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摘要：作为一种学习方式，数学体验顺应新课改的要求，符合学生的认知特点和情感需要，具有亲历性和探究性等特征，要经历身心合一、内外并举的体验过程。设计数学体验教学的内容，要将数学知识具体化和直观化，同时设计成问题或任务，让学生以探究的方式解决或完成。由此，在初中数学体验教学中，主要设计生活现实、直观操作和归纳探究这三类教学内容。
关键词：数学体验;教学内容;生活现实;直观操作;归纳探究
数学体验是指在外部操作和表层认知的基础上，深刻感受数学对象、解决数学问题、理解数学知识、领悟数学思想方法、积累数学活动经验以及提升数学核心素养的一种深层次的认知与情感活动。作为一种学习方式，它顺应新课改的要求，符合学生的认知特点和情感需要，具有亲历（具身、实践）性和探究（发现、建构）性等特征，要经历身心合一、内外并举的体验过程。
在教学中促进学生的数学体验，首先要设计合适的教学内容，包括情境问题、活动任务等。数学知识具有高度的抽象性（一般性）和形式化（属于符号表征）特征，不利于学生的体验。因此，设计数学体验教学的内容，要将数学知识具体化（特殊化）和直观化（变成图像表征和动作表征），同时设计成问题或任务，让学生以探究的方式解决或完成，从而充分经历从猜想（验证）到确认（论证）这一经典数学探究过程，理解或运用知识。基于这一思路，笔者在初中数学体验教学中，主要设计以下三类教学内容：
一、生活现实类
数学来源于生活，服务于生活。生活现实通常是具体、直观的，具有很强的体验性。因此，设计数学体验教学的内容，可从寻找数学知识的现实背景（来源）与应用（去向）入手，尤其是对比较抽象的“数与代数”内容。
例如，教學“有理数乘法法则”时，可以设计如下现实情境问题，引导学生基于现实意义，归纳得出有理数乘法法则：
有一只蜗牛沿直线l爬行，现在的位置记为点O。
（1）如果这只蜗牛一直以每分钟5cm的速度向右爬行，3分钟后它在什么位置？
（2）如果这只蜗牛一直以每分钟5cm的速度向左爬行，3分钟后它在什么位置？
（3）如果这只蜗牛一直以每分钟5cm的速度向右爬行，3分钟前它在什么位置？
（4）如果这只蜗牛一直以每分钟5cm的速度向左爬行，3分钟前它在什么位置？
再如，教学“去括号法则”时，可以设计如下现实情境问题，引导学生基于生活背景，归纳得出去括号法则：
（1）小明在文具店买铅笔用了3元，买练习本用了6元，小明付了10元，应找回多少钱？
（2）小红的学校在家的东边1000米处。一天，小红从家向东出发去学校。走了500米，发现红领巾丢了，于是立刻返回，向西走了400米，找到红领巾，此时小红离学校还有多远？
又如，教学“科学记数法”时，可以设计如下现实活动任务，引导学生基于现实需要，感受运用科学计数法的必要性：
请你完成校园广播站播报任务，内容如下：“北京时间2021年6月17日9时22分，搭载‘神舟十二号’载人飞船的长征二号F遥十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心准时点火发射。约573秒后，‘神舟十二号’载人飞船与火箭成功分离，进入近地点高度约200 000米、远地点高度约348 000米的预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空。飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功。 据了解，地球距离太空大约370 000米，地球的质量约是5 965 000 000 000 000 000 000吨。”
此外，教学“函数”“方程”“统计”“概率”等内容时，也可以设计大量的现实情境问题或活动任务，帮助学生理解和运用知识。这里不再一一举例。
另一方面，“图形与几何”内容虽然比较直观，但实际上也是一种“抽象的直观”（从实物中抽象出图形）。因此，也可寻找其现实背景与应用，设计数学体验教学的内容，让学生有更深入的数学体验，尤其是设计实践性比较强的活动任务。
例如，教学“图形的旋转”时，可以让学生观察停车场门禁起落杆的运动;教学“直线与圆的位置关系”时，可以让学生观看太阳从地平线上升起（或落下）的过程;教学“数轴”和“平面直角坐标系”时，可以借助城市交通图;等等。
