论文部分内容阅读
摘 要： 使用数学方法解决问题需要使用一定的步骤，本文就使用数学解决问题需要遵循的原则和步骤进行了总结，并使用例题进行了说明.解决问题的基本步骤基本包括：理解问题；制定解题计划；检查解体设计；回头看等组成。
关键词： 解题原则；制定计划；使用类比；回头看
任何问题的解决都不存在快速且严格的原则或方法来确保成功.但是，在使用数学方法解决问题的过程中却存在一般会使用的一些步骤，以及一些原则，使得我们在解决某些问题时会有成功的可能.这些步骤和原则只不过是一些常识的具体化体现.这些步骤和原则改编自George Polya的著作“如何解题？”.
步骤一 理解问题 解决问题的第一步就是详细阅读所给问题，以确保充分能够理解问题的意思.在这一步中一般会需要问你自己几个问题，也就是：这个问题的未知数是什么？问题中的已知量有哪些？题目给出的条件（也就是已知信息，这些信息也包括一些常识）是什么？
对于很多问题，使用已知的条件和需要解决的量，画出图像通常对解决问题有很大的帮助.通常情况下，也有必要引入合适的符号，也就是字母，对未知数进行标记，在标记时，经常会用到诸如a，b，c，d，m，n，x和y等字母，但有些情况，通常也会使用带有提示性的首字母，例如，一般会用V用来表示体积，t用来表示时间，E表示电场，等等.
步骤二 制定解題计划 根据题目所给的信息，分析出已知信息和未知量之间的联系，就能够使得我们计算出未知数的值.通常，思考并给自己发问，提出下面的问题对解决问题有帮助：“我如何把已知条件和未知数联系起来？”如果你没能立刻发现这种联系，接下来的一些思路会有助于你制订出一个解题计划.
在分析问题的过程中，尝试辨别一些熟悉的事物 把已知情况与已有知识相联系.查看未知数，然后尝试回忆具有类似未知数的较为熟悉的其他问题.这个过程会有下面给出的一些子步骤.
（一）试着找到问题具有的特征模式 有些问题的解决可以通过辨认出问题的某些模式实现.这些个模式可能是几何的、数值上的或代数形式的.如果能够辨识出问题中的这些规律或重复出现的模式，就有能够猜出问题的模式是什么，然后加以解决.
（二）使用类比法 试着分析出于要解决的问题类似的问题，也就是，相似 且与要解决的问题相关的问题，但是比原始问题又要简单一些儿.如果能够解决类似的，简单一些的问题，我们就可能给出解决原始的难度较大的问题的思路.例如，如果一个涉及非常大的数，你可以首先尝试解决类似的，但是所需的数小一些的问题.或者，如果问题涉及到了立方几何，你便可以尝试解决一类似的平面几何问题.或者，如果问题要求解决的是一般性的问题，你就可以从解决特例开始.
（三）引入其他附加条件 有时候，有必要引入一些新的具有辅助性的并有助于把已知条件和未知数联系起来的条件.例如，在一个问题中，如果给出了图像，辅助条件可以是在图像上添加的新的直线.在更一般的代数问题中，辅助条件可能会是一个新的与原始未知数相关联的未知数.
（四）使用案例 有时候解决问题时，需要把一个问题分成几种情况，然后对每种情况分别给出不同的讨论.例如，我们常常使用这样的解题策略解决涉及绝对值的问题.
（五）反推 有些情况，把问题想象成已经解决了，然后一步步反推，直到得到已知的数据.然后，就可以把步骤反向进行，从而得到解决原始问题的方法和步骤.这样的步骤通常用在解方程上.例如，要解方程3x-5=7，我们假设x是满足等式的一个数，然后反推.在方程的两边都加上5，然后除以3，得到x=4.因为这里用到的每一步都是可逆的，所以问题得到了解决.
