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摘要：薄壁滚动轴承故障会使振动信号中出现周期性的冲击响应，通过处理、分析相应的响应信号，能够对故障进行诊断。文章提出了一种EEMD（Ensemble Empirical Mode Decomposition）与TKEO（Teager-Kaiser Energy Operator）相结合的滚动轴承故障诊断方法。首先通过对原始信号进行EEMD解调，得到对应的IMF（本征模态函数）后，对各个阶IMF信号进行TKEO分析，最终得到对应的能量信号与频域信号。结果表明，本文提出的方法效果可显著，为降振降噪指明了方向。
关键词：薄壁滚动轴承;故障诊断;EEMD;TKEO
中图分类号：TH133.33 文献标志码 A
第一作者 宫明1 男，硕士， 1985年生
薄壁轴承由于具有较薄的轴承断面、体积小、重量轻、长寿命、高刚度、低摩擦力矩的特点，广泛应用于航空、航天、医疗器械及机器人等领域[1-2]。通常，径向截面小于内径的1/4，或小于滚动体直径二倍的軸承均可看作是薄壁轴承。轴承是旋转机械中使用最为广泛且最易损坏的机械零件之一[3]，其运行状态直接影响着旋转机械部分甚至是整个机组的运行状态。在机械设备实际工作过程中，滚动轴承的故障率比较高，如果发生了故障就有可能导致严重的后果，因此对轴承状态的监测和故障诊断在机械故障诊断领域有着十分重要的地位[4]。
轴承的常见故障经常发生于外圈、内圈、滚动体上，当滚动轴承出现局部损伤或综合损伤时，必然会引起机械运转异常，与此同时，各部件之间的相对运动会产生周期性的脉冲信号，从而使得滚动轴承在较宽频率内被该脉冲信号所调制，尤其在滚动轴承故障产生的早期阶段，由于异常响应所占的总能量比重较小，并且分布于较宽的范围之内，这就给早期的故障识别与诊断提供了障碍。在轴和轴上多种零部件振动的影响作用下，信号中的干扰激励多，成分复杂，另外，由于周围恶劣环境的影响，拾取的故障信号往往伴有较大大的噪声，因此滚动轴承进行状态监测，就必须排除各种噪声的干扰，提高轴承故障信号的信噪比，高效的获取故障信息成为当今故障诊断工作的重点和难点[5]。
国内外许多学者都致力于轴承故障诊断方面的研究，并取得了良好的效果。Wu 和Huang 于2009 年在经验模态分解（Empirical mode decomposition， EMD）的基础上提出了一种集合经验模态分解（Ensemble empirical mode decomposition， EEMD）的方法[6]。EEMD是针对EMD方法的不足，提出的一种噪声辅助数据分析方法。其本质是利用高斯白噪声具有频率均匀分布的特征，将原始信号从高频到低频分解为若干个不同模态的IMF（本征模态函数），实现混入白噪声的信号连续性，从而有效的解决了经验模态分解的混频问题。中国科技大学的沈长青等将EEMD方法与形态学滤波相结合，提出结构元素法，用于冲击响应特征提取[7]。杨望灿等提出了基于EEMD多尺度模糊熵的齿轮故障诊断方法[8];华中科技大学的吴小涛等依据IMF和SE准则，对筛选出的IMF分量进行信号重构，再进行基于陡峭准则的滤波方法处理[9]。王天金等利用TKEO（Teager能量算子）提取轴承故障引起的周期性冲击，通过瞬时Teager能量的Fourier频谱识别轴承的故障特征频率[10]。
本文首先根据EEMD方法，将原始振动信号分解为若干从高频到低频的IMF信号，如此可实现信号的连续性和模态信号的混频等问题;其次，根据TKEO方法追踪产生信号所需能量，进而在频域上对信号进行谱分析。结果表明，本文所提出方法能够很好的对滚动轴承的早期故障进行诊断和预防。
1.基本理论
1.1 EEMD基本理论
传统的EMD方法，由于外界扰动的存在，常存在混叠问题，同时在运用EMD方法进行三次样条曲线拟合时，由于极值点的数量和分布问题，也会产生误差。为此，Wu 和Huang 提出了一种EEMD 方法，引入频率均匀分布的高斯噪声对原始振动信号进行调制，根据振动信号自身特点，将原始信号从低频到高频自适应的分解为单一模态的IMF与一个余量之和的形式，这样以来就可以克服EMD方法的缺陷。分解出各阶的IMF需要满足以下两个条件：
1. 整个信号序列上，极值点的个数与过零点个数必须相等或者最多相差一个点。
2. 在任意时间点上，分别由信号局部极大值和极小值确定的上、下包络线的均值为零。
EEMD的具体分解过程参见文献[7]。1.2 TKEO基本理论
