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[摘 要] 实验室中通常采用惯性秤来测量物体的惯性质量。但由于装置简陋，装配精度不高，当被测体与秤台之间存在较大缝隙时，振动将会不同步，此时就不能将被测体与秤台一起看成一个质点在做简谐振动，而是独立的两个不同步的质点。经过研究发现，该现象对惯性秤的测试有一定的影响，会使得测试周期变长，测得的惯性质量偏大，造成该现象的原因是物体与秤台发生摩擦、碰撞造成秤台呈现阻尼振荡。因此在惯性秤测量物体惯性质量时，必须保证被测体与秤台配合紧密。
[关 键 词] 测量；惯性质量；惯性秤；阻尼
[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2017）31-0194-04
一、惯性质量的测量方法
根据牛顿第二定律，物体在恒力F作用下做加速度为a的直线运动，如果设法测出F和a，可求得物体的惯性质量。因此我们为测得物体惯性质量，就需设法测得F与a的值，测量F与a的方法有很多种，因此惯性测量的方法也就有很多种。
（一）单摆法
单摆是能够产生往复摆动的一种装置，将无重细杆或不可伸长的细柔绳一端悬于重力场内一定点，另一端固结一个重小球，就构成单摆。当摆角小于5°
时有：
m=■ （1-1）
式中：m为惯性质量，mg为引力质量，T为单摆周期，g为测量点的重力加速度，l为摆长。
（二）气垫导轨法
气垫导轨法测量物体惯性质量，导轨滑块质量为m0，滑块上放置标准质量块mi，F为运动系统所受合力。根据牛顿第二定律F=ma可得运动系统加速度a：
■=■+■ （1-2）
a可以测得：
a=■（■-■） （1-3）
式中：S为光电门之间的距离，d为挡光片的宽度，tA、tB为滑块上的挡光片在光电门中通过一次挡光片挡光的时间。
（三）弹簧振子法
以弹簧为动力，使得物体在弹簧的作用下做来回的简谐运动，通过测量简谐运动的周期，就可以测得物体的质量。在竖直方向运动时，根据弹簧振子做简谐振动的周期公式可推算出：
T2=■m0+■mi （1-4）
（四）刚体转动法
刚体转动惯量忽略滑轮及绳子的质量，假设摩擦力矩恒定，且a< （mi+m0）gr=M+I■ （1-5）
式中：M为刚体所受的合外力矩，I为刚体的转动惯量，r为轮塔半径，h为砝码下落高度，t为下落到h所有时间。
因M、I、r、g、h均不变，因此，mi与■成线性关系，通过测量不同的已知质量的砝码下落时间，即可拟合出mi与■的线性关系方程。通过测出被测体下落时间即可计算出mi的大小。
（五）复摆法
复摆是指在重力作用下，能绕通过自身某固定水平轴摆动的刚体。即复摆是一刚体绕固定的水平轴在重力的作用下作微小摆动的动力运动体系，又称物理摆。复摆的振动周期计算公式为：
T=2π■ （1-6）
式中：T为复摆周期，Ic为转轴通过质心且平行转轴时的转动惯量，mg为复摆质量，h为质心到转轴的距离，mi为被测体质量，h1為加上被测体后复摆质心到转轴的距离。
测得不同位置（h1、h2）下的周期（T1、T2），即可测试mi：
mi=■·■ （1-7）
（六）惯性秤法
惯性秤是用振动法来测定物体惯性质量的装置，它的主要组成部分为：放置砝码或待测物的秤台，固定整个装置的固定平台，连结固定平台和秤台的两条相同的片状钢条，几块标定的砝码。
设惯性秤空载的周期为T0，加负载mi后的周期为Ti，可得周期T与m之间的关系：
Ti2=■（m0+mi） （1-8）
二、惯性秤
