论文部分内容阅读
引：如图1所示，用一大小不变的力F拉着物体沿一半径为R的圆周运动一周，力F方向始终沿切线方向，求F所做的功。
分析：此为变力做功，若套用公式W=FL，由于运动一周位移为0，则W=0。
但实际情况是：变力F始终与运动方向相同，变力F始终作为动力做功，因此在物体运动一周过程中，变力F应该做正功。
解决问题的方法：可用微元法将曲线分成无限个小元段△L。每一小元段由于无限小，都可以看成是直线，从而在每一小元段内，可看成是恒力F在做功：W=F·△L，总功为各个小元段做功的代数和：W=∑W=∑F·△L=F∑△L=F·2πR=2πRF。
微元法是分析、解决物理问题的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将研究对象（物体或物理过程）进行无限细分，分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的。微元可以是一小段线段、圆弧，一小块面积，一个小体积、小质量，一小段时间……但应具有整体对象的基本特征。这样，只需分析这些“元过程”，然后将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，问题便可解决。微元法是采用分割、近似、求和、取极限四个步骤建立所求量的积分式来解决的。
例1：设某个物体初速度为v，做加速度为a的匀加速直线运动，经过时间t，则物体的位移与时间的关系式为x=vt+at，试推导。
解析：作物体的v-t图像，如图2把物体的运动分割成若干个小元段，由于每一小元段时间△t极短，速度可以看成是不变的，设为v，则在此△t时间内物体的位移为x=v△t，物体在时间t内的位移为x=∑x=∑v△t，在v-t图像上则为若干个矩形面积之和。
图2
当把运动过程分得非常非常细，若干个矩形合在一起就成了梯形OABC。图线与轴所夹的面积，表示在时间t内物体做匀变速直线运动的位移。
S=（OC+AB）·OA，所以x=（v+v）t。
又v=v+at，联立得x=vt+at。
例2：利用力－位移图像可求功。设弹簧处于原长时弹簧的弹性势能为零，试推导当弹簧形变量为x时弹簧的弹性势能表达式为E=kx，其中为弹簧的倔强系数。
解析：弹簧从处于原长到被拉长的过程中，若克服弹力做功为W，则E=W。但弹力F为变力，W≠Fx。怎么求变力所做的功？
根据F=kx作F-x图像，如图3，把弹簧的伸长运动分割成无数个小元段。由于每一小元段伸长量△x极短，弹力可以看成是不变的，设为F，则在此过程中弹力做功为：△W=F△x。
图3
弹簧在伸长x过程中弹力做功为：W=∑△W=∑F△x，在F-x图像上则为若干个矩形面积之和。当把弹簧伸长过程分得非常非常细，若干个矩形合在一起就成了三角形OAB，图线与x轴所夹的三角形面积就表示弹簧在伸长过程中弹力做的功。
S=·OA·OB，所以W=x·kx=kx，即E=kx。
例3：质量为m的物体从高为n的山顶，沿如图4所示的曲线滑到山脚，用微元法求重力做功多少？
图4
解析：把物体从山顶到山脚所经过的曲线路段分割成无数个小元段，由于每一小元段△L都很小，可认为△L段为直线。设△L段斜面顶角为α，则物体通过△L段重力做功为：△W=mg·△L·cosα=mg·△h。
∴物体从山顶滑到山脚重力所做的总功W=∑△W=mg∑△h=mgh。
例4：如图5所示，将质量为m的物体从山脚拉到高为h的山顶，且拉力总是与物体所经过的坡面平行，已知物体与坡面的摩擦系数为μ，山脚到山顶的水平距离为s，求将物体从山脚拉到山顶至少要做多少功？
图5 图5′
解析：物体在拉力作用下从山脚拉到山顶，重力势能增加，需要拉力做功；又因为物体与山坡间有摩擦力作用，所以同时还要克服摩擦力做功。故拉力所做的总功最小值为物体重力势能的增加量与克服摩擦力做功之和。