对于任意连续信号x（t）， teager能量算子Ψ定义为
（1）
其中 和 分别为信号x（t）对时间t的一阶、二阶微分。
以一个作无衰减自由振动的振子的位移函数 为例，有 又知该振子的总能量是常数， ，m为振子的质量，这个能与上式的Ψ运算结果只差一个常数因子m/2，实际上Teager能量算子的输出追踪产生信号所需的总能量。
对于离散信号x（n），由于一阶、二阶微分不存在，故此应用差分代替微分，则Teager能量算子变为：
（2）
由（2）式可知，只需要三个样本数据就可计算任意时刻n处的信号源能量，因此对于变化快的冲击信号而言，该方法反应灵敏，时间分辨率强，特别适用于对瞬态成分的监检测。
根据参考文献[11]、[12]可以得到其振幅 和频率w（n）分别为： （3）
（4）
其中 。
2.基于EEMD和TKEO的故障诊断方法
首先根据薄壁滚动轴承故障特征频率计算公式（5）、（6）、（7）计算外圈、内圈、钢球故障频率[13]分别为：
（5）
（6）
（7）
其中Dw为钢球直径，D为轴承滚道或保持架直径，α为接触角，z为钢球个数，fn为轴旋转频率。
其次，根据轴承试验机采集数据，按照2.1中方法，对原始信号进行EEMD分解，从而可以得到各阶的单一模态分量IMF。
再次，根据2.2中步骤，对各频率下的IMF进行TKEO，得到其能量和振幅。
最后根据频率和振幅特征，将分解后所得频率与计算所得频率比较，如果TKEO变换得到的峰值频率fTKEO与故障频率存在公式（8）关系，即可得到与f对应的滚动轴承部件损坏。
其中N取正整数，f可以为fo，fi，fb，或者fo，fi，fb中两者或者三者共存。
方法整体流程图如下图所示：
3.实验验证
滚动轴承试验机型号为GM-DXJ-12-1轴承动态性能试验机，如图一所示。
实验轴承型号为SKF公司的6205-2RS JEM系列深沟球轴承，轴承参数如表1所示，由相应参数求得滚动轴承故障特征频率参数如表2所示。為了测得故障条件下的振动信号，在不影响滚动轴承正常工作条件下，运用电火花线切割的方法，分别在滚动轴承内、外圈加工宽0.5mm，深0.5mm的通槽模拟轴承局部故障。试验中设定电动机额定转速为1770rpm，采用NI公司的多通道数据采集设备及位移传感器，采样频率为12KHz。实验时应尽量排出外界噪声对所采集信号的影响，保持相对安静实验环境。
经计算，该薄壁滚动轴承的外圈、内圈、钢球故障频率分别为245.1Hz、370.2Hz、69.5Hz。图二为薄壁滚动轴承外圈故障频域信号;图三为原始信号的EEMD分解信号（分别记做e1，e2，e3……e13）及残量（r）;根据已经得到的各个IMF分量，对富含振动信息的首个IMF进行TKEO分解，分别得到幅值-时间图像和频率时间图像。图四、图五为首IMF的幅值-时间和频率-时间波形。
由图四可知，该薄壁滚动轴承在0.1555s、0.2356s及0.5569s有较明显的能量变化，说明在该时刻存在明显振动，薄壁滚动轴承在存在故障。从图五可以看出，相应时刻的频率分别为245.1Hz、490.3Hz及980.5Hz。经计算频率值分别为薄壁滚动外圈固有频率的一倍频、二倍频及四倍频位置，由此可以判断该轴承外圈出现故障。4.结论
本文介绍了基于EEMD和Teager能量箅子的薄壁滚动轴承故障诊断新方法。通过分析模型建立以及对薄壁滚动轴承实验对比分析结果表明：
1）通过总体经验模态分解，可获得一系列本征模态函数，同时可以获得各个固有模态函数的幅值、频率;
2）运用Teager能量箅子能对单个本征模态函数分量进行解调，并追踪信号源的瞬时幅值和频率;
3）基于EEMD和Teager能量算子瞬时幅值的包络谱分析，可获得滚动轴承的故障特征频率，从而能够有效地识别滚动轴承的故障部位。
基于EEMD和Teager能量箅子的故障诊断是提取轴承故障信号的一种有效方法。同时，故障特征频率在该方法中更加凸显出来，因此能有效地应用于薄壁滚动轴承的故障诊断中，并且该方法在复杂信号的故障诊断领域应用具有广阔前景。
参考文献
[1] Chen J Q， Zhou H， Xu L L. Review of theoretical research on the load distribut ion in roller bearing[ J] . Journal of Beijing Inst itute of Petro- chemical Technology， 2000， 8（1） ： 47- 52.
