论文部分内容阅读
数学的学习，需要全面理解概念，进行正确的表述、判断和推理，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用. 特别是全称量词和存在量词的掌握，一方面是考查逻辑知识本身的需要，另一方面是以逻辑知识为载体考查其他相关知识的需要. 因此要重视全称量词和存在量词的联系和区别.
一、概念辨析
全称量词：短语“所有的”“任意一个”，并且用符号“[?]”表示.
存在量词：短语“存在一个” “至少有一个”，并且用符合“[?]”表示.
全称命题：全称命题是陈述某集合所有元素都是某种性质的命题；其中“所有”“每一个”“任意（何）”等意思相同的短语都叫做全称量词；当然有些全称命题在文字叙述上省略了全称量词，在判断是否为全称命题时要注意，一个全称命题还可以包含多个变数.
特称命题：它是陈述在集合中存在一些元素具有某些性质的命题；特称命题一般都含有短语“有一个”“某一个”“有些”或“至少有一个”“存在”等，一个特称命题也可以有多个变数.
例1 请指出下列命题哪些是全称命题？哪些是特称命题？
A. [p1：?x∈Z]，[x3-1=0]
B. [q1：?x∈Z]，[7x-1]是整数
C. [p2：?x∈Z]，[x4-1=0]
D. [q2：?x∈Z]，[5x+1]是整数
分析 这类问题的关键是看“存在”还是“任意”.
解 全称命题是A、B项；特称命题是C、D项.
点拨 可以从量词和命题定义、表述等方面加以区别判断.语句是不是命题关键在于能不能判断真假，也就是判断其是否成立，不能判断真假的语句，就不能叫命题.
二、用法表示
全称量词一般用符号“[?]”表示，全称命题通常可表示如下. 将含有变量[x]的语句用[p（x）]，[q（x）]，[r（x）]…等表示，变量[x]的取值范围用[M]表示，那么，“对[M]中任意一个[x]，有[p（x）]成立”可用符号简记为：[?x∈M]，[P（x）]. 读作：“对任意[x]属于[M]，有[p（x）]成立”.
特称量词一般用符号“[?]”表示，特称命题通常可表示如下. “存在[M]中的一个[x0]，使[p（x0）]成立”可用符号简记为：[?x0∈M]，[p（x0）]. 读作：存在一个[x0]属于[M]，有[p（x0）]成立.
例2 用全称量词和特称量词表示下列命题：
（1）有一个向量[a]，使[2a]的方向不能确定；
（2）存在一个函数[g（x）]，使[g（x）]既是奇函数又是偶函数；
（3）对于任何实数[a]，[b]，[c]，方程[ax2+bx+c=0]都有解.
分析 用全称量词和特称量词表示命题，关键是要正确的使用符号“[?]”和符号“[?]”.
解 （1）[?a][∈{向量}]，使向量[2a]的方向不能确定；
（2）[?g（x）∈{函数}]，使[g（x）]既是奇函数又是偶函数；
（3）[?a]，[b]，[c∈R]，方程[ax2+bc+c=0]都有解.
点拨 判断命题是全称命题还是特称命题主要看命题中是否含有全称量词和特称量词. 当然要注意的是有些全称命题并不是含有全称量词，这时我们就需要根据命题涉及的意义去判断.
三、命题的真假
全称命题和特称命题的真假判断是一个涉及命题的概念和应用的问题，要注意两者的联系和区别，两者的判定要点各不相同.
全称命题：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合[M]中的每个元素[x]验证[p（x）]成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合[M]中的一个[x=x0]，使得[p（x0）]不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反例”）.
特称命题：要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合[M]中找到一个[x=x0]，使[p（x0）]成立即可；否则，这一特称命题就是假命题.
例3 设语句[q（x）：x-1=1-x]，
（1）写出[q（1）]，[q（2）]，并判断它是否为真命题；
（2）写出“[?a∈R]，[q（a）]”，并判断它是否为真命题；
（3）写出“[?a∈R，q（a）]”，并判断它是否是真命题.
分析 语句[q（x）]不是命题，给[x]赋值1，2，则成为语句[q（1）]，[q（2）]，判断其真假，即看[x=1]，[2]时，等式[x-1=1-x]是否成立即可.
