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教材：北师大版七年级下册与八年级上册
上课时间：2019年5月15日
上课班级：金苹果锦城第一中学七（13）班
课型：新授课
1 教学目标
（1）根据角平分线与对称轴的关系，探索如何利用尺规画角平分线。
（2）经历探索角的性质及判定的过程，进一步理解轴对称的性质，发展空间观念。
（3）应用角平分线的性质定理與判定定理解决问题，培养独立思考的能力，并能在解决问题过程中能规范表达。
教学重点：角平分线的尺规作法，角平分线的性质及判定
教学难点：运用角平分线的性质与判定解决问题
创新点：教学中不拘泥于教材，改变教材的安排，有利于学生进行探究
2 教学设计
教师是学习活动的引导者和组织者，学生是课堂的主人。教学中充分运用现代化信息技术，尊重学生的个体差异，鼓励学生自主探索与合作交流，让学生经历知识的形成与应用过程，鼓励学生的直觉并且运用基本方法进行相关的验证，指导学生注重数学知识之间的联系，不断提高解决问题的能力。
3 教具的选择和使用目的
多媒体课件及实物展示，通过动画演示化解知识难点，运用实物展台，实现现代教育技术既作为教的工具，也作为学的工具。
4 教学过程
老师：我们刚刚学了垂直平分线的性质与判定，利用垂直平分线的性质探索出了一种新的证明线段相等的方法。这节课我们将继续来研究角平分线的性质及判定。它将会给大家带来证明角等或线段等的另一种新思路。
首先我们来认识角：第1个问题，角是轴对称图形，那么它的对称轴在哪里？
生1：角平分线所在的直线
老师：非常好，表述的非常清晰！第2个问题，那么我们有哪些方法可以得到角平分线呢？
生2：让两个角相等
老师：怎样让两个角相等呢？
生2：利用量角器去量
老师：还有没有其他方法？
生3：可以将角的两条边重合，并对折。
老师：很好，你们手上都有一个画好的角，请同学们动手试试，怎样折出角的平分线。
（老师在教室巡视，掌握学生及时情况）
老师：对折的本质是什么？
学生4：轴对称图形的性质
老师：在生活当中，工人师傅常常需要用到角平分线。他们会制作一个简易的角平分仪。（展示简易的角平分仪）我们来观察这两个模型：蓝色这两条线段是相等的，绿色的两条线段也是相等的。那么我们怎么用它来画角平分线呢？请大家看我操作。比如说我要作∠AOB的角平分线。首先使这个蓝色的角的顶点与∠AOB的顶点重合。然后调整这两条蓝色的边，使这两条蓝色的边和∠AOB的两条边分别重合。接着连接这两个点，所成的射线就是∠AOB的平分线。（展示PPT图片）请同学们思考，这样做的原理是什么呢？好，请这位同学起来说一下。
生5：ON=OM，CN=CM，OC是公共边。所以这两个三角形是全等的。
老师：利用边边边构造全等三角形，再由全等三角形的性质可以得到哪两个角的呢？
生6：∠NOC和∠MOC
老师：同学们，能否通过这个模型的启发，思考出怎样用尺规来作∠AOB平分线？
（老师巡视，对有困难的同学进行指导）
老师：现在请会画的同学来跟大家分享怎么用尺规作角平分线？
生7：以O为圆心，任意长为半径画弧。接着分别以M、N为圆心，任意长为半径，画弧，两弧会交于一点C，连接OC。
老师：好，OC即为∠AOB的平分线，我们再把做法展示给大家看一下，那就有一个问题，为什么以M和N为圆心的时候，取半径要取大于1/2的MN呢？
生8：如果取比MV的一半小的话，那么这两段弧是没有交点的。
老师：非常好！我们在前面学习角平分线就知道角平分线平分角的性质，那么角平分线上点会有怎样的性质呢？（展示PPT）已知OC是∠AOB的角平分线，在OC上取一点P分别向OA和OB边作垂线段，那么这两条垂线段有怎样的数量关系？