再如，教学“图形的相似”和“锐角三角函数”后，可以让学生测量竖直的顶部不可及的物体的高度（分底部可及——如旗杆和底部不可及——如山峰两种情况），以及水平的不可直接测量的两地的距离（分两地之间连线不可及、一地不可及、两地均不可及三种情况）。如，笔者曾设计过如下“两地均不可及”的测量活动任务，引导学生运用图形相似的知识（若角相等，则边对应成比例）解决：
南京市莫愁湖公园门票背面有公园的导游图（如图1所示），从中可以发现湖中有两个漂亮的小岛之间没有路连接，你能通过实地测量（如果没有条件，可以设计测量方案），用学过的数学知识求出这两个小岛之间的距离吗？
二、直观操作类
几何（形）是比较直观的内容，具有较好的体验性。而在数学中，代数（数）和几何（形）有着密切的联系。因此，对于许多代数知识，设计数学体验教学的内容，可从寻找几何意义与表征或几何背景与应用入手，设计图形（直观）操作活动。
例如，教学“多项式乘法和因式分解”时，可以利用二次式的几何意义设计画图拼接或实物拼图的图形操作任务，引导学生发现乘法公式或因式分解方法：
利用适当数量的边长为a的正方形（记为A型）、边长为b的正方形（记为B型）、邻边长分别为a和b的长方形（记为C型）纸片完成操作活动：
（1）用1张A型纸片、1张B型纸片、2张C型纸片拼一个正方形;
（2）用适当数量的A型、B型、C型纸片拼一个长和宽分别为a+3b和a+b的长方形; （3）用1张A型纸片、9张B型纸片、10张C型纸片拼一个长方形;
（4）用适当数量的A型、B型、C型纸片能拼出面积为a2+5ab+3b2的长方形吗？
又如，教学“利用方程、函数解决问题”的有关内容时，当然可以设计现实情境问题，同时也可以设计几何背景与应用意味比较浓的情境问题——一次方程或函数往往与长度（角度）问题联系密切，二次方程或函数往往与面积问题联系密切。如，笔者教学“用一元一次方程解决问题”时，设计过如下有关钟面（角度）的情境问题：
如图3，在3点整时刻，钟面上的时针与分针所成的角（指不大于平角的角）为 °;如图4，经过 分钟，钟面上的时针与分针所成的角再次为3点整的度数。
另一方面，虽然几何（形）是比较直观的内容，但是教学中，为了增强学生的学习体验，不仅要尽可能地让学生作图（包括静态的结果性图与动态的过程性图），而且要尽可能地设计实物（直观）操作活动。
例如，教学“认识三角形”时，可以让学生将两根小棒的一段连接，然后将两根小棒绕此连接点旋转，感受第三条边长度的变化和三角形形状的变化;教学“探索三角形全等的条件”时，可以让学生按一个、两个、三个……给定的条件任意画三角形，然后剪下来与同学的相比较，看看是否重合;教学“图形的旋转”时，可以让学生画出并剪下图形，然后将其绕一点旋转，看看旋转不同的角度后所得图形的形状、大小与位置及其与原图形的对应关系;教学“直线与圆的位置关系”时，可以让学生移动一根木棒，看其与固定的圆（画的或实物的）的位置关系的变化;教学长方体、正方体等立体图形时，可以让学生通过实物操作感受发现一些性质结论（正方体相接的面对角线所成的角的大小），然后尝试证明。
这里特别值得一提的是折纸操作活动。剪纸和折纸可能是工具最简单的实物操作活动（在纸上画图不算实物操作活动，因为此时纸只是承载信息的媒介）。其中，折纸与数学的关系更为密切，因为折纸直接体现轴对称，直接产生垂直与平分，可以与很多的初中平面几何知识发生联系。因此，教学有关知识时，可以设计折纸活动，促进学生的数学体验。例如，可以让学生用A4纸折出线段的垂直平分线、角平分线 、三角形内的高、等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形等，并说明道理，从而促进学生对图形垂直、平分、轴对称等性质的体验，同时训练学生的逻辑推理能力。
三、归纳探究类
初中数学有些内容，如“分式的加减运算”“探寻勾股數”等，不太容易或需要找到现实背景与应用或几何意义与表征。对此，设计数学体验教学的内容，可从具体化（特殊化）入手，让学生经历具体问题的解决，获得具体案例的体验，进而归纳得出抽象性（一般性）结论。