解 （1）[q（1）：1-1=1-1]，是一个真命题；[q（2）：2-1≠1-2]，是一个假命题.
（2）[?a∈R]，使[a-1=1-a]. 由（1）知，[q（2）]为假命题，所以“[?a∈R，a-1=1-a]”为假命题.
（3）[?a∈R]，使[a-1=1-a]. 由（1）知，[q（1）]为真命题，所以“[?a∈R，a-1=1-a]”为真命题.
点拨 要判断一个全称命题为假命题，只要举出一个反例即可. 要判断一个特称命题为真命题，只要举出一个例子即可.
四、命题的否定
全称命题的否定：一般的，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论. 全称命题[p：?x∈M，p（x）]，它的否定[?p：?x0∈M]，[?p（x0）].
特称命题的否定：一般的，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论. 特称命题[p：?x0∈M，p（x0）]，它的否定[?p][：?x∈M，?p（x）].
例4 写出下列命题的否命题：
（1）[p：]矩形有一个外接圆；
（2）[q：]若[2]是有理数，则[3>2]；
（3）[r：]存在角[α]，使[tanαtanβ=1].
分析 这类问题的破解关键是要正确理解命题的否定.
解 （1）[?p：]存在矩形没有外接圆.
（2）[?q：]若[2]不是有理数，则[3≤2].
（3）[?r：]对于[?α∈R]，[tanαtanβ≠1].
点拨 求命题的否命题的时候，要注意原命题中是否有省略的量词，要理解原命题的本质含义. 一般而言，特称命题的否定是一个全称命题，全称命题的否定是一个特称命题，因此在书写它们的否定时，相应的存在量词变成全称量词，全称量词变为存在量词.
1. 命题“对任意[x∈R]，都有[x2≥0]”的否定为 .
2. 若[?θ∈R]，使[sinθ≥1]成立，则[cos（θ-π6）]的值为 .
3. 下列四个命题：①[?x0∈R]，使[sinx0+cosx0][=2]；②对[?x∈R]，[sinx+1sinx≥2]；③对[?x∈（0，π2）]，[tanx+1tanx≥2]；④[?x0∈R]，使[sinx0+cosx0=2].其中正确的命题序号为 .
1. 存在[x0∈R]，使得[x<0]
2. [12]
3.③④
一、概念辨析
全称量词：短语“所有的”“任意一个”，并且用符号“[?]”表示.
存在量词：短语“存在一个” “至少有一个”，并且用符合“[?]”表示.
全称命题：全称命题是陈述某集合所有元素都是某种性质的命题；其中“所有”“每一个”“任意（何）”等意思相同的短语都叫做全称量词；当然有些全称命题在文字叙述上省略了全称量词，在判断是否为全称命题时要注意，一个全称命题还可以包含多个变数.
特称命题：它是陈述在集合中存在一些元素具有某些性质的命题；特称命题一般都含有短语“有一个”“某一个”“有些”或“至少有一个”“存在”等，一个特称命题也可以有多个变数.
例1 请指出下列命题哪些是全称命题？哪些是特称命题？
A. [p1：?x∈Z]，[x3-1=0]
B. [q1：?x∈Z]，[7x-1]是整数
C. [p2：?x∈Z]，[x4-1=0]
D. [q2：?x∈Z]，[5x+1]是整数
分析 这类问题的关键是看“存在”还是“任意”.
解 全称命题是A、B项；特称命题是C、D项.
点拨 可以从量词和命题定义、表述等方面加以区别判断.语句是不是命题关键在于能不能判断真假，也就是判断其是否成立，不能判断真假的语句，就不能叫命题.
二、用法表示
全称量词一般用符号“[?]”表示，全称命题通常可表示如下. 将含有变量[x]的语句用[p（x）]，[q（x）]，[r（x）]…等表示，变量[x]的取值范围用[M]表示，那么，“对[M]中任意一个[x]，有[p（x）]成立”可用符号简记为：[?x∈M]，[P（x）]. 读作：“对任意[x]属于[M]，有[p（x）]成立”.
特称量词一般用符号“[?]”表示，特称命题通常可表示如下. “存在[M]中的一个[x0]，使[p（x0）]成立”可用符号简记为：[?x0∈M]，[p（x0）]. 读作：存在一个[x0]属于[M]，有[p（x0）]成立.