（一）惯性秤工作原理
惯性秤的主要部分是由两条相同的弹性钢带（秤臂）连成的一个悬臂振动体、振动台、平台、固定螺栓、可移动台面、底座、挡光片和光电门构成。
当惯性秤沿水平固定后，将秤台沿水平方向推开一定的距离（根据实际情况来确定），手松开后，秤台及其上面的负载将做简谐振动。先测出空秤（mi=0）的周期T0，再将已标定质量的砝码依次增加放在秤台上，测出相应的周期为T1、T2……用这些数据作T2-mi图线，再通过运算拟合出一个线性方程。通过测量加载被测体后的运动周期，即可计算出被测体的质量。
惯性秤的优点为：（1）可以在失重状态下测试物体的惯性质量；（2）测量灵敏度较高；（3）测试精度较高；（4）测试仪器及测试方法简单。
惯性秤的缺点为：（1）秤臂、秤台一定要严格的保持水平；（2）测量范围较窄；（3）引起误差的因素较多。
（二）引发惯性秤误差的因素
从惯性秤的结构和其工作原理来分析，引发惯性秤测试误差的主要因素有以下几个。
1.秤臂秤台水平问题
如果秤臂秤台没有水平，而与水平面有一定的夹角θ，经过推导，得出周期T与夹角θ的关系为：T=2π■，因此当秤臂与水平夹角较大时，会产生较大的误差。
2.运动水平问题
拨动秤台不水平会造成秤台在竖直方向存在运动分量，及秤台的运动轨迹不再是水平左右的线段，而是一个椭圆，此时振动仍属于简谐振动，但运动周期会发生一定的变化。
3.秤臂K值变化问题
不管任何弹性物体，当其产生形变时，其K值肯定会变化，而具体的变化量就跟弹性物体的材质、形状及变化情况有关了，当K值不再恒定，其周期T肯定会发生一定的变化。
4.阻尼问题
惯性秤的振动过程中肯定会消耗一部分能量，因此其振动一定是阻尼运动，至于阻尼的来源我们可以分成两种情况，一种是外在的因素引起的，如：空气阻力、秤臂来回折叠时的分子摩擦力等，该因素会引起运动系统的合力不为零；另一种是内在因素引起的，如：秤台与被测体之间的碰撞、摩擦，被测体自身的碰撞与摩擦（被测体为颗粒或液体时），该因素作用下运动系统所受合力仍然为零。 （三）阻尼对测量的影响
从阻尼的定义及其物理意义上看，阻尼肯定是对振动有影响的，直观的可以观看到幅度会有明显下降，而频率的影响需要进行计算和测试。
解有阻尼的振动特征方程方程：
？姿2+2？孜ω？姿+ω2=0 （2-1）
设解为：y=Be？姿t，其特征值：
？姿1，2=ω（-？孜±■） （2-2）
一般解：
y（t）=B1e■+B2e■ （2-3）
y（t）=e-？孜ωtAsin（ωrt+a） （2-4）
式中：A=■a=tan-1■
角速度：
ωr=ω■ （2-5）
振幅：
Ar=Ae-？孜ωt （2-6）
由此可见当阻尼系数ξ<1时，振动周期会随着阻尼系数的增大而增大。当ξ≥1时，就不能形成有效的振动了。
三、实验设计
（一）实验器材设计
为实现秤台与被测体之间的碰撞与摩擦，我们制作了如图1所示的被测体；其余器材采用正常测量时的器材。
我们一共制作了六个被测体：？椎=18 mm、h不同的被测体两块；？椎=16 mm、h不同的被测体两块；？椎=14 mm、h不同的被测体两块。以验证被测质量、间隙不同对惯性秤测量影响有何不同。
（二）实验原理设计
如果被测体与秤台配合过松时，在运动过程中，被测体与秤台就会发生相对位移，如图2（见下页）所示，此时就可能不能将被测体与秤台一起看成一个质点，而是独立的两个不同步的质点，明显的被测体的运动幅度大于秤台的振动幅度。通过这样的设计，使得被测体与秤台之间会发生摩擦与碰撞，形成有效的阻尼振荡。
