论文部分内容阅读
高考代表国家考试,是国家选拔人才的重要途径,其检测的内容和形式也体现了国家对学校教育教学工作的要求. 现从几道高考概率题略谈如何搞好高中概率教学,使教学为生产和社会生活服务,同时也适应国家选拔人才的需要.
一､引导学生仔细区分互斥事件和相互独立事件
在教学中要引导学生理解互斥事件和相互独立事件的定义,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,即如果事件A,B 互斥,那么A,B中有一个发生的概率P(A+B)=P(A)+P(B). 相互独立事件是指事件A(或A,B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积,即P(A•B)=P(A)•P(B).
高考案例1 (2007年高考天津卷)已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒中有大小相同的2个红球和4个黑球,现从甲､乙两个盒内各任取2个球.
(1) 求取出的4个球均为黑球的概率.
(2) 求取出的4个球中恰有1个红球的概率.
(3) 设ξ为取出的4个球中红球的个数,求ξ的分布列和数学期望.
分析与解答 (1) 设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ,“从乙盒中取出的2个球均为黑球”为事件B,由于事件A,B是相互独立事件,且P(A)= = ,P(B)= = ,故取出的4个球均为黑球的概率为 P(A•B)=P(A)•P(B)= × = .
(2) 设“从甲盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球,从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件C. “从甲盒内取出的2个球均为黑球,从乙盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球”为事件D. 由于C,D 是互斥事件,又P(C)= • = P(D)= • = ,所以,取出的4个球中恰有1个红球的概率为P(C+D)=P(C)+P(D)= + = .
(3) 由题意得,ξ可能的取值为0,1,2,3,由(1)(2)得P(ξ=0)= ,P(ξ=1)= ,又P(ξ=3)= • = ,从而P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)= ,即ξ的分布列为:
∴ξ的数学期望是Eξ=0× +1× +2× +3× = .
二､引导学生细心理解独立重复试验恰有k次发生的概率
独立重复事件是指在n次独立重复试验中,如果事件A在其中1次试验中发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是Pn(k)=CnkPk(1-P)n-k .
高考案例2 (2007年高考江苏卷)某气象站天气预报的准确率为80%. 试计算(结果保留到小数点后第二位):
(1) 5次预报中恰有2次准确的概率;
(2) 5次预报中至少有2次准确的概率;
(3) 5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率.
分析与解答 上述问题通过分析是典型的独立重复试验的概率类型,所以(1)5次预报中恰有2次准确的概率为:
P5(2)= C × 0.82 × (1-0.8)5-2 = 10 × 0.82 × 0.23 ≈ 0.05.
(2) 5次预报中至少有2次准确的概率为:
1-P5(0)-P5(1)=1-C×0.80×(1-0.8)5-0-C×0.81×(1-0.8)5-1 = 1 - 0.00032 - 0.0064 ≈ 0.99.
(3) 5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率为:
0.8×C×0.8×(1-0.8)4-1=4×0.82×0.23≈0.02.
三､注意理解对立事件的条件,准确解答对立事件的概率
对立事件是指事件A与 中必有一个发生,这种其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件,两个对立事件的概率之和等于1,所以P(A)=1-P(A).
高考案例3 (2007年高考四川卷)厂家在产品出厂前需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.
(1) 若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,其中任取出4件进行检验,求至少有1件合格的概率.
(2) 若厂家发给商家20件产品,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品,求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及数学期望Eξ,并求该商家拒收这批产品的概率.
分析解答 (1) 设“厂家任取4件产品检验,其中至少有1件是合格品”为事件A,此时符合对立事件的条件,用对立事件 来解答,则有P(A)=1-P(A)=1-(0.2)4=0.9984.
(2) ξ可能的取值为0,1,2,又P(ξ=0)= = , P(ξ=1)= = ,P(ξ=2)= = ,因而ξ的分布列为:
∴ Eξ=0× +1× +2× = = .
记商家任取2件产品检验,都合格为事件B,则商家拒收这批产品的概率为P=1-P(B)=1- = ,所以商家拒收这批产品的概率为 .