生9：相等
老师：怎么证明这个结论呢？
生10：因为∠1=∠2，∠PDO=∠PEO，且OP等于OP公共边，所以利用AAS证明三角形全等。由全等三角形的性质就可以推出PD=PE。
老师：通过证明，我们就得到了角平分线的性质定理。请同学们把这个定理在学案上勾画起来，并且分析一下，在这个定理里面哪些是已知的条件。
（老师板书，学生勾划）
老师：我请一个同学起来分析已知条件有哪些？
生11：第1个条件角平分线;第2个条件是角平分线上的点到这个角两边的距离。
老师：就是过这个点作角两边的垂线段。结论是什么？
生11：这两条垂线段相等
老师：很好！接着我们结合几何图形来写出它的符号语言。
生12：∵ OP是∠AOB的平分线
∴ PD=PE
老师：那如果我把点D换一个位置，那么PD=PE吗？
生12：哦，还要加上PD ⊥OA，PE ⊥OB。
老师：所以必须要强调，这两条线段是垂线段，才会相等。（老师板书完成）这个定理里面的已知条件有几个？
生13：2个
老师：你们理解到平分线的性质来吗？（展示3个练习）
老师：第1小题如图，∵如图，PE⊥OA，PF⊥OB（已知），∴PF=PE.
生14：错，因为没有强调OP是∠AOB的平分线 老师：第2题∵ 如图，OP平分∠AOB（已知）∴ PF = PE .
生15：错，因为强调它们是垂线段，所以不能得到它们相等。
老师：第3题。∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PE=3cm（已知）∴点P到OB的距离等于3cm
生16：错
老师：为什么错？错在哪里？
生16：哦，对的。
老师：图中有没有点P到AB的距离？
生16：没有
老师：没有，又想用角平分线的性质怎么办？
生17：添加角平分线
老师：非常好！接下来我们来看怎么应用角平分线的性质。
（学生思考，老师示范板书）
老师：好，先回答，DE与DC的关系
生18：相等，
老师：好，理由。
学生18：因为BD平分角ABC，且DE垂直BA，DC垂直于BC，所以CD就等于CE。
老师：如果我把这道题改一下，把DE去掉。请思考这个题又该怎样做？（老师板书）
生18：因为AC=8，AD=5。所以DC=3.过D点作AB边的高DE
老师：为什么想到这样添加辅助线？
生18：因为已知角平分，要用角平分线的性质，就应该添加这条垂线段。
生19：因为求三角形的面积，也需要作AB边的高。
老师：由角平分线性质可以得到DE=DC，因为DC=3，所以DE=3，AB=10，所以面积是？
生19：15
老师：做对的举手。
（及时了解学生对知识的掌握情况）
老师：通过这个题，我们发现遇到角平分线，要用角平分线的性质，就应该想到构造垂线段。那么接下来请同学们把变式2完成。
（学生独立完成，老师巡视，个别辅导，并用平板展示学生完成的情况）
老师：好了，请同学们停下来，我们来看一下这位同学完成的情况。我们看第1排，他想到了作垂线段，书写可以改进一下：过点P作PT垂直于BC于点T。因为CP平分∠DCB，然后是PT垂直AC，PD垂直于CD。角平分线的性质能得到两组线段相等吗？
学生20：能
老师：那你说一下怎么得到？
学生20：好像不对！TC和CD不是角平分线上的点到角两边的距离
老师：观察得非常仔细！
老师：那么它们相等吗？
学生：相等
老师：不能用角平分线的性质，那用什么来证明呢？
学生：全等
老师：继续，那后面这两条线段相等。这已经告诉了垂线段PA垂直于BA，PT垂直于BC。所以PT=PA。然后等量代换，所以PA=PD，而AD=8，所以PA=PD=4。接着PT，是等于它们的，所以也等于4。这个书写的过程大家下去再去整理一下。通过这两个练习，我们又获得添加辅助线的新方法是？