摩擦力在山坡的不同位置其方向、大小都不相同，要求出克服摩擦力所做的功，可把物体从山脚到山顶所经过的曲线路段分割成无数个小元段，由于每一小元段△L都很小，可认为△L段为直线，摩擦力方向、大小都不变。通过取一微元段进行分析，进而求得全过程摩擦力做的总功。
解答：当把物体缓慢地拉到山顶时，拉力做功最少。
该过程中，物体重力势能的增加量为：△E=mgh。
如图5′，把物体从山脚到山顶所经过的曲线路段分割成无数个小元段，由于每一小元段△L都很小，可认为△L段为直线。设△L段斜面倾角为θ，则该小段△L过程中摩擦力为恒力，且f=μmgcosθ。
物体通过△L段克服摩擦力做功为：△W=f·△L=μmgcosθ·△L=μmg·△s。
物体从山脚到山顶克服摩擦力做的总功为：W=∑△W=μmg∑△s=μmgs。
综上所述知：将物体拉到山顶，拉力至少要做的功为：W=△E+W=mgh+μmgs。
例5：某行星围绕太阳C沿圆弧轨道运行，它的近日点A离太阳的距离为a，行星经过近日点A时的速度为v，行星的远日点B离开太阳的距离为b，如图6所示，求它经过远日点B时的速度v的大小。
图6 图6′
解析：此题可根据开普勒第二定律用微元法求解。设行星在近日点A时又向前运动了极短的时间△t，由于时间极短，如图6′，可以认为行星在△t时间内做匀速圆周运动，线速度为v，半径为a，可以得到行星在△t时间内扫过的面积为：s=v△t·a。
同理，设行星在经过远日点B时也运动了相同的极短时间△t，则也有：s=v△t·b。
由开普勒第二定律可知：s=s，联立得：v=v。
总之，“微元法”作为高中物理的一个重要物理思想，在被应用于物理解题时，通常化“变”为“恒”，把题中给出的变化的事物或题中反映的变化的过程转化为极为简单的不变的事物或不变的过程来处理。其常用手段为：通过限制“变化”赖以发生的“时间”和“空间”来限制“变化”。由于一切“变化”都必须在一定的时间和空间范围内才可能得以实现，因此“微元法”就抓住“变化”的这一本质特征，通过限制“变化”所需的时间或空间来把变化的事物或变化的过程转化为不变的事物或不变的过程。
分析：此为变力做功，若套用公式W=FL，由于运动一周位移为0，则W=0。
但实际情况是：变力F始终与运动方向相同，变力F始终作为动力做功，因此在物体运动一周过程中，变力F应该做正功。
解决问题的方法：可用微元法将曲线分成无限个小元段△L。每一小元段由于无限小，都可以看成是直线，从而在每一小元段内，可看成是恒力F在做功：W=F·△L，总功为各个小元段做功的代数和：W=∑W=∑F·△L=F∑△L=F·2πR=2πRF。
微元法是分析、解决物理问题的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将研究对象（物体或物理过程）进行无限细分，分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的。微元可以是一小段线段、圆弧，一小块面积，一个小体积、小质量，一小段时间……但应具有整体对象的基本特征。这样，只需分析这些“元过程”，然后将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，问题便可解决。微元法是采用分割、近似、求和、取极限四个步骤建立所求量的积分式来解决的。
例1：设某个物体初速度为v，做加速度为a的匀加速直线运动，经过时间t，则物体的位移与时间的关系式为x=vt+at，试推导。
解析：作物体的v-t图像，如图2把物体的运动分割成若干个小元段，由于每一小元段时间△t极短，速度可以看成是不变的，设为v，则在此△t时间内物体的位移为x=v△t，物体在时间t内的位移为x=∑x=∑v△t，在v-t图像上则为若干个矩形面积之和。
图2
当把运动过程分得非常非常细，若干个矩形合在一起就成了梯形OABC。图线与轴所夹的面积，表示在时间t内物体做匀变速直线运动的位移。
S=（OC+AB）·OA，所以x=（v+v）t。