这里特别值得一提的是，归纳其实就是找规律。教学中，教师要多设计一些找规律的问题，增加学生的探究体验，尤其是基于直观图形的找规律问题，可以进一步增强学生的数学体验。
例如，教学“字母表示数”“代数式”和“代数式的值”后，笔者设计了如下“画或拼三角形，找数量关系的一般规律”的活动任务，让学生经历用代数式表示一般规律的过程，感受字母表示数的优越性。
（1）用小棒按图5所示的方式拼三角形。你有怎样的发现？所拼图形中三角形的个数与小棒的根数有怎样的关系？你是怎么发现的？还有不同的方法吗？
（2）用小棒按图6所示的方式拼三角形。你有怎样的发现？第n个图形有几个小三角形，需要几根小棒？第n个图形比第n-1个图形多用几根小棒？
（3）图7、图8所示的两组图形是将等边三角形按一定规律排列的。请你研究，谈谈发现。
显然，这里图5中三角形的个数和小棒的根数都构成一阶等差数列，图6中的都构成二阶等差数列;图7中的都构成（一阶）等差数列，图8中的都构成等比数列。这是一种结构化的设计。
此外，与归纳并列的思维（推理）方式是类比和演绎，但因为这两类活动的体验性弱一些，而且演绎通常会跟在归纳后面（初中数学不同于小学数学，已经比较强调证明了），本文不再赘述和强调。
最后想要说明的是，当下是信息技术的时代，运用信息技术设计教学内容，能更好地促进学生的数学体验。比如，对于现实情境问题，可以应用多媒体技术播放视频、展示图片，超越语言文字表征，让学生更加有身临其境的感觉;对于图形和实物操作活动，可以应用几何作图软件模拟，虽然可能有一些“不真实感”，但是显然更为简单快捷、动态精准，尤其适合动态几何问题（比如含参数的函数图像问题、图形变化有关的定点和最值问题等）的教学;甚至很多具体运算也可以交给数学软件，尤其是教学的重心在于经历归纳的过程、获得具体的体验时。
参考文献：
[1] 孙红强.图形：培养直观想象素养的关键要素[J].教育研究与评论（中学教育教学），2020（3）.
[2] 张志勇.信息技术，让数学教学可视化[J].教育研究与评论（中学教育教学），2020（6）.
[3] 张爱平，赵齐猛.初中数学体验手册[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2020.
*本文系江苏省教育科学“十三五”规划重点资助课题“初中数学体验校本课程的开发研究”（编号：Ra/2018/07）的阶段性研究成果。
关键词：数学体验;教学内容;生活现实;直观操作;归纳探究
数学体验是指在外部操作和表层认知的基础上，深刻感受数学对象、解决数学问题、理解数学知识、领悟数学思想方法、积累数学活动经验以及提升数学核心素养的一种深层次的认知与情感活动。作为一种学习方式，它顺应新课改的要求，符合学生的认知特点和情感需要，具有亲历（具身、实践）性和探究（发现、建构）性等特征，要经历身心合一、内外并举的体验过程。
在教学中促进学生的数学体验，首先要设计合适的教学内容，包括情境问题、活动任务等。数学知识具有高度的抽象性（一般性）和形式化（属于符号表征）特征，不利于学生的体验。因此，设计数学体验教学的内容，要将数学知识具体化（特殊化）和直观化（变成图像表征和动作表征），同时设计成问题或任务，让学生以探究的方式解决或完成，从而充分经历从猜想（验证）到确认（论证）这一经典数学探究过程，理解或运用知识。基于这一思路，笔者在初中数学体验教学中，主要设计以下三类教学内容：
一、生活现实类
数学来源于生活，服务于生活。生活现实通常是具体、直观的，具有很强的体验性。因此，设计数学体验教学的内容，可从寻找数学知识的现实背景（来源）与应用（去向）入手，尤其是对比较抽象的“数与代数”内容。
例如，教學“有理数乘法法则”时，可以设计如下现实情境问题，引导学生基于现实意义，归纳得出有理数乘法法则：
有一只蜗牛沿直线l爬行，现在的位置记为点O。
（1）如果这只蜗牛一直以每分钟5cm的速度向右爬行，3分钟后它在什么位置？
（2）如果这只蜗牛一直以每分钟5cm的速度向左爬行，3分钟后它在什么位置？
（3）如果这只蜗牛一直以每分钟5cm的速度向右爬行，3分钟前它在什么位置？
（4）如果这只蜗牛一直以每分钟5cm的速度向左爬行，3分钟前它在什么位置？
再如，教学“去括号法则”时，可以设计如下现实情境问题，引导学生基于生活背景，归纳得出去括号法则：