（六）建立子目标 在一个复杂的问题中，设立子目标（这些子目标中，需要的条件只需要部分满足即可）有助于解决问题.如果你能首先完成这些子目标，就可能在这些子目标的基础上达到我们的最终目标.
（七）间接推理 有些问题，可以通过间接的方式解决比较恰当.比如，使用矛盾证明P，暗示Q，我们可以假设P成立，Q是伪命题，然后试着说明为什么如此.有时候，我们需要使用这个信息，然后得到一个与我们确定正确的矛盾.
（八）数学归纳法 在证明涉及正整数的问题中，经常会频繁使用接下来的法则.
这个方法是合理的，因为S1正确，那么根据条件2（k-1），S2也是正确的.然后，使用条件2，使用k=2，可以看到也是正确的.再次使用条件2，使用k=3，可以看到S4正确.这个步骤可以无限地进行下去.
步骤三 检查解题设计 在步骤2中，解题设计是制定出来的.在施行这些设计时，需要检查每一个步骤，然后详细地写出证明每一步正确的依据.
步骤四 回头看 在给出题目的解后，把整个解题过程进行检查是明智的，这样做的一部分原因是为了看一下是否在解题过程中出了错，也是为了看一下有没有更简单地解题方式.另一个回头看的原因就是可以让我们熟悉解题模式，从而对于解决后面遇到的问题有所助益.笛卡尔说过，“我们解决的每一个问题都可以成为以后解决其他问题的依据.”
在使用数学归纳法时，有如下三步：
第一步 证明当n=1时，Sn正确.
第二步 设Sn当n=k时正确，推导当n=k+1时，Sk+1正确.
第三步 根据数学归纳法，得出结论，对于所有的n值，Sn正确.
由此可见，使用数学方法解决问题时需要遵循一定的原则，使用相应的步骤，但这些原则和步骤根据需要解决的问题实际相应的进行调整，不能僵硬地认为所有步骤都会用到每一个原则.而且，同一个问题会有不同的方法，这里面存在一个方法最简或最佳的问题，大家应该能够做到比较辨认。■
参考文献
[1]Calculus，.James. Stewart， 7ed. Brooker，.2012 P97-101.
关键词： 解题原则；制定计划；使用类比；回头看
任何问题的解决都不存在快速且严格的原则或方法来确保成功.但是，在使用数学方法解决问题的过程中却存在一般会使用的一些步骤，以及一些原则，使得我们在解决某些问题时会有成功的可能.这些步骤和原则只不过是一些常识的具体化体现.这些步骤和原则改编自George Polya的著作“如何解题？”.
步骤一 理解问题 解决问题的第一步就是详细阅读所给问题，以确保充分能够理解问题的意思.在这一步中一般会需要问你自己几个问题，也就是：这个问题的未知数是什么？问题中的已知量有哪些？题目给出的条件（也就是已知信息，这些信息也包括一些常识）是什么？
对于很多问题，使用已知的条件和需要解决的量，画出图像通常对解决问题有很大的帮助.通常情况下，也有必要引入合适的符号，也就是字母，对未知数进行标记，在标记时，经常会用到诸如a，b，c，d，m，n，x和y等字母，但有些情况，通常也会使用带有提示性的首字母，例如，一般会用V用来表示体积，t用来表示时间，E表示电场，等等.
步骤二 制定解題计划 根据题目所给的信息，分析出已知信息和未知量之间的联系，就能够使得我们计算出未知数的值.通常，思考并给自己发问，提出下面的问题对解决问题有帮助：“我如何把已知条件和未知数联系起来？”如果你没能立刻发现这种联系，接下来的一些思路会有助于你制订出一个解题计划.
在分析问题的过程中，尝试辨别一些熟悉的事物 把已知情况与已有知识相联系.查看未知数，然后尝试回忆具有类似未知数的较为熟悉的其他问题.这个过程会有下面给出的一些子步骤.
