学生每次作业都或多或少有些错误，且造成错误的原因是复杂的.这就要求我们研究导致错误的原因，对症下药，以课堂为中心改进教学，防范错误，提高学生数学学习的成效.
　　1 忽视概念的实际背景
　　数学概念的产生有其特定的背景，忽视这一背景就极易导致解题失误.
　　例1 设点P到点F(0， 1)的距离与它到直线l: x+y?1= 0的距离相等，则点P的轨迹是
　　A.抛物线 B.椭圆 C.双曲线 D.一条直线
　　错解 根据抛物线定义，选A.
　　剖析 错因是忽视抛物线定义中“点F不在直线l上”的几何背景.
　　防范策略 教学中要重视圆锥曲线图形产生过程的实验演示.指出：不同的几何背景产生不同的轨迹，使学生深刻认识每一种具体圆锥曲线的特定几何背景（如点P到定点F的距离与它到定直线l的距离相等：（ⅰ）当点F在l上时，点P的轨迹是一条直线；（ⅱ）当点F不在l上时，点P的轨迹是抛物线）.从而有效避免此类错误的发生.
　　2 忽视特例
　　当特例不包含于一般情形之内时，如忽视对特殊情况进行具体讨论，就会造成解题疏漏.
　　例2 过点P(2， 4)作圆C:(x?1)2+(y?2)2=1的切线l，求切线l的方程.
　　错解 设切线l的方程为：y?4=k( x?2).
　　由圆心C(1， 2)到切线l的距离
　　2
　　1+?k
　　k
　　2
　　=1，解得k =34，所求切线l的方程为y?4=4
　　3(x?2)，
　　即3x?4y+10=0.
　　剖析 所设切线l方程蕴含限制条件，其前提是斜率k存在.很明显，点P在圆C外，这样的切线应该有两条，说明另一条切线的斜率不存在，其方程为x =2.切线l有两条：3x?4y+10=0以及x =2.
　　防范策略 教学中要引导学生重视知识生成中的一些特殊规定，加强思维严谨性训练，培养周密思考的习惯.
　　3 以一概全
　　有些数学问题有多种结果，如果只满足于一种结果，缺乏全面考虑，就会造成漏解.
　　例3 已知长方形纸片ABCD中，AB =4，CD =2，将该纸片作为一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积.
　　错解 设底圆半径为r，则2π?r=4
　　圆柱的体积V=π?r2?CD=π8.
　　剖析 此处只考虑了以AB作为底圆周长的情况，忽视了以CD作为底圆周长也合乎题意.而当2π?r=2时，V=π?r2?AB=π4.所以圆柱的体积为8
　　π
　　或4π.
　　防范策略 教学中引导学生多角度审视命题，探究命题可能蕴含的多种情形，就能克服浅尝辄止，有效防范因考虑片面导致的漏解.
　　4 忽视公式（定理）成立的条件
　　教学中经常发现，学生因忽视公式、定理成立的条件，导致错误结果.
　　例4 已知a >0，b >0，且a+ b =1，求2a+3b的最小值.
　　错解 ∵a >0，b >0，且a+ b =1.
　　∴ab≤??? a+2 b?
　　??
　　2
　　=14（1）.又
　　a2+3b≥2
　　a6b（2），
　　所以
　　a2+3b≥4 6，即
　　a 2+b3有最小值4 6.
　　剖析：不等式（1）中“=”成立的条件为a=b=12，不等式（2）中“=”成立的条件为3a =2 b，即a =25，b =53，可见，这两个“=”号不能同时成立，应变换解题途径.
　　事实上，∵a+ b =1 ，∴2a+b3=2(a
　　a+ b)+3(a
　　b+ b)
　　=5+2ab+
　　3ba≥5+
　　2 6，当且仅当3a2=2b2时“=”成立，故
　　a2+b3的最小值为5+ 2 6.防范策略：教学中重视知识发生过程的展示，使学生深刻认知公式、定理成立的前提条件，能有效避免此类错误.