例2 用全称量词和特称量词表示下列命题：
（1）有一个向量[a]，使[2a]的方向不能确定；
（2）存在一个函数[g（x）]，使[g（x）]既是奇函数又是偶函数；
（3）对于任何实数[a]，[b]，[c]，方程[ax2+bx+c=0]都有解.
分析 用全称量词和特称量词表示命题，关键是要正确的使用符号“[?]”和符号“[?]”.
解 （1）[?a][∈{向量}]，使向量[2a]的方向不能确定；
（2）[?g（x）∈{函数}]，使[g（x）]既是奇函数又是偶函数；
（3）[?a]，[b]，[c∈R]，方程[ax2+bc+c=0]都有解.
点拨 判断命题是全称命题还是特称命题主要看命题中是否含有全称量词和特称量词. 当然要注意的是有些全称命题并不是含有全称量词，这时我们就需要根据命题涉及的意义去判断.
三、命题的真假
全称命题和特称命题的真假判断是一个涉及命题的概念和应用的问题，要注意两者的联系和区别，两者的判定要点各不相同.
全称命题：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合[M]中的每个元素[x]验证[p（x）]成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合[M]中的一个[x=x0]，使得[p（x0）]不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反例”）.
特称命题：要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合[M]中找到一个[x=x0]，使[p（x0）]成立即可；否则，这一特称命题就是假命题.
例3 设语句[q（x）：x-1=1-x]，
（1）写出[q（1）]，[q（2）]，并判断它是否为真命题；
（2）写出“[?a∈R]，[q（a）]”，并判断它是否为真命题；
（3）写出“[?a∈R，q（a）]”，并判断它是否是真命题.
分析 语句[q（x）]不是命题，给[x]赋值1，2，则成为语句[q（1）]，[q（2）]，判断其真假，即看[x=1]，[2]时，等式[x-1=1-x]是否成立即可.
解 （1）[q（1）：1-1=1-1]，是一个真命题；[q（2）：2-1≠1-2]，是一个假命题.
（2）[?a∈R]，使[a-1=1-a]. 由（1）知，[q（2）]为假命题，所以“[?a∈R，a-1=1-a]”为假命题.
（3）[?a∈R]，使[a-1=1-a]. 由（1）知，[q（1）]为真命题，所以“[?a∈R，a-1=1-a]”为真命题.
点拨 要判断一个全称命题为假命题，只要举出一个反例即可. 要判断一个特称命题为真命题，只要举出一个例子即可.
四、命题的否定
全称命题的否定：一般的，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论. 全称命题[p：?x∈M，p（x）]，它的否定[?p：?x0∈M]，[?p（x0）].
特称命题的否定：一般的，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论. 特称命题[p：?x0∈M，p（x0）]，它的否定[?p][：?x∈M，?p（x）].
例4 写出下列命题的否命题：
（1）[p：]矩形有一个外接圆；
（2）[q：]若[2]是有理数，则[3>2]；
（3）[r：]存在角[α]，使[tanαtanβ=1].
分析 这类问题的破解关键是要正确理解命题的否定.
解 （1）[?p：]存在矩形没有外接圆.
（2）[?q：]若[2]不是有理数，则[3≤2].
（3）[?r：]对于[?α∈R]，[tanαtanβ≠1].
点拨 求命题的否命题的时候，要注意原命题中是否有省略的量词，要理解原命题的本质含义. 一般而言，特称命题的否定是一个全称命题，全称命题的否定是一个特称命题，因此在书写它们的否定时，相应的存在量词变成全称量词，全称量词变为存在量词.
1. 命题“对任意[x∈R]，都有[x2≥0]”的否定为 .
2. 若[?θ∈R]，使[sinθ≥1]成立，则[cos（θ-π6）]的值为 .
3. 下列四个命题：①[?x0∈R]，使[sinx0+cosx0][=2]；②对[?x∈R]，[sinx+1sinx≥2]；③对[?x∈（0，π2）]，[tanx+1tanx≥2]；④[?x0∈R]，使[sinx0+cosx0=2].其中正确的命题序号为 .
1. 存在[x0∈R]，使得[x<0]
2. [12]
3.③④