（三）实验方法设计
1.调节惯性秤平台水平，调整惯性秤台及秤臂水平。
2.将被测体置于秤台中，将秤台沿水平方向推开恒定的距离进行测试。
3.对空秤台进行测试，然后逐渐增加砝码进行测试，增加10个砝码。
4.取下所有砝码，放入被测体，再次测试振动周期，并根据拟合的线性方程计算出测得的被测体质量。
5.根据实验结果分析作用机理，并得出合理的结论。
（四）实验注意事項
1.选取适当的被测体，使得振动周期足够多，建议能达到10～20次周期数以上。
2.振动幅度不能太大，以免被测体从秤台中脱落。
3.每次实验应采用相同的周期数来记录时间。
4.每步实验做三次，取其平均值，最后测被测体的时候建议做五次取平均值。
四、测试结果
（一）测试数据
第12、13行为？椎=18.00 mm，h不同的被测体；第14、15行为？椎=16.00 mm，h不同的被测体；？椎=14.00 mm的被测体在振动过程中达不到20个周期数就没有记录数据。该实验仪器秤台距离为20.36 mm。
（二）数据处理
1.用一元线性回归法处理数据
（1）列方程
T2=■m0+■m1
令xi=mi yi=T2 b0=■m0 b=■m1
∴y=b0+bx
（2）列表
其中Vxi=xi-x Vyi=yi-y ∑Vxi2=lxx ∑Vyi2=lyy ∑Vxiyi=lxy
（3）解方程：
b=■=■≈0.001617099 s2/g
b0=y-bx=0.270927738-0.001617099×124.91≈
0.068935885 s2
∴m0=■=■≈42.62935003 g
取？鄯=3.14
则k=■=■=24.41310908 kg/s2
∴T2=0.068935885+0.001617099mi
mi=618.3912771T2-42.62935003
2.线性回归结果分析
根据表3计算的数据来看，在被测体与秤台配合间隙较大时，测出的质量和实际的质量还是有较大区别，阻尼对惯性秤的是有影响的。我们对比这4组数据，序号1和2直径相同质量不同（m1>m2），3和4也是直径相同质量不同（m3>m4），但质量大的明显比质量轻的误差大一些。3和4的直径小于1和2的直径，但3和4的误差均大于1和2的误差，而且小径为14 mm的两个被测体因振动周期数不够20而无法测试（阻尼太大、振幅衰减太快），这说明间隙越大，阻尼越大。对比2和3的数据可以看出：质量接近时，间隙越大阻尼越大，且间隙的影响比质量的影响大得多。
五、总结与展望
从被测体的计算结果与实测值的差异对比来看，惯性秤的阻尼随被测体的质量增加而增加、随被测体与秤台之间的间隙增大而迅速增大，符合公式ωr=
ω■中阻尼对频率的影响趋势。
通过此次的实验，很好地诠释了当被测体与秤台之间存在间隙是会对测试结果产生影响的，因此我们在测量时，必须将砝码或者被测体与秤台配合紧密。
通过对测试仪器仪表的分析，主要误差除了前面提到的几大因素外，还与测量仪器有关，如计时器的误差、天平的误差、光电门的误差。因此惯性秤的测量精度还可以通过不同的改进方法进行改进和提升，因此为进一步提高惯性称的测量精度，我们还可以进一步进行大量的公式推导、摸索和实验验证。
参考文献：
[1]仲明礼.几种测量惯性质量的方法[J].潍坊学院学报，2003，3（4）：32-33.
[2]王玉清，任新成，安爱芳.一种测量惯性质量的新方法[J].物理实验，1999（l）：40.
[3]王玉清.几种测量惯性质量的方法[J].大学物理实验，2008，21（1）：69-70.