学生：遇到角平分线，添加垂线段
老师：很棒！请记录在你们的学习单上。反过来，如果在一个角的内部取一点P，过点P向OA、OB边作垂线段，并且这两条垂线段相等，那么，这样的点p有多少个？它们有怎样的一个共同点呢？
学生：有无数个，在角平分線上
老师：我们用一个数学实验来探索。
（利用几何画板展示动画效果）
学生：只要始终保证这两条垂线段PE和PD相等，这样的点P有无数个，而且他们都在这个∠AOB的平分线上。
老师：能否用更简洁的语言来描述这一现象
学生：到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上
老师：怎么来证明这个结论呢？
学生：利用HL可以证得这两个直角三角形全等的，所以由全等三角形的性质可得∠1=∠2，所以OP就是∠AOB的平分线。
老师：通过大家的努力，我们得到了角平分线的判定，请大家在学案上勾画，并分析有哪些已知条件。
学生：这里面一个是距离，一个是距离相等
老师：那么这两个条件能推出什么结论呢？
学生：能推出它是角平分线
老师：那我们用符号语言怎么来表述这个结论呢？
学生：∵ PD ⊥OA ，PE ⊥OB 且PD=PE
∴OP是∠AOB的平分线
老师：判定的本质是证明角等，性质的本质是证明线段等。但它们的已知条件中有一个共同条件？
学生：垂线段。
老师：我们来看到这个手拉手模型（展示PPT）：可以得到一个基本的结论？
学生;三角形ABC全等于三角形DBE。
老师：如果我们把OB连接，那请问OB平分角AOE吗？
学生：平分
老师：那我们怎么去证明它呢？
学生：过点B作AC边的垂线段BG。然后再过点B作DE边的垂线段BP。而因为三角形ABC全等于三角形DBE。所以由全等三角形对应边上的高相等。然后呢，他们又是垂线段。然后因为OB=OB所以用HL可以证三角形全等。
老师：很好，用全等的性质证明到角等。谁能把这个方法再优化一下？
学生：BG垂直于OA，BP垂直于OB。且BG=BP。所以说OB平分角AOE。
老师：非常好！这个其实就是可以直接利用角平分线的判定，由垂线段相等就可以推出角等的。这样做就绕开了全等的思路，显得更简洁！这个题有告诉我们添加辅助线的方法？
生：遇到角平分线的问题，添加垂线段。
老师：请同学们做好笔记。我们在前面学习三角形的时候就知道三角形的角平分线会交于一点。为什么呢？现在我们就可以利用这节课所学的知识来解答它。
（分组讨论，老师巡视，个别指导）
老师：我请一个同学来说说怎么解决这个问题。好，你来。
学生：证明点F在角A的平分线上，由两点确定一条直线，我们应该想到连接AF，本质就是证明AF平分角BAC。这样就容易联想到我们这节课学习的角平分线判定。转化为证明垂线段相等。然后继续添加辅助线过点F作FG垂直AB。FH垂直于BC，FP垂直于AC。
（学生说，老师板书）
学生：因为BD平分角ABC，然后FG垂直于BA，FH垂直于BC，所以FG=FP，
老师：这个用到的是什么结论？
学生：角平分线的性质，
老师：继续，
学生：又因为CE平分角ACB，FG垂直于BC，FP垂直于AC，FP=FG。所以FH=FG然后又因为FH垂直AB，FP垂直于AC。所以可以推出AF平分角BAC。
老师：很棒！现在，我们更有底气地说三角形的三条角平分线是交于一点！而这一点叫做三角形的内心，而这个内心到三角形三条边的距离是相等的。
师生合作：
收获：这一节课我们学到的内容有哪些？这些内容都用到了以前的什么知识推导？角平分线的性质及判定的本质是什么？添加辅助线的方法是什么？
体会：数学来源于生活，集体的力量是无穷的……
老师：今天的作业，第1个是完善你们的学案，然后留下了这个思考题下去独立思考，第2个是完成优化的106和108页。