[2] Pinel S I， Signer H R，Zaretsky E V. Design and operating characteristics of high- speed， small- bore ball bearings [J] .Tribology Transactions， 1998，41（ 4） ： 423- 434.
[3] 张超，陈建军，徐亚兰.基于EMD分解和奇异值差分谱理论的轴承故障诊断方法[J].振动工程学报，2011，24（5）：539—545.
Zhang C，Chen J J，Xu Y L.A bearing fault diagnosis method based on EMD and difference spectrum theory of singular value EJ].Journal of Vibration Engineering，2011，24（5）：539—545.
[4] 徐亚军，于德介，孙云嵩，等.滚动轴承故障诊断的阶比多尺度形态学解调方法[J].振动工程学报，2013，26（2）：252—259.
Xu Ya-jun， Yu De-jie，Sun Yun-song，et，al.Roller bearing fault diagnosis using order mult-i scale morphology demodulation [J].Journal of Vibration Engineering， 2013，26（2）：252—259.
[5] Diana G，Fossati F，Resta F.High speed railway col—lecting pantographs active control and overhead lines diagnosis solution[J].Vehicle System Dynamics，1998，30，69—84. [6] 郑直，姜万录，胡浩松，等.基于EEMD形态谱和KFCM聚类集成的滚动轴承故障诊断方法研究[J].振动工程学报，2015，28（2）：324—329.
Zheng Zhi， Jiang Wan-lu， Hu Hao-song， et.al. Research on rolling bearings fault diagnosis method based on EEMD morphological spectrum and kernel fuzzy C-means clustering[J].Journal of Vibration Engineering， 2015，28（2）：324—329.
[7] 沈長青，谢伟达，朱忠奎，等.基于EEMD和改进的形态滤波方法的轴承故障诊断研究[J].振动与冲击，2013，32（2）：39-43.
SHEN Chang-qing，Peter W.Tse，ZHU Zhong-kui， et，al. Rolling element bearing fault diagnosis based on EEMD and improved morphological filtering method[J]. Journal of Vibtation and Shock， 2013，32（2）：39-43.
[8] 杨望灿，张培林，王怀光，等. 基于EEMD的多尺度模糊熵的齿轮故障诊断[J].振动与冲击 2015，34（14）：163—167.
YANG Wang-can， ZHANG Pei-lin， WANG Huai-guang， et.al. Gear fault diagnosis based on multiscale fuzzy entropy of EEMD[J]. Journal of Vibtation and Shock， 2015，34（14）：163—167.
[9] 吴小涛，杨锰，袁晓辉，等. 基于峭度准则EEMD及改进形态滤波方法的轴承故障诊断[J].振动与冲击， 2015 34（2）：38-44.
WU Xiao-tao， YANG Meng， YUAN Xiao-hui， et.al. Bearing fault diagnosis using EEMD and improved morphological filtering method based on kurtosis criterion[J]. Journal of Vibtation and Shock， 2015 34（2）：38-44.
[10] 王天金，冯志鹏，郝如江，等. 基于Teager能量算子的滚动轴承故障诊断研究[J].振动与冲击.2012， 31（2）：1-5.
WANG Tian-jin， FENG Zhi-peng， HAO Ru-jiang， et.al. Fault diagnosis of rolling element bearings based on Teager energy operator[J]. Journal of Vibration and Shock.2012， 31（2）：1-5.
[11] Gadivia-Ceballos， L，Hansen， JHL，Kaiser， JF.，Vocal fold pathology assessment using am autocorrelation analysis of the teager energy operator[J]. In：Proceedings of 4th international conferenceon spoken language， 1996 7（21）：757–600.
[12] Maragos P， Kaiser JF， QuatieriTF. Energy separation in signals modulations with application to speech analysis[J]. IEEE Transactionson Signal Processing， 1993 41（30）： 24–51.
[13] 梅宏斌. 滚动轴承振动监测与诊断[M]. 北京： 机械工业出版社， 1996.