　　5 混淆“词义”与实际含义的差异
　　忽视“词义”与实际含义的差别，导致解题错误时，往往是错而不觉.
　　例5 生产某种产品100件，其中有2件是次品.现在抽取5件进行检查，其中至少有1件次品的抽法有多少种？
　　错解：先从2件次品中选出1件，有C12种选法，此时已确保有1件次品.再从余下的99件中任选4
　　件，有C499种选法，共有C12? C94 9种不同选法.
　　剖析：此处错误十分隐蔽，原因是“至少”一词惹的祸.词义的理解似乎没有什么问题，实际却存在重复计算的错误.
　　防范策略：教学中可将问题具体化.不妨以a1、a2表示次品，以C1、C2、…、C98表示正品.先取a1，再取C1、C2、C3、 a2与先取 a2，再取C1、C2、C3、
　　a1
　　属于同一种选取方案，它们都在C12? C94
　　9种选法中.可见，上述解答中含有C22?C9
　　3 8种重复选法.正确答案是：C12?C94
　　9?C22?C398种不同选法.学生借助具体模型进行辨析，印记深刻，能有效避免重蹈覆辙.
　　6 遗漏题设条件
　　解题时忽视题设条件的限制，是造成失误的重要原因之一.
　　例6 已知双曲线x2?y2=1的左支上一点P( a，b)到其渐近线的距离等于2，求a+b的值.
　　错解：∵点P( a，b)在双曲线x2?y2=1上，∴a2?b2=1…①，由点P到渐近线x?y=0的距离a?2b
　　=2，得a? b=2… ②，解①、②得a+b=±12.再由点P到渐近线x+y=0的距离a+
　　2b
　　=2，得a+ b =±2.故a+ b的值为±2 1或±2.
　　剖析：解答中遗漏了点P在双曲线左支上这个条件，即忽视了点P的坐标(a，b)应满足：
　　???aa+? bb <
　　<00这个条件，正确结果是a+ b等于?12或?2.
　　防范策略：解题时，引导学生沉着冷静，克服急于求成的情绪，养成逐字逐句细心读题的习惯，就能避免粗心大意导致的失误.
　　7 忽视隐含条件
　　有些问题受到一些隐含条件的制约，如不充分挖掘，常会导致谬误.
　　例7 已知在△ABC中，sinA =153，cosB =54，求sinC的值.
　　错解：在△ABC中，cosB =45，
　　∴sinB=35.sinA =153，∴cosA=1 13 2或?1
　　1
　　23. sinC=sin(A+ B)=sinAcosB+cosA sinB=5 6 65或?1665.剖析：若sinC =?1 665<0，则C >180°，结果谬误.错因是忽视了三角形内角和A+ B+ C=180°这个隐含条件.因为cosB =45时，B >30°；若cosA =?1
　　12 3
　　则A >150°，导致A+ B>180°，故正确答案为sinC =5
　　6
　　65.
　　防范策略：解题时除了要把握题设中的隐含条件，还要注意知识体系隐含的制约条件，并作为解题的依据，做到步步有据，严谨踏实，才能有效避免此类错误的发生.
　　8 忽视推理
　　解题时忽视严谨推理，依据错觉想当然地得出结论，也是学生常犯的毛病之一.
　　例8 如图，长方形ABCD中，AB =2，BC =1，E为DC的中点，F为线段EC（除端点外）上的动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，设AK=t，求t的取值范围.
　　错解：
　　DEFCD H H
　　E
　　F
　　C
　　A
　　K
　　BA
　　K
　　B
　　图1图2
　　设DF=x，则1　　DAKH
　　=AAHD
　　，得AK=1+xx2
　　，
　　因(1， 2)是函数
　　1+xx2
　　的单调递减区间，所以AK∈?
　　??52，12??