（一）试着找到问题具有的特征模式 有些问题的解决可以通过辨认出问题的某些模式实现.这些个模式可能是几何的、数值上的或代数形式的.如果能够辨识出问题中的这些规律或重复出现的模式，就有能够猜出问题的模式是什么，然后加以解决.
（二）使用类比法 试着分析出于要解决的问题类似的问题，也就是，相似 且与要解决的问题相关的问题，但是比原始问题又要简单一些儿.如果能够解决类似的，简单一些的问题，我们就可能给出解决原始的难度较大的问题的思路.例如，如果一个涉及非常大的数，你可以首先尝试解决类似的，但是所需的数小一些的问题.或者，如果问题涉及到了立方几何，你便可以尝试解决一类似的平面几何问题.或者，如果问题要求解决的是一般性的问题，你就可以从解决特例开始.
（三）引入其他附加条件 有时候，有必要引入一些新的具有辅助性的并有助于把已知条件和未知数联系起来的条件.例如，在一个问题中，如果给出了图像，辅助条件可以是在图像上添加的新的直线.在更一般的代数问题中，辅助条件可能会是一个新的与原始未知数相关联的未知数.
（四）使用案例 有时候解决问题时，需要把一个问题分成几种情况，然后对每种情况分别给出不同的讨论.例如，我们常常使用这样的解题策略解决涉及绝对值的问题.
（五）反推 有些情况，把问题想象成已经解决了，然后一步步反推，直到得到已知的数据.然后，就可以把步骤反向进行，从而得到解决原始问题的方法和步骤.这样的步骤通常用在解方程上.例如，要解方程3x-5=7，我们假设x是满足等式的一个数，然后反推.在方程的两边都加上5，然后除以3，得到x=4.因为这里用到的每一步都是可逆的，所以问题得到了解决.
（六）建立子目标 在一个复杂的问题中，设立子目标（这些子目标中，需要的条件只需要部分满足即可）有助于解决问题.如果你能首先完成这些子目标，就可能在这些子目标的基础上达到我们的最终目标.
（七）间接推理 有些问题，可以通过间接的方式解决比较恰当.比如，使用矛盾证明P，暗示Q，我们可以假设P成立，Q是伪命题，然后试着说明为什么如此.有时候，我们需要使用这个信息，然后得到一个与我们确定正确的矛盾.
（八）数学归纳法 在证明涉及正整数的问题中，经常会频繁使用接下来的法则.
这个方法是合理的，因为S1正确，那么根据条件2（k-1），S2也是正确的.然后，使用条件2，使用k=2，可以看到也是正确的.再次使用条件2，使用k=3，可以看到S4正确.这个步骤可以无限地进行下去.
步骤三 检查解题设计 在步骤2中，解题设计是制定出来的.在施行这些设计时，需要检查每一个步骤，然后详细地写出证明每一步正确的依据.
步骤四 回头看 在给出题目的解后，把整个解题过程进行检查是明智的，这样做的一部分原因是为了看一下是否在解题过程中出了错，也是为了看一下有没有更简单地解题方式.另一个回头看的原因就是可以让我们熟悉解题模式，从而对于解决后面遇到的问题有所助益.笛卡尔说过，“我们解决的每一个问题都可以成为以后解决其他问题的依据.”
在使用数学归纳法时，有如下三步：
第一步 证明当n=1时，Sn正确.
第二步 设Sn当n=k时正确，推导当n=k+1时，Sk+1正确.
第三步 根据数学归纳法，得出结论，对于所有的n值，Sn正确.
由此可见，使用数学方法解决问题时需要遵循一定的原则，使用相应的步骤，但这些原则和步骤根据需要解决的问题实际相应的进行调整，不能僵硬地认为所有步骤都会用到每一个原则.而且，同一个问题会有不同的方法，这里面存在一个方法最简或最佳的问题，大家应该能够做到比较辨认。■
参考文献
[1]Calculus，.James. Stewart， 7ed. Brooker，.2012 P97-101.