MEI Hongbin. Roller bearing viberation monitoring and diagnosis[M]. Beijing： China Machine Press， 1996.
关键词：薄壁滚动轴承;故障诊断;EEMD;TKEO
中图分类号：TH133.33 文献标志码 A
第一作者 宫明1 男，硕士， 1985年生
薄壁轴承由于具有较薄的轴承断面、体积小、重量轻、长寿命、高刚度、低摩擦力矩的特点，广泛应用于航空、航天、医疗器械及机器人等领域[1-2]。通常，径向截面小于内径的1/4，或小于滚动体直径二倍的軸承均可看作是薄壁轴承。轴承是旋转机械中使用最为广泛且最易损坏的机械零件之一[3]，其运行状态直接影响着旋转机械部分甚至是整个机组的运行状态。在机械设备实际工作过程中，滚动轴承的故障率比较高，如果发生了故障就有可能导致严重的后果，因此对轴承状态的监测和故障诊断在机械故障诊断领域有着十分重要的地位[4]。
轴承的常见故障经常发生于外圈、内圈、滚动体上，当滚动轴承出现局部损伤或综合损伤时，必然会引起机械运转异常，与此同时，各部件之间的相对运动会产生周期性的脉冲信号，从而使得滚动轴承在较宽频率内被该脉冲信号所调制，尤其在滚动轴承故障产生的早期阶段，由于异常响应所占的总能量比重较小，并且分布于较宽的范围之内，这就给早期的故障识别与诊断提供了障碍。在轴和轴上多种零部件振动的影响作用下，信号中的干扰激励多，成分复杂，另外，由于周围恶劣环境的影响，拾取的故障信号往往伴有较大大的噪声，因此滚动轴承进行状态监测，就必须排除各种噪声的干扰，提高轴承故障信号的信噪比，高效的获取故障信息成为当今故障诊断工作的重点和难点[5]。
国内外许多学者都致力于轴承故障诊断方面的研究，并取得了良好的效果。Wu 和Huang 于2009 年在经验模态分解（Empirical mode decomposition， EMD）的基础上提出了一种集合经验模态分解（Ensemble empirical mode decomposition， EEMD）的方法[6]。EEMD是针对EMD方法的不足，提出的一种噪声辅助数据分析方法。其本质是利用高斯白噪声具有频率均匀分布的特征，将原始信号从高频到低频分解为若干个不同模态的IMF（本征模态函数），实现混入白噪声的信号连续性，从而有效的解决了经验模态分解的混频问题。中国科技大学的沈长青等将EEMD方法与形态学滤波相结合，提出结构元素法，用于冲击响应特征提取[7]。杨望灿等提出了基于EEMD多尺度模糊熵的齿轮故障诊断方法[8];华中科技大学的吴小涛等依据IMF和SE准则，对筛选出的IMF分量进行信号重构，再进行基于陡峭准则的滤波方法处理[9]。王天金等利用TKEO（Teager能量算子）提取轴承故障引起的周期性冲击，通过瞬时Teager能量的Fourier频谱识别轴承的故障特征频率[10]。
本文首先根据EEMD方法，将原始振动信号分解为若干从高频到低频的IMF信号，如此可实现信号的连续性和模态信号的混频等问题;其次，根据TKEO方法追踪产生信号所需能量，进而在频域上对信号进行谱分析。结果表明，本文所提出方法能够很好的对滚动轴承的早期故障进行诊断和预防。
1.基本理论
1.1 EEMD基本理论
传统的EMD方法，由于外界扰动的存在，常存在混叠问题，同时在运用EMD方法进行三次样条曲线拟合时，由于极值点的数量和分布问题，也会产生误差。为此，Wu 和Huang 提出了一种EEMD 方法，引入频率均匀分布的高斯噪声对原始振动信号进行调制，根据振动信号自身特点，将原始信号从低频到高频自适应的分解为单一模态的IMF与一个余量之和的形式，这样以来就可以克服EMD方法的缺陷。分解出各阶的IMF需要满足以下两个条件：
1. 整个信号序列上，极值点的个数与过零点个数必须相等或者最多相差一个点。
2. 在任意时间点上，分别由信号局部极大值和极小值确定的上、下包络线的均值为零。
EEMD的具体分解过程参见文献[7]。1.2 TKEO基本理论
对于任意连续信号x（t）， teager能量算子Ψ定义为
（1）
其中 和 分别为信号x（t）对时间t的一阶、二阶微分。
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对于离散信号x（n），由于一阶、二阶微分不存在，故此应用差分代替微分，则Teager能量算子变为：
（2）
由（2）式可知，只需要三个样本数据就可计算任意时刻n处的信号源能量，因此对于变化快的冲击信号而言，该方法反应灵敏，时间分辨率强，特别适用于对瞬态成分的监检测。