[4]王玉清，贾培军.用刚体转动实验仪测量物体的惯性质量[J].延安大学学报（自然科学版），2005，24（4）：54-55.
[5]曾腾，林红.惯性秤振动周期的研究[J].海南师范学院学报（自然科学版），2006，19（2）：136-139.
[6]梁志强，王伟.大学物理（下册）[M].北京：中国水利水电出版社，2015：15-16.
[关 键 词] 测量；惯性质量；惯性秤；阻尼
[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2017）31-0194-04
一、惯性质量的测量方法
根据牛顿第二定律，物体在恒力F作用下做加速度为a的直线运动，如果设法测出F和a，可求得物体的惯性质量。因此我们为测得物体惯性质量，就需设法测得F与a的值，测量F与a的方法有很多种，因此惯性测量的方法也就有很多种。
（一）单摆法
单摆是能够产生往复摆动的一种装置，将无重细杆或不可伸长的细柔绳一端悬于重力场内一定点，另一端固结一个重小球，就构成单摆。当摆角小于5°
时有：
m=■ （1-1）
式中：m为惯性质量，mg为引力质量，T为单摆周期，g为测量点的重力加速度，l为摆长。
（二）气垫导轨法
气垫导轨法测量物体惯性质量，导轨滑块质量为m0，滑块上放置标准质量块mi，F为运动系统所受合力。根据牛顿第二定律F=ma可得运动系统加速度a：
■=■+■ （1-2）
a可以测得：
a=■（■-■） （1-3）
式中：S为光电门之间的距离，d为挡光片的宽度，tA、tB为滑块上的挡光片在光电门中通过一次挡光片挡光的时间。
（三）弹簧振子法
以弹簧为动力，使得物体在弹簧的作用下做来回的简谐运动，通过测量简谐运动的周期，就可以测得物体的质量。在竖直方向运动时，根据弹簧振子做简谐振动的周期公式可推算出：
T2=■m0+■mi （1-4）
（四）刚体转动法
刚体转动惯量忽略滑轮及绳子的质量，假设摩擦力矩恒定，且a<
式中：M为刚体所受的合外力矩，I为刚体的转动惯量，r为轮塔半径，h为砝码下落高度，t为下落到h所有时间。
因M、I、r、g、h均不变，因此，mi与■成线性关系，通过测量不同的已知质量的砝码下落时间，即可拟合出mi与■的线性关系方程。通过测出被测体下落时间即可计算出mi的大小。
（五）复摆法
复摆是指在重力作用下，能绕通过自身某固定水平轴摆动的刚体。即复摆是一刚体绕固定的水平轴在重力的作用下作微小摆动的动力运动体系，又称物理摆。复摆的振动周期计算公式为：
T=2π■ （1-6）
式中：T为复摆周期，Ic为转轴通过质心且平行转轴时的转动惯量，mg为复摆质量，h为质心到转轴的距离，mi为被测体质量，h1為加上被测体后复摆质心到转轴的距离。
测得不同位置（h1、h2）下的周期（T1、T2），即可测试mi：
mi=■·■ （1-7）
（六）惯性秤法
惯性秤是用振动法来测定物体惯性质量的装置，它的主要组成部分为：放置砝码或待测物的秤台，固定整个装置的固定平台，连结固定平台和秤台的两条相同的片状钢条，几块标定的砝码。
设惯性秤空载的周期为T0，加负载mi后的周期为Ti，可得周期T与m之间的关系：
Ti2=■（m0+mi） （1-8）
二、惯性秤
（一）惯性秤工作原理
惯性秤的主要部分是由两条相同的弹性钢带（秤臂）连成的一个悬臂振动体、振动台、平台、固定螺栓、可移动台面、底座、挡光片和光电门构成。
