浅谈解数学应用题的对策

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  数学应用题是近几年来数学高考中的重点、难点。随着新课程、新高考改革的深入,数学应用题的题量、分值也在逐渐增大,并已成为高考中的热点问题。因此,如何让学生解好数学应用题在教学中是一个难点,而学生又普遍有畏难惧怕的思想。究其原因:一是题目信息量大、学生读不懂题目;二是将实际问题转化成数学模型的能力差;三是解题中不能化归为熟悉的数学问题,用数学方法解答。因此,在数学教学中我们必须重视数学应用题的教学。
  
  一、加强数学应用意识与能力的培养
  
  加强数学知识的应用是近几年数学教改的热点,新编高中数学教材把培养学生应用数学的意识贯穿在教材编写的始终。教材的大部分章节的引入都是从实际中提出问题,并且在每节的例题、练习中增加了大量的联系实际的内容。如集合与简易逻辑以运动会参赛人数的计算问题引入;数列以一个关于国际象棋的传说故事引入;数列中的阅读材料“有关储蓄的计算”和研究性课题“分期付款中的有关计算”等,就是为了数学应用意识和能力的培养的需要。
  在教学中如何来培养学生的数学应用意识和能力呢?(1)拓宽对数学的认识,让学生懂得数学的价值,提高学生学习数学的兴趣;(2)通过“数学建模”的活动和教学,把培养学生用数学的能力落到实处;(3)实施“问题解决”形式教学,培养学生应用意识和解决应用问题的能力。
  
  二、审题是解题的先导与必要环节,是正确解题的基础和前提
  
  1.咬文嚼字,抓住“题眼”。题眼,是一道命题的关键,也是命题者考查目的的重点,所以抓住题眼,从题眼入手进行探索研究,可以起到以点带线、以点带面的作用,从而实现一通皆通。
  2.认真推敲,挖掘隐含。每道习题中有些是难以察觉的隐含条件,能否得出正确答案往往取决于能否挖掘出这些条件,这就增加了试题的难度,使学生不易解答。但如果在审题过程中,善于挖掘题内隐含条件,从中得到启示,就能提高解答问题的准确性。
  3.审清题意,排除定势。观察某一事物或了解某一事情立刻回想到曾发生过的类似事情,并且断定结果和以前相同,这就是思维定势,那就往往会出现错误。
  4.多方审题,寻找佳径。数学题蕴涵的数学关系的多样性与复杂性加上解题者不同的审视角度,可使同一问题往往会有多种不同的解法,也就存在着解题的最佳途径。
  
  三、重视基本方法和基本解题思想的渗透与训练
  
  为培养学生的应用意识,提高学生分析问题、解决问题的能力,首先应该结合具体问题,熟练掌握解答应用题的基本方法、步骤和建模过程、思想,以及解应用题的常规思路:将实际问题抽象、概括、转化为数学问题,然后解决数学问题,回答实际问题。具体可以按以下程序进行:
  1.审题。由于数学应用的广泛性及实际问题非数学情景的多样性,往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的问题,舍弃与数学无关的因素,抽象转化成数学问题,分清条件和结论,理顺数量关系。为此,引导学生从粗读到细研,冷静、慎密地阅读题目,明确问题中所含的量及相关量的数学关系。对学生生疏的情景、名词、概念作必要的解释和提示,以帮助学生将实际问题数学化。
  2.建模。明白题意后,再进一步引导学生分析题目中各量的特点,哪些是已知的,哪些是未知的。是否可用字母或字母的代数式表示?它们之间存在着怎样的联系?将文字语言转化成数学语言或图形语言,找到与此相联系的数学知识,建成数学模型。
  3.求解数学问题,得出数学结论。
  4.还原。将得到的结论,根据实际意义适当增删,还原为实际问题。
  例:某城市现有人口总数100万人,如果年自然增长率为1.2%,写出该城市人口总数y(人)与年份x(年)的函数关系式。
  这是一道人口增长率问题,教学时为帮助学生审题,我在指导学生阅读题时,提出以下要求:
  (1)粗读。题目中涉及到哪些关键语句,哪些有用信息?解释“年自然增长率”的词义,指出:城市现有人口、年份、增长率,城市变化后的人口数等关键量。
  (2)细想。问题中各量哪些是已知的,那些是未知的,存在怎样的关系?
  (3)建模。启发学生分析这道题与学过的、见过的哪些问题有联系,它们是如何解决的?对此有何帮助?
  学生讨论后,从特殊的1年、2年……抽象归纳,寻找规律,探讨x年的城市总人口问题:y=100(1+1.2%)x。
  “应用”是一个非常大的话题,不但是课程教材改革的问题,而且还涉及教学、学习、评价(考试)等等。我认为,“应用”最主要的是教学思想的问题,即在教学中培养学生的应用意识,从“出口”着眼,从“入口”着手。课程教材和评价(考试)只是培养学生应用意识过程的一个必不可少的环节,更重要的是要在平时的教学中去实现。需要注意的是,应用题只是深化数学素质教育的方向之一,要坚持下去,在实践中大胆探讨。但也要避免赶时髦,不顾师资、校情、学生水平等盲目搞数学建模,那样只会适得其反。
  数学来源于实践,当然得反过来服务于实践。我们的数学教学,如何使学生学习好一些以适应今后日常生活、参加生产和进一步学习所必需的数学基础知识与基本技能,使他们能够运用所学知识解决简单的实际问题,这是我们数学教育工作者所负担的一项重大任务。■
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