（1）小明在文具店买铅笔用了3元，买练习本用了6元，小明付了10元，应找回多少钱？
（2）小红的学校在家的东边1000米处。一天，小红从家向东出发去学校。走了500米，发现红领巾丢了，于是立刻返回，向西走了400米，找到红领巾，此时小红离学校还有多远？
又如，教学“科学记数法”时，可以设计如下现实活动任务，引导学生基于现实需要，感受运用科学计数法的必要性：
请你完成校园广播站播报任务，内容如下：“北京时间2021年6月17日9时22分，搭载‘神舟十二号’载人飞船的长征二号F遥十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心准时点火发射。约573秒后，‘神舟十二号’载人飞船与火箭成功分离，进入近地点高度约200 000米、远地点高度约348 000米的预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空。飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功。 据了解，地球距离太空大约370 000米，地球的质量约是5 965 000 000 000 000 000 000吨。”
此外，教学“函数”“方程”“统计”“概率”等内容时，也可以设计大量的现实情境问题或活动任务，帮助学生理解和运用知识。这里不再一一举例。
另一方面，“图形与几何”内容虽然比较直观，但实际上也是一种“抽象的直观”（从实物中抽象出图形）。因此，也可寻找其现实背景与应用，设计数学体验教学的内容，让学生有更深入的数学体验，尤其是设计实践性比较强的活动任务。
例如，教学“图形的旋转”时，可以让学生观察停车场门禁起落杆的运动;教学“直线与圆的位置关系”时，可以让学生观看太阳从地平线上升起（或落下）的过程;教学“数轴”和“平面直角坐标系”时，可以借助城市交通图;等等。
再如，教学“图形的相似”和“锐角三角函数”后，可以让学生测量竖直的顶部不可及的物体的高度（分底部可及——如旗杆和底部不可及——如山峰两种情况），以及水平的不可直接测量的两地的距离（分两地之间连线不可及、一地不可及、两地均不可及三种情况）。如，笔者曾设计过如下“两地均不可及”的测量活动任务，引导学生运用图形相似的知识（若角相等，则边对应成比例）解决：
南京市莫愁湖公园门票背面有公园的导游图（如图1所示），从中可以发现湖中有两个漂亮的小岛之间没有路连接，你能通过实地测量（如果没有条件，可以设计测量方案），用学过的数学知识求出这两个小岛之间的距离吗？
二、直观操作类
几何（形）是比较直观的内容，具有较好的体验性。而在数学中，代数（数）和几何（形）有着密切的联系。因此，对于许多代数知识，设计数学体验教学的内容，可从寻找几何意义与表征或几何背景与应用入手，设计图形（直观）操作活动。
例如，教学“多项式乘法和因式分解”时，可以利用二次式的几何意义设计画图拼接或实物拼图的图形操作任务，引导学生发现乘法公式或因式分解方法：
利用适当数量的边长为a的正方形（记为A型）、边长为b的正方形（记为B型）、邻边长分别为a和b的长方形（记为C型）纸片完成操作活动：
（1）用1张A型纸片、1张B型纸片、2张C型纸片拼一个正方形;
（2）用适当数量的A型、B型、C型纸片拼一个长和宽分别为a+3b和a+b的长方形; （3）用1张A型纸片、9张B型纸片、10张C型纸片拼一个长方形;
（4）用适当数量的A型、B型、C型纸片能拼出面积为a2+5ab+3b2的长方形吗？
又如，教学“利用方程、函数解决问题”的有关内容时，当然可以设计现实情境问题，同时也可以设计几何背景与应用意味比较浓的情境问题——一次方程或函数往往与长度（角度）问题联系密切，二次方程或函数往往与面积问题联系密切。如，笔者教学“用一元一次方程解决问题”时，设计过如下有关钟面（角度）的情境问题：
如图3，在3点整时刻，钟面上的时针与分针所成的角（指不大于平角的角）为 °;如图4，经过 分钟，钟面上的时针与分针所成的角再次为3点整的度数。
另一方面，虽然几何（形）是比较直观的内容，但是教学中，为了增强学生的学习体验，不仅要尽可能地让学生作图（包括静态的结果性图与动态的过程性图），而且要尽可能地设计实物（直观）操作活动。