当惯性秤沿水平固定后，将秤台沿水平方向推开一定的距离（根据实际情况来确定），手松开后，秤台及其上面的负载将做简谐振动。先测出空秤（mi=0）的周期T0，再将已标定质量的砝码依次增加放在秤台上，测出相应的周期为T1、T2……用这些数据作T2-mi图线，再通过运算拟合出一个线性方程。通过测量加载被测体后的运动周期，即可计算出被测体的质量。
惯性秤的优点为：（1）可以在失重状态下测试物体的惯性质量；（2）测量灵敏度较高；（3）测试精度较高；（4）测试仪器及测试方法简单。
惯性秤的缺点为：（1）秤臂、秤台一定要严格的保持水平；（2）测量范围较窄；（3）引起误差的因素较多。
（二）引发惯性秤误差的因素
从惯性秤的结构和其工作原理来分析，引发惯性秤测试误差的主要因素有以下几个。
1.秤臂秤台水平问题
如果秤臂秤台没有水平，而与水平面有一定的夹角θ，经过推导，得出周期T与夹角θ的关系为：T=2π■，因此当秤臂与水平夹角较大时，会产生较大的误差。
2.运动水平问题
拨动秤台不水平会造成秤台在竖直方向存在运动分量，及秤台的运动轨迹不再是水平左右的线段，而是一个椭圆，此时振动仍属于简谐振动，但运动周期会发生一定的变化。
3.秤臂K值变化问题
不管任何弹性物体，当其产生形变时，其K值肯定会变化，而具体的变化量就跟弹性物体的材质、形状及变化情况有关了，当K值不再恒定，其周期T肯定会发生一定的变化。
4.阻尼问题
惯性秤的振动过程中肯定会消耗一部分能量，因此其振动一定是阻尼运动，至于阻尼的来源我们可以分成两种情况，一种是外在的因素引起的，如：空气阻力、秤臂来回折叠时的分子摩擦力等，该因素会引起运动系统的合力不为零；另一种是内在因素引起的，如：秤台与被测体之间的碰撞、摩擦，被测体自身的碰撞与摩擦（被测体为颗粒或液体时），该因素作用下运动系统所受合力仍然为零。 （三）阻尼对测量的影响
从阻尼的定义及其物理意义上看，阻尼肯定是对振动有影响的，直观的可以观看到幅度会有明显下降，而频率的影响需要进行计算和测试。
解有阻尼的振动特征方程方程：
？姿2+2？孜ω？姿+ω2=0 （2-1）
设解为：y=Be？姿t，其特征值：
？姿1，2=ω（-？孜±■） （2-2）
一般解：
y（t）=B1e■+B2e■ （2-3）
y（t）=e-？孜ωtAsin（ωrt+a） （2-4）
式中：A=■a=tan-1■
角速度：
ωr=ω■ （2-5）
振幅：
Ar=Ae-？孜ωt （2-6）
由此可见当阻尼系数ξ<1时，振动周期会随着阻尼系数的增大而增大。当ξ≥1时，就不能形成有效的振动了。
三、实验设计
（一）实验器材设计
为实现秤台与被测体之间的碰撞与摩擦，我们制作了如图1所示的被测体；其余器材采用正常测量时的器材。
我们一共制作了六个被测体：？椎=18 mm、h不同的被测体两块；？椎=16 mm、h不同的被测体两块；？椎=14 mm、h不同的被测体两块。以验证被测质量、间隙不同对惯性秤测量影响有何不同。
（二）实验原理设计
如果被测体与秤台配合过松时，在运动过程中，被测体与秤台就会发生相对位移，如图2（见下页）所示，此时就可能不能将被测体与秤台一起看成一个质点，而是独立的两个不同步的质点，明显的被测体的运动幅度大于秤台的振动幅度。通过这样的设计，使得被测体与秤台之间会发生摩擦与碰撞，形成有效的阻尼振荡。
（三）实验方法设计
1.调节惯性秤平台水平，调整惯性秤台及秤臂水平。
2.将被测体置于秤台中，将秤台沿水平方向推开恒定的距离进行测试。
3.对空秤台进行测试，然后逐渐增加砝码进行测试，增加10个砝码。
4.取下所有砝码，放入被测体，再次测试振动周期，并根据拟合的线性方程计算出测得的被测体质量。