今天的课就到这里，下课。
（作者单位：四川省成都市金苹果锦城第一中学）
上课时间：2019年5月15日
上课班级：金苹果锦城第一中学七（13）班
课型：新授课
1 教学目标
（1）根据角平分线与对称轴的关系，探索如何利用尺规画角平分线。
（2）经历探索角的性质及判定的过程，进一步理解轴对称的性质，发展空间观念。
（3）应用角平分线的性质定理與判定定理解决问题，培养独立思考的能力，并能在解决问题过程中能规范表达。
教学重点：角平分线的尺规作法，角平分线的性质及判定
教学难点：运用角平分线的性质与判定解决问题
创新点：教学中不拘泥于教材，改变教材的安排，有利于学生进行探究
2 教学设计
教师是学习活动的引导者和组织者，学生是课堂的主人。教学中充分运用现代化信息技术，尊重学生的个体差异，鼓励学生自主探索与合作交流，让学生经历知识的形成与应用过程，鼓励学生的直觉并且运用基本方法进行相关的验证，指导学生注重数学知识之间的联系，不断提高解决问题的能力。
3 教具的选择和使用目的
多媒体课件及实物展示，通过动画演示化解知识难点，运用实物展台，实现现代教育技术既作为教的工具，也作为学的工具。
4 教学过程
老师：我们刚刚学了垂直平分线的性质与判定，利用垂直平分线的性质探索出了一种新的证明线段相等的方法。这节课我们将继续来研究角平分线的性质及判定。它将会给大家带来证明角等或线段等的另一种新思路。
首先我们来认识角：第1个问题，角是轴对称图形，那么它的对称轴在哪里？
生1：角平分线所在的直线
老师：非常好，表述的非常清晰！第2个问题，那么我们有哪些方法可以得到角平分线呢？
生2：让两个角相等
老师：怎样让两个角相等呢？
生2：利用量角器去量
老师：还有没有其他方法？
生3：可以将角的两条边重合，并对折。
老师：很好，你们手上都有一个画好的角，请同学们动手试试，怎样折出角的平分线。
（老师在教室巡视，掌握学生及时情况）
老师：对折的本质是什么？
学生4：轴对称图形的性质
老师：在生活当中，工人师傅常常需要用到角平分线。他们会制作一个简易的角平分仪。（展示简易的角平分仪）我们来观察这两个模型：蓝色这两条线段是相等的，绿色的两条线段也是相等的。那么我们怎么用它来画角平分线呢？请大家看我操作。比如说我要作∠AOB的角平分线。首先使这个蓝色的角的顶点与∠AOB的顶点重合。然后调整这两条蓝色的边，使这两条蓝色的边和∠AOB的两条边分别重合。接着连接这两个点，所成的射线就是∠AOB的平分线。（展示PPT图片）请同学们思考，这样做的原理是什么呢？好，请这位同学起来说一下。
生5：ON=OM，CN=CM，OC是公共边。所以这两个三角形是全等的。
老师：利用边边边构造全等三角形，再由全等三角形的性质可以得到哪两个角的呢？
生6：∠NOC和∠MOC
老师：同学们，能否通过这个模型的启发，思考出怎样用尺规来作∠AOB平分线？
（老师巡视，对有困难的同学进行指导）
老师：现在请会画的同学来跟大家分享怎么用尺规作角平分线？
生7：以O为圆心，任意长为半径画弧。接着分别以M、N为圆心，任意长为半径，画弧，两弧会交于一点C，连接OC。
老师：好，OC即为∠AOB的平分线，我们再把做法展示给大家看一下，那就有一个问题，为什么以M和N为圆心的时候，取半径要取大于1/2的MN呢？
生8：如果取比MV的一半小的话，那么这两段弧是没有交点的。
老师：非常好！我们在前面学习角平分线就知道角平分线平分角的性质，那么角平分线上点会有怎样的性质呢？（展示PPT）已知OC是∠AOB的角平分线，在OC上取一点P分别向OA和OB边作垂线段，那么这两条垂线段有怎样的数量关系？
生9：相等
老师：怎么证明这个结论呢？