　　?，即t的取值范围是?
　　??25，12???.
　　剖析：错因是由DH⊥AF，HK⊥AB想当然地得出DK⊥AB所致.事实上，应由平面ABD⊥平面ABC，DK⊥AB，作DH⊥AF，推出KH⊥AF(如图2)，得AK=1x，所以
　　2 1　　防范策略：教学中要充分利用学生解题错误的生成资源，现场辨析、纠正，适时列举反例，引导学生克服想当然的毛病，逐渐养成言之有理、推理有据的良好思维习惯.
　　9 知识负迁移
　　解题时忽视知识体系的变化，沿用原有情境下的知识误入歧途后，往往还不知错在何处.
　　例9已知两个等差数列{an }，{bn }的前n项的和分别为Sn和 Tn，若S
　　Tnn=3
　　nn++21，求a b55的值.
　　错解：因S
　　Tnn=3
　　nn++21，可设Sn
　　=k(3n+1)，
　　Tn
　　=k( n+2)(k≠0)，则a5
　　=S5?S4
　　=3k，
　　b5
　　=T5
　　?T4
　　=k，所以a
　　b55=3.
　　剖析：这里误用初中学过的比例性质致错，等差数列前n项和应为n的二次函数，故k不是常数，不可以运用比例性质.应根据等差数列的公式、性质得a
　　b55=b
　　a11
　　++ab99
　　=T
　　S
　　9
　　9=3
　　9×+9+2 1=1
　　2
　　18.也可设Sn
　　=
　　kn(3 n+1)，Tn
　　=kn( n+2)，求得a5
　　=S5
　　?S4
　　=28k，b5
　　=T5?T4
　　=11k，可得正确结果.
　　防范对策：教学中应加强情境变化时同类知识的比较，完善认知结构.及时列举反例，揭示差异，防止知识负迁移的产生.
　　10 误用逻辑关系
　　学生解题时误用逻辑关系导致谬误的现象也很常见，而且这种错误不易被发现.
　　例10各项均为正数的等比数列{an }，其前n项和为Sn，首项a1 =2，公比q =12.若对任意正整数k以及正数c( c≤3)都有S
　　S
　　k
　　k
　　+1??cc<2恒成立，求c的取值范围.
　　错解：由题设得Sn
　　=4×???1????21???n
　　??
　　??，
　　化S
　　S
　　k
　　k
　　+1
　　??cc<2
　　为
　　c
　　c
　　?
　　?[[
　　4
　　4?
　　?
　　6
　　4×
　　×??
　　????2112
　　??????
　　kk
　　]
　　]
　　>0，则对任意正整数k都有
　　c>4? 4×???
　　12???k
　　…（1）成立或c<4? 6×?
　　??12???k
　　…（2）
　　成立.
　　欲使（1）式成立，得c≥4；欲使（2）式成立，c <1.又0　　剖析：错因是误用了逻辑关系.从逻辑角度考虑，命题“对于任意实数x，p∨g恒成立”不等价于命题“对于任意实数x，p恒成立或对于任意实数x，q恒成立”.以下实例清楚地说明了这一点.
　　（1）当k =1时，应有c <1或c >2；
　　（2）当k =2时，应有0　　（3）当k =3时，应有c <1 43或c >72；当k≥3时，4? 4×?
　　??
　　12???k
　　≥2
　　7，4? 6×???12???k
　　≥1
　　43.注
　　意到题设条件0　　S
　　k
　　k
　　+1
　　??cc<2恒成立的c的范围是：0　　2　　防范策略：这是一类极易出现的错误，教学中应尽量从直观出发，列举具体实例，让学生感知错因，防范失误.
　　以上是学生解题中的一些常见错误，有些错误甚至是交织发生的.实践表明，探究导致解题错误的原因，有针对性地改进课堂教学，从源头上铲除“祸根”，才能切实防范错误，减少失误，提高教学效益.