例如，教学“认识三角形”时，可以让学生将两根小棒的一段连接，然后将两根小棒绕此连接点旋转，感受第三条边长度的变化和三角形形状的变化;教学“探索三角形全等的条件”时，可以让学生按一个、两个、三个……给定的条件任意画三角形，然后剪下来与同学的相比较，看看是否重合;教学“图形的旋转”时，可以让学生画出并剪下图形，然后将其绕一点旋转，看看旋转不同的角度后所得图形的形状、大小与位置及其与原图形的对应关系;教学“直线与圆的位置关系”时，可以让学生移动一根木棒，看其与固定的圆（画的或实物的）的位置关系的变化;教学长方体、正方体等立体图形时，可以让学生通过实物操作感受发现一些性质结论（正方体相接的面对角线所成的角的大小），然后尝试证明。
这里特别值得一提的是折纸操作活动。剪纸和折纸可能是工具最简单的实物操作活动（在纸上画图不算实物操作活动，因为此时纸只是承载信息的媒介）。其中，折纸与数学的关系更为密切，因为折纸直接体现轴对称，直接产生垂直与平分，可以与很多的初中平面几何知识发生联系。因此，教学有关知识时，可以设计折纸活动，促进学生的数学体验。例如，可以让学生用A4纸折出线段的垂直平分线、角平分线 、三角形内的高、等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形等，并说明道理，从而促进学生对图形垂直、平分、轴对称等性质的体验，同时训练学生的逻辑推理能力。
三、归纳探究类
初中数学有些内容，如“分式的加减运算”“探寻勾股數”等，不太容易或需要找到现实背景与应用或几何意义与表征。对此，设计数学体验教学的内容，可从具体化（特殊化）入手，让学生经历具体问题的解决，获得具体案例的体验，进而归纳得出抽象性（一般性）结论。
这里特别值得一提的是，归纳其实就是找规律。教学中，教师要多设计一些找规律的问题，增加学生的探究体验，尤其是基于直观图形的找规律问题，可以进一步增强学生的数学体验。
例如，教学“字母表示数”“代数式”和“代数式的值”后，笔者设计了如下“画或拼三角形，找数量关系的一般规律”的活动任务，让学生经历用代数式表示一般规律的过程，感受字母表示数的优越性。
（1）用小棒按图5所示的方式拼三角形。你有怎样的发现？所拼图形中三角形的个数与小棒的根数有怎样的关系？你是怎么发现的？还有不同的方法吗？
（2）用小棒按图6所示的方式拼三角形。你有怎样的发现？第n个图形有几个小三角形，需要几根小棒？第n个图形比第n-1个图形多用几根小棒？
（3）图7、图8所示的两组图形是将等边三角形按一定规律排列的。请你研究，谈谈发现。
显然，这里图5中三角形的个数和小棒的根数都构成一阶等差数列，图6中的都构成二阶等差数列;图7中的都构成（一阶）等差数列，图8中的都构成等比数列。这是一种结构化的设计。
此外，与归纳并列的思维（推理）方式是类比和演绎，但因为这两类活动的体验性弱一些，而且演绎通常会跟在归纳后面（初中数学不同于小学数学，已经比较强调证明了），本文不再赘述和强调。
最后想要说明的是，当下是信息技术的时代，运用信息技术设计教学内容，能更好地促进学生的数学体验。比如，对于现实情境问题，可以应用多媒体技术播放视频、展示图片，超越语言文字表征，让学生更加有身临其境的感觉;对于图形和实物操作活动，可以应用几何作图软件模拟，虽然可能有一些“不真实感”，但是显然更为简单快捷、动态精准，尤其适合动态几何问题（比如含参数的函数图像问题、图形变化有关的定点和最值问题等）的教学;甚至很多具体运算也可以交给数学软件，尤其是教学的重心在于经历归纳的过程、获得具体的体验时。
参考文献：
[1] 孙红强.图形：培养直观想象素养的关键要素[J].教育研究与评论（中学教育教学），2020（3）.
[2] 张志勇.信息技术，让数学教学可视化[J].教育研究与评论（中学教育教学），2020（6）.
[3] 张爱平，赵齐猛.初中数学体验手册[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2020.
*本文系江苏省教育科学“十三五”规划重点资助课题“初中数学体验校本课程的开发研究”（编号：Ra/2018/07）的阶段性研究成果。