生10：因为∠1=∠2，∠PDO=∠PEO，且OP等于OP公共边，所以利用AAS证明三角形全等。由全等三角形的性质就可以推出PD=PE。
老师：通过证明，我们就得到了角平分线的性质定理。请同学们把这个定理在学案上勾画起来，并且分析一下，在这个定理里面哪些是已知的条件。
（老师板书，学生勾划）
老师：我请一个同学起来分析已知条件有哪些？
生11：第1个条件角平分线;第2个条件是角平分线上的点到这个角两边的距离。
老师：就是过这个点作角两边的垂线段。结论是什么？
生11：这两条垂线段相等
老师：很好！接着我们结合几何图形来写出它的符号语言。
生12：∵ OP是∠AOB的平分线
∴ PD=PE
老师：那如果我把点D换一个位置，那么PD=PE吗？
生12：哦，还要加上PD ⊥OA，PE ⊥OB。
老师：所以必须要强调，这两条线段是垂线段，才会相等。（老师板书完成）这个定理里面的已知条件有几个？
生13：2个
老师：你们理解到平分线的性质来吗？（展示3个练习）
老师：第1小题如图，∵如图，PE⊥OA，PF⊥OB（已知），∴PF=PE.
生14：错，因为没有强调OP是∠AOB的平分线 老师：第2题∵ 如图，OP平分∠AOB（已知）∴ PF = PE .
生15：错，因为强调它们是垂线段，所以不能得到它们相等。
老师：第3题。∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PE=3cm（已知）∴点P到OB的距离等于3cm
生16：错
老师：为什么错？错在哪里？
生16：哦，对的。
老师：图中有没有点P到AB的距离？
生16：没有
老师：没有，又想用角平分线的性质怎么办？
生17：添加角平分线
老师：非常好！接下来我们来看怎么应用角平分线的性质。
（学生思考，老师示范板书）
老师：好，先回答，DE与DC的关系
生18：相等，
老师：好，理由。
学生18：因为BD平分角ABC，且DE垂直BA，DC垂直于BC，所以CD就等于CE。
老师：如果我把这道题改一下，把DE去掉。请思考这个题又该怎样做？（老师板书）
生18：因为AC=8，AD=5。所以DC=3.过D点作AB边的高DE
老师：为什么想到这样添加辅助线？
生18：因为已知角平分，要用角平分线的性质，就应该添加这条垂线段。
生19：因为求三角形的面积，也需要作AB边的高。
老师：由角平分线性质可以得到DE=DC，因为DC=3，所以DE=3，AB=10，所以面积是？
生19：15
老师：做对的举手。
（及时了解学生对知识的掌握情况）
老师：通过这个题，我们发现遇到角平分线，要用角平分线的性质，就应该想到构造垂线段。那么接下来请同学们把变式2完成。
（学生独立完成，老师巡视，个别辅导，并用平板展示学生完成的情况）
老师：好了，请同学们停下来，我们来看一下这位同学完成的情况。我们看第1排，他想到了作垂线段，书写可以改进一下：过点P作PT垂直于BC于点T。因为CP平分∠DCB，然后是PT垂直AC，PD垂直于CD。角平分线的性质能得到两组线段相等吗？
学生20：能
老师：那你说一下怎么得到？
学生20：好像不对！TC和CD不是角平分线上的点到角两边的距离
老师：观察得非常仔细！
老师：那么它们相等吗？
学生：相等
老师：不能用角平分线的性质，那用什么来证明呢？
学生：全等
老师：继续，那后面这两条线段相等。这已经告诉了垂线段PA垂直于BA，PT垂直于BC。所以PT=PA。然后等量代换，所以PA=PD，而AD=8，所以PA=PD=4。接着PT，是等于它们的，所以也等于4。这个书写的过程大家下去再去整理一下。通过这两个练习，我们又获得添加辅助线的新方法是？
学生：遇到角平分线，添加垂线段