四､理解相互独立事件同时发生的概率,认识概率的二项分布,准确运用Pn(k)公式解决实际问题
高考案例4 (2006年高考湖南卷)某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检),若安检不合格,则必须整改;若整改后仍不合格则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率为0.5,整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果精确到0.01):
(1) 恰好有两家煤矿必须整改的概率;
(2) 平均有多少家煤矿必须整改;
(3) 至少关闭一家煤矿的概率.
分析与解答 (1)由题意,每家煤矿必须整改的概率为(1-0.5),且每家煤矿是否整改是相互独立的,所以恰有两家煤矿必须整改的概率是P1=C(1-0.5)2×0.53≈0.31.
(2) 某煤矿被关闭,即该煤矿第一次安检不合格,整改后经复查仍不合格,所以该煤矿被关闭的概率是P2=(1-0.5)×(1-0.8)=0.1,从而该煤矿不被关闭的概率是1-0.1=0.9.
(3) 由题设和(2)可知,每家煤矿不被关闭的概率是0.9,且每家煤矿是否关闭是相互独立的,所以至少关闭一家煤矿的概率是P3=1-0.95=0.41.
五､仔细分析理解概率之间的联系及概率分布,会求数学期望
高考案例5 (2006年高考全国卷) A,B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比实验,每个实验组由4只白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效,若在一个试验组中服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验为甲类组,设每只小白鼠服用A有效的概率为 ,服用B有效的概率为 .
(1) 求一个试验组为甲类组的概率.
(2) 观察3个试验组,用ξ表示这3个试验组的个数,求ξ的分布列和数学期望.
解析 (1) 设Ai表示事件“一个试验组中服用A有效的小白鼠有i只, i=0,1,2”, Bi表示事件“一个试验组中,服用B有效的小白鼠有i只,i=0,1,2”,依题意有 P(A1)=2× × = ,P(A2)= × = ,P(B0)= × = ,P(B1)=2× × = .
故所求的概率为P=P(B0A1)+P(B0A2)+P(B1A2)= × + × + × = .
(2) ξ的可能值为0,1,2,3,且ξ~B3,,又
P(ξ=0)= 3= ,P(ξ=1)=C× × 2= ,
数学期望Eξ=0× +1× +2× +3× = .
总之,对于高中数学概率教学,我们必须把握好课程标准,理解渗透,夯实提高. 既能灵活运用所学概率知识解决实际问题,又能适应高考选拔人才的需要.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”
一､引导学生仔细区分互斥事件和相互独立事件
在教学中要引导学生理解互斥事件和相互独立事件的定义,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,即如果事件A,B 互斥,那么A,B中有一个发生的概率P(A+B)=P(A)+P(B). 相互独立事件是指事件A(或A,B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积,即P(A•B)=P(A)•P(B).
高考案例1 (2007年高考天津卷)已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒中有大小相同的2个红球和4个黑球,现从甲､乙两个盒内各任取2个球.
(1) 求取出的4个球均为黑球的概率.
(2) 求取出的4个球中恰有1个红球的概率.
(3) 设ξ为取出的4个球中红球的个数,求ξ的分布列和数学期望.
分析与解答 (1) 设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ,“从乙盒中取出的2个球均为黑球”为事件B,由于事件A,B是相互独立事件,且P(A)= = ,P(B)= = ,故取出的4个球均为黑球的概率为 P(A•B)=P(A)•P(B)= × = .
(2) 设“从甲盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球,从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件C. “从甲盒内取出的2个球均为黑球,从乙盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球”为事件D. 由于C,D 是互斥事件,又P(C)= • = P(D)= • = ,所以,取出的4个球中恰有1个红球的概率为P(C+D)=P(C)+P(D)= + = .
(3) 由题意得,ξ可能的取值为0,1,2,3,由(1)(2)得P(ξ=0)= ,P(ξ=1)= ,又P(ξ=3)= • = ,从而P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)= ,即ξ的分布列为:
∴ξ的数学期望是Eξ=0× +1× +2× +3× = .
二､引导学生细心理解独立重复试验恰有k次发生的概率
独立重复事件是指在n次独立重复试验中,如果事件A在其中1次试验中发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是Pn(k)=CnkPk(1-P)n-k .
高考案例2 (2007年高考江苏卷)某气象站天气预报的准确率为80%. 试计算(结果保留到小数点后第二位):
(1) 5次预报中恰有2次准确的概率;
(2) 5次预报中至少有2次准确的概率;
(3) 5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率.