又v=v+at，联立得x=vt+at。
例2：利用力－位移图像可求功。设弹簧处于原长时弹簧的弹性势能为零，试推导当弹簧形变量为x时弹簧的弹性势能表达式为E=kx，其中为弹簧的倔强系数。
解析：弹簧从处于原长到被拉长的过程中，若克服弹力做功为W，则E=W。但弹力F为变力，W≠Fx。怎么求变力所做的功？
根据F=kx作F-x图像，如图3，把弹簧的伸长运动分割成无数个小元段。由于每一小元段伸长量△x极短，弹力可以看成是不变的，设为F，则在此过程中弹力做功为：△W=F△x。
图3
弹簧在伸长x过程中弹力做功为：W=∑△W=∑F△x，在F-x图像上则为若干个矩形面积之和。当把弹簧伸长过程分得非常非常细，若干个矩形合在一起就成了三角形OAB，图线与x轴所夹的三角形面积就表示弹簧在伸长过程中弹力做的功。
S=·OA·OB，所以W=x·kx=kx，即E=kx。
例3：质量为m的物体从高为n的山顶，沿如图4所示的曲线滑到山脚，用微元法求重力做功多少？
图4
解析：把物体从山顶到山脚所经过的曲线路段分割成无数个小元段，由于每一小元段△L都很小，可认为△L段为直线。设△L段斜面顶角为α，则物体通过△L段重力做功为：△W=mg·△L·cosα=mg·△h。
∴物体从山顶滑到山脚重力所做的总功W=∑△W=mg∑△h=mgh。
例4：如图5所示，将质量为m的物体从山脚拉到高为h的山顶，且拉力总是与物体所经过的坡面平行，已知物体与坡面的摩擦系数为μ，山脚到山顶的水平距离为s，求将物体从山脚拉到山顶至少要做多少功？
图5 图5′
解析：物体在拉力作用下从山脚拉到山顶，重力势能增加，需要拉力做功；又因为物体与山坡间有摩擦力作用，所以同时还要克服摩擦力做功。故拉力所做的总功最小值为物体重力势能的增加量与克服摩擦力做功之和。
摩擦力在山坡的不同位置其方向、大小都不相同，要求出克服摩擦力所做的功，可把物体从山脚到山顶所经过的曲线路段分割成无数个小元段，由于每一小元段△L都很小，可认为△L段为直线，摩擦力方向、大小都不变。通过取一微元段进行分析，进而求得全过程摩擦力做的总功。
解答：当把物体缓慢地拉到山顶时，拉力做功最少。
该过程中，物体重力势能的增加量为：△E=mgh。
如图5′，把物体从山脚到山顶所经过的曲线路段分割成无数个小元段，由于每一小元段△L都很小，可认为△L段为直线。设△L段斜面倾角为θ，则该小段△L过程中摩擦力为恒力，且f=μmgcosθ。
物体通过△L段克服摩擦力做功为：△W=f·△L=μmgcosθ·△L=μmg·△s。
物体从山脚到山顶克服摩擦力做的总功为：W=∑△W=μmg∑△s=μmgs。
综上所述知：将物体拉到山顶，拉力至少要做的功为：W=△E+W=mgh+μmgs。
例5：某行星围绕太阳C沿圆弧轨道运行，它的近日点A离太阳的距离为a，行星经过近日点A时的速度为v，行星的远日点B离开太阳的距离为b，如图6所示，求它经过远日点B时的速度v的大小。
图6 图6′
解析：此题可根据开普勒第二定律用微元法求解。设行星在近日点A时又向前运动了极短的时间△t，由于时间极短，如图6′，可以认为行星在△t时间内做匀速圆周运动，线速度为v，半径为a，可以得到行星在△t时间内扫过的面积为：s=v△t·a。
同理，设行星在经过远日点B时也运动了相同的极短时间△t，则也有：s=v△t·b。
由开普勒第二定律可知：s=s，联立得：v=v。
总之，“微元法”作为高中物理的一个重要物理思想，在被应用于物理解题时，通常化“变”为“恒”，把题中给出的变化的事物或题中反映的变化的过程转化为极为简单的不变的事物或不变的过程来处理。其常用手段为：通过限制“变化”赖以发生的“时间”和“空间”来限制“变化”。由于一切“变化”都必须在一定的时间和空间范围内才可能得以实现，因此“微元法”就抓住“变化”的这一本质特征，通过限制“变化”所需的时间或空间来把变化的事物或变化的过程转化为不变的事物或不变的过程。