老师：很棒！请记录在你们的学习单上。反过来，如果在一个角的内部取一点P，过点P向OA、OB边作垂线段，并且这两条垂线段相等，那么，这样的点p有多少个？它们有怎样的一个共同点呢？
学生：有无数个，在角平分線上
老师：我们用一个数学实验来探索。
（利用几何画板展示动画效果）
学生：只要始终保证这两条垂线段PE和PD相等，这样的点P有无数个，而且他们都在这个∠AOB的平分线上。
老师：能否用更简洁的语言来描述这一现象
学生：到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上
老师：怎么来证明这个结论呢？
学生：利用HL可以证得这两个直角三角形全等的，所以由全等三角形的性质可得∠1=∠2，所以OP就是∠AOB的平分线。
老师：通过大家的努力，我们得到了角平分线的判定，请大家在学案上勾画，并分析有哪些已知条件。
学生：这里面一个是距离，一个是距离相等
老师：那么这两个条件能推出什么结论呢？
学生：能推出它是角平分线
老师：那我们用符号语言怎么来表述这个结论呢？
学生：∵ PD ⊥OA ，PE ⊥OB 且PD=PE
∴OP是∠AOB的平分线
老师：判定的本质是证明角等，性质的本质是证明线段等。但它们的已知条件中有一个共同条件？
学生：垂线段。
老师：我们来看到这个手拉手模型（展示PPT）：可以得到一个基本的结论？
学生;三角形ABC全等于三角形DBE。
老师：如果我们把OB连接，那请问OB平分角AOE吗？
学生：平分
老师：那我们怎么去证明它呢？
学生：过点B作AC边的垂线段BG。然后再过点B作DE边的垂线段BP。而因为三角形ABC全等于三角形DBE。所以由全等三角形对应边上的高相等。然后呢，他们又是垂线段。然后因为OB=OB所以用HL可以证三角形全等。
老师：很好，用全等的性质证明到角等。谁能把这个方法再优化一下？
学生：BG垂直于OA，BP垂直于OB。且BG=BP。所以说OB平分角AOE。
老师：非常好！这个其实就是可以直接利用角平分线的判定，由垂线段相等就可以推出角等的。这样做就绕开了全等的思路，显得更简洁！这个题有告诉我们添加辅助线的方法？
生：遇到角平分线的问题，添加垂线段。
老师：请同学们做好笔记。我们在前面学习三角形的时候就知道三角形的角平分线会交于一点。为什么呢？现在我们就可以利用这节课所学的知识来解答它。
（分组讨论，老师巡视，个别指导）
老师：我请一个同学来说说怎么解决这个问题。好，你来。
学生：证明点F在角A的平分线上，由两点确定一条直线，我们应该想到连接AF，本质就是证明AF平分角BAC。这样就容易联想到我们这节课学习的角平分线判定。转化为证明垂线段相等。然后继续添加辅助线过点F作FG垂直AB。FH垂直于BC，FP垂直于AC。
（学生说，老师板书）
学生：因为BD平分角ABC，然后FG垂直于BA，FH垂直于BC，所以FG=FP，
老师：这个用到的是什么结论？
学生：角平分线的性质，
老师：继续，
学生：又因为CE平分角ACB，FG垂直于BC，FP垂直于AC，FP=FG。所以FH=FG然后又因为FH垂直AB，FP垂直于AC。所以可以推出AF平分角BAC。
老师：很棒！现在，我们更有底气地说三角形的三条角平分线是交于一点！而这一点叫做三角形的内心，而这个内心到三角形三条边的距离是相等的。
师生合作：
收获：这一节课我们学到的内容有哪些？这些内容都用到了以前的什么知识推导？角平分线的性质及判定的本质是什么？添加辅助线的方法是什么？
体会：数学来源于生活，集体的力量是无穷的……
老师：今天的作业，第1个是完善你们的学案，然后留下了这个思考题下去独立思考，第2个是完成优化的106和108页。
今天的课就到这里，下课。
（作者单位：四川省成都市金苹果锦城第一中学）