分析与解答 上述问题通过分析是典型的独立重复试验的概率类型,所以(1)5次预报中恰有2次准确的概率为:
P5(2)= C × 0.82 × (1-0.8)5-2 = 10 × 0.82 × 0.23 ≈ 0.05.
(2) 5次预报中至少有2次准确的概率为:
1-P5(0)-P5(1)=1-C×0.80×(1-0.8)5-0-C×0.81×(1-0.8)5-1 = 1 - 0.00032 - 0.0064 ≈ 0.99.
(3) 5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率为:
0.8×C×0.8×(1-0.8)4-1=4×0.82×0.23≈0.02.
三､注意理解对立事件的条件,准确解答对立事件的概率
对立事件是指事件A与 中必有一个发生,这种其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件,两个对立事件的概率之和等于1,所以P(A)=1-P(A).
高考案例3 (2007年高考四川卷)厂家在产品出厂前需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.
(1) 若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,其中任取出4件进行检验,求至少有1件合格的概率.
(2) 若厂家发给商家20件产品,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品,求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及数学期望Eξ,并求该商家拒收这批产品的概率.
分析解答 (1) 设“厂家任取4件产品检验,其中至少有1件是合格品”为事件A,此时符合对立事件的条件,用对立事件 来解答,则有P(A)=1-P(A)=1-(0.2)4=0.9984.
(2) ξ可能的取值为0,1,2,又P(ξ=0)= = , P(ξ=1)= = ,P(ξ=2)= = ,因而ξ的分布列为:
∴ Eξ=0× +1× +2× = = .
记商家任取2件产品检验,都合格为事件B,则商家拒收这批产品的概率为P=1-P(B)=1- = ,所以商家拒收这批产品的概率为 .
四､理解相互独立事件同时发生的概率,认识概率的二项分布,准确运用Pn(k)公式解决实际问题
高考案例4 (2006年高考湖南卷)某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检),若安检不合格,则必须整改;若整改后仍不合格则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率为0.5,整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果精确到0.01):
(1) 恰好有两家煤矿必须整改的概率;
(2) 平均有多少家煤矿必须整改;
(3) 至少关闭一家煤矿的概率.
分析与解答 (1)由题意,每家煤矿必须整改的概率为(1-0.5),且每家煤矿是否整改是相互独立的,所以恰有两家煤矿必须整改的概率是P1=C(1-0.5)2×0.53≈0.31.
(2) 某煤矿被关闭,即该煤矿第一次安检不合格,整改后经复查仍不合格,所以该煤矿被关闭的概率是P2=(1-0.5)×(1-0.8)=0.1,从而该煤矿不被关闭的概率是1-0.1=0.9.
(3) 由题设和(2)可知,每家煤矿不被关闭的概率是0.9,且每家煤矿是否关闭是相互独立的,所以至少关闭一家煤矿的概率是P3=1-0.95=0.41.
五､仔细分析理解概率之间的联系及概率分布,会求数学期望
高考案例5 (2006年高考全国卷) A,B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比实验,每个实验组由4只白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效,若在一个试验组中服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验为甲类组,设每只小白鼠服用A有效的概率为 ,服用B有效的概率为 .
(1) 求一个试验组为甲类组的概率.
(2) 观察3个试验组,用ξ表示这3个试验组的个数,求ξ的分布列和数学期望.
解析 (1) 设Ai表示事件“一个试验组中服用A有效的小白鼠有i只, i=0,1,2”, Bi表示事件“一个试验组中,服用B有效的小白鼠有i只,i=0,1,2”,依题意有 P(A1)=2× × = ,P(A2)= × = ,P(B0)= × = ,P(B1)=2× × = .
故所求的概率为P=P(B0A1)+P(B0A2)+P(B1A2)= × + × + × = .
(2) ξ的可能值为0,1,2,3,且ξ~B3,,又
P(ξ=0)= 3= ,P(ξ=1)=C× × 2= ,
数学期望Eξ=0× +1× +2× +3× = .
总之,对于高中数学概率教学,我们必须把握好课程标准,理解渗透,夯实提高. 既能灵活运用所学概率知识解决实际问题,又能适应高考选拔人才的需要.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”