根据参考文献[11]、[12]可以得到其振幅 和频率w（n）分别为： （3）
（4）
其中 。
2.基于EEMD和TKEO的故障诊断方法
首先根据薄壁滚动轴承故障特征频率计算公式（5）、（6）、（7）计算外圈、内圈、钢球故障频率[13]分别为：
（5）
（6）
（7）
其中Dw为钢球直径，D为轴承滚道或保持架直径，α为接触角，z为钢球个数，fn为轴旋转频率。
其次，根据轴承试验机采集数据，按照2.1中方法，对原始信号进行EEMD分解，从而可以得到各阶的单一模态分量IMF。
再次，根据2.2中步骤，对各频率下的IMF进行TKEO，得到其能量和振幅。
最后根据频率和振幅特征，将分解后所得频率与计算所得频率比较，如果TKEO变换得到的峰值频率fTKEO与故障频率存在公式（8）关系，即可得到与f对应的滚动轴承部件损坏。
其中N取正整数，f可以为fo，fi，fb，或者fo，fi，fb中两者或者三者共存。
方法整体流程图如下图所示：
3.实验验证
滚动轴承试验机型号为GM-DXJ-12-1轴承动态性能试验机，如图一所示。
实验轴承型号为SKF公司的6205-2RS JEM系列深沟球轴承，轴承参数如表1所示，由相应参数求得滚动轴承故障特征频率参数如表2所示。為了测得故障条件下的振动信号，在不影响滚动轴承正常工作条件下，运用电火花线切割的方法，分别在滚动轴承内、外圈加工宽0.5mm，深0.5mm的通槽模拟轴承局部故障。试验中设定电动机额定转速为1770rpm，采用NI公司的多通道数据采集设备及位移传感器，采样频率为12KHz。实验时应尽量排出外界噪声对所采集信号的影响，保持相对安静实验环境。
经计算，该薄壁滚动轴承的外圈、内圈、钢球故障频率分别为245.1Hz、370.2Hz、69.5Hz。图二为薄壁滚动轴承外圈故障频域信号;图三为原始信号的EEMD分解信号（分别记做e1，e2，e3……e13）及残量（r）;根据已经得到的各个IMF分量，对富含振动信息的首个IMF进行TKEO分解，分别得到幅值-时间图像和频率时间图像。图四、图五为首IMF的幅值-时间和频率-时间波形。
由图四可知，该薄壁滚动轴承在0.1555s、0.2356s及0.5569s有较明显的能量变化，说明在该时刻存在明显振动，薄壁滚动轴承在存在故障。从图五可以看出，相应时刻的频率分别为245.1Hz、490.3Hz及980.5Hz。经计算频率值分别为薄壁滚动外圈固有频率的一倍频、二倍频及四倍频位置，由此可以判断该轴承外圈出现故障。4.结论
本文介绍了基于EEMD和Teager能量箅子的薄壁滚动轴承故障诊断新方法。通过分析模型建立以及对薄壁滚动轴承实验对比分析结果表明：
1）通过总体经验模态分解，可获得一系列本征模态函数，同时可以获得各个固有模态函数的幅值、频率;
2）运用Teager能量箅子能对单个本征模态函数分量进行解调，并追踪信号源的瞬时幅值和频率;
3）基于EEMD和Teager能量算子瞬时幅值的包络谱分析，可获得滚动轴承的故障特征频率，从而能够有效地识别滚动轴承的故障部位。
基于EEMD和Teager能量箅子的故障诊断是提取轴承故障信号的一种有效方法。同时，故障特征频率在该方法中更加凸显出来，因此能有效地应用于薄壁滚动轴承的故障诊断中，并且该方法在复杂信号的故障诊断领域应用具有广阔前景。
参考文献
[1] Chen J Q， Zhou H， Xu L L. Review of theoretical research on the load distribut ion in roller bearing[ J] . Journal of Beijing Inst itute of Petro- chemical Technology， 2000， 8（1） ： 47- 52.
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WU Xiao-tao， YANG Meng， YUAN Xiao-hui， et.al. Bearing fault diagnosis using EEMD and improved morphological filtering method based on kurtosis criterion[J]. Journal of Vibtation and Shock， 2015 34（2）：38-44.
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