些教师认为，期末考试考什么，我们就练什么，刻苦训练是最现实的。这种功利化的习题教学观亟待转变。高年级学生具有一定的知识和能力储备，他们既是练习题的解答者，又可以是练习题的命题人和评审人。
本节课上，第二位学生（张惟天）展示学习单（见图3）时，把自己按问题分成5大类的想法和第一位学生按条件分成4大类的想法进行对比。这时，学生已经跳出习题的解答过程，站在习题编排结构的高度，来俯瞰一道道习题。这是非常高级的关联思维和整体思维。
课尾，贲老师又推荐了一位学生独立设计的一道题（见图5）。这道题用“比”的形式构建了数量关系，新增的条件比较复杂，很有思维含量，吸引着学生灵活选用分数乘除法、比的知识、列方程等方法解决问题。
三、“炼”习惯，在潜移默化中促进学力提升
良好的学习习惯是学生获得学业发展、学力提升的核心力量。听过贲老师课的教师都无比羡慕他的学生：实在是太厉害了，数学学习习惯非常好，卷入思考的速度快、互动交流的程度深、批判创新的角度多。那么，他的学生是怎么“久炼成钢”的呢？让我们通过这节练习课做初步的分析。
（一）建设“负责任、有效益”的小组交流
当下的很多课堂中，学生的小组交流浮于表面：每个学生读一遍自己的学习单，一圈转下来就结束了。小组交流要负责任、有效益。
贲老师在学生小组交流之前，郑重提出要求：“请大家拿出课前做的材料，注意交流：我补充时，是怎样想的？稍后向全班匯报时，我们小组能否有序地汇报？这里所说的有序，是指问题由简单到复杂、由容易到困难。这是第一点。第二点，我之前看过，有些同学还有一些错误，那小组交流的时候，要看看自己是不是有错。如果有错，要在小组里纠正一下;如果你觉得这个错很典型，可以放到全班交流。”这样的要求聚焦有序思考和错题反思这两点，使得学生的小组交流更负责任、更有实效。
课堂上，学生小组交流用时近5分钟，组内学生彼此尊重、有序表达，互相碰撞、互相启发，培养了良好的合作交流习惯。有质量的小组交流所产生的思维成果将成为下一步全班交流的基础。
（二）开展“全卷入、深推进”的课堂互动
学生良好的学习习惯不是封闭的、静止的，而应该与数学、与同伴、与自己建立深度互动。首先是在知识之间寻找联结。学生需要在开阔的视野里看到知识之间的关联，使得头脑里不再是孤立的、碎片化的知识，而是拥有整体性结构的思维。贲老师说，教师要帮助学生把所学的知识装上“钩子”，将知识建立联系。比如，本节练习课，贲老师组织学生沟通分数与比的联系，关注算术解法与方程解法的灵活选择等。久而久之，学生会慢慢建立起结构化的思维习惯。
深度互动还体现在学生个体与学习同伴之间，比如师生互动、生生互动。在互动交流的过程中，教师要引导学生既关注自己的想法，又关注他人的想法，进一步地，关注自己想法和他人想法之间的联系。贲老师喜欢抽签选择学生到讲台前面，以此组织全班的交流。学生随时可以到讲台前面参与讲解，随时可以做出补充，台上台下的每一个人都全身心卷入，把自己的想法和他人的观点建立联结。因此，贲老师说：“我虽然在课前深入阅读过每一个学生的学习单，但是永远不知道课堂上下一分钟会发生什么。”
此外，还有一种隐秘的互动是学生与自我的互动，在自我调节中学习。例如，通过“我会倾听”“我要表达”“我有质疑”“我回头看”“我为什么错了”等积极的提示开展学习的反思与调整。与自我互动，有利于培养反省性思维，极大地促进数学学习能力的提升。
（三）烙印“尊重每一个”的学习痕迹
对于学习单上的开放题，全班学生呈现出参差不齐的思维水平。例如，有的学生对同学的问题改编十分欣赏;而有的学生则保持理性审视的态度，考虑改编问题的合理性。对此，贲老师尊重差异，包容不同学生的不同思维水平。
课堂上还有一个细节。学生小组交流完毕后，每一个小组都迫不及待地想到讲台前面与全班分享。贲老师像平时那样，提议通过抽签选择分享的小组。那么，由谁来抽签呢？这次，贲老师没有自己来，而是邀请柯欣怡来抽签，并做出说明：“邀请柯欣怡，是因为之前她的补充发言，让我们发现她听得特别仔细。”合情合理、有根有据的话语，在潜移默化中渗透了关于倾听学习习惯的培养，让每一个学生看到了老师对他们的尊重和欣赏。