5.根据实验结果分析作用机理，并得出合理的结论。
（四）实验注意事項
1.选取适当的被测体，使得振动周期足够多，建议能达到10～20次周期数以上。
2.振动幅度不能太大，以免被测体从秤台中脱落。
3.每次实验应采用相同的周期数来记录时间。
4.每步实验做三次，取其平均值，最后测被测体的时候建议做五次取平均值。
四、测试结果
（一）测试数据
第12、13行为？椎=18.00 mm，h不同的被测体；第14、15行为？椎=16.00 mm，h不同的被测体；？椎=14.00 mm的被测体在振动过程中达不到20个周期数就没有记录数据。该实验仪器秤台距离为20.36 mm。
（二）数据处理
1.用一元线性回归法处理数据
（1）列方程
T2=■m0+■m1
令xi=mi yi=T2 b0=■m0 b=■m1
∴y=b0+bx
（2）列表
其中Vxi=xi-x Vyi=yi-y ∑Vxi2=lxx ∑Vyi2=lyy ∑Vxiyi=lxy
（3）解方程：
b=■=■≈0.001617099 s2/g
b0=y-bx=0.270927738-0.001617099×124.91≈
0.068935885 s2
∴m0=■=■≈42.62935003 g
取？鄯=3.14
则k=■=■=24.41310908 kg/s2
∴T2=0.068935885+0.001617099mi
mi=618.3912771T2-42.62935003
2.线性回归结果分析
根据表3计算的数据来看，在被测体与秤台配合间隙较大时，测出的质量和实际的质量还是有较大区别，阻尼对惯性秤的是有影响的。我们对比这4组数据，序号1和2直径相同质量不同（m1>m2），3和4也是直径相同质量不同（m3>m4），但质量大的明显比质量轻的误差大一些。3和4的直径小于1和2的直径，但3和4的误差均大于1和2的误差，而且小径为14 mm的两个被测体因振动周期数不够20而无法测试（阻尼太大、振幅衰减太快），这说明间隙越大，阻尼越大。对比2和3的数据可以看出：质量接近时，间隙越大阻尼越大，且间隙的影响比质量的影响大得多。
五、总结与展望
从被测体的计算结果与实测值的差异对比来看，惯性秤的阻尼随被测体的质量增加而增加、随被测体与秤台之间的间隙增大而迅速增大，符合公式ωr=
ω■中阻尼对频率的影响趋势。
通过此次的实验，很好地诠释了当被测体与秤台之间存在间隙是会对测试结果产生影响的，因此我们在测量时，必须将砝码或者被测体与秤台配合紧密。
通过对测试仪器仪表的分析，主要误差除了前面提到的几大因素外，还与测量仪器有关，如计时器的误差、天平的误差、光电门的误差。因此惯性秤的测量精度还可以通过不同的改进方法进行改进和提升，因此为进一步提高惯性称的测量精度，我们还可以进一步进行大量的公式推导、摸索和实验验证。
参考文献：
[1]仲明礼.几种测量惯性质量的方法[J].潍坊学院学报，2003，3（4）：32-33.
[2]王玉清，任新成，安爱芳.一种测量惯性质量的新方法[J].物理实验，1999（l）：40.
[3]王玉清.几种测量惯性质量的方法[J].大学物理实验，2008，21（1）：69-70.
[4]王玉清，贾培军.用刚体转动实验仪测量物体的惯性质量[J].延安大学学报（自然科学版），2005，24（4）：54-55.
[5]曾腾，林红.惯性秤振动周期的研究[J].海南师范学院学报（自然科学版），2006，19（2）：136-139.
[6]梁志强，王伟.大学物理（下册）[M].北京：中国水利水电出版社，2015：15-16.