函数与不等式既是知识的结合,又是数学思想和方法的交汇处,因此成为高考的热点。恒成立问题就是其中一种比较常见的题型。恒成立问题在解法上是灵活多样的,其某些解法及解题思想,对解决其它数学问题也有一定的指导性作用。本文旨在通过对具体问题的解析,来帮助学生加强对这一类问题的掌握。
　　一、变换主元
　　例1、设不等式mx2-2x+1-m<0对于满足|m|≤2的一切实数m的值都成立,求x的取值范围。
　　分析:若本题改为“不等式mx2-2x+1-m<0对于任意的实数x恒成立,求m的取值范围”,则问题可化归为文[1]中的例2进行求解。但对于本题学生则难于下手,这是因为学生的思维定势,将x看成自变量,m看成是参数,求解确实困难。但如果我们能够换位思考,变换主元,将m看成自变量,x看成是参数,将原不等式变形为(x2-1)m+1-2x<0,这样就可以将问题转化为关于m的一元一次不等式来求解,则问题可迎刃而解。
　　解:原不等式转化为(x2-1)m+1-2x<0,记f(m)=(x2-1)m+(1-2x),其中-2≤m≤2。
　　根据题意得
　　　　说明:本题将m视为主变量,则f(m)的图像是一条线段,即f(m)为一次函数,可利用一次函数的单调性求解。
　　二、巧用等号
　　例2、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像过点(-1,0),问是否存在常数a、b、c使得对于任意的x,不等式x≤f(x)≤ (1+x2)恒成立?
　　分析(一):本题也为恒成立问题,需将不等式x≤f(x)≤ (1+x2)看成“对于任意的x,x≤f(x)与f(x)≤ (1+x2)同时恒成立”,故需两次利用恒成立思想来求解。
　　解:由题意知:对于任意的x,x-f(x)≤0与f(x)- (1+x2)≤0恒成立,
　　即ax2+(b-1)x+c≥0……(1)与(a- )x2+bx+c- ≤0……(2)恒成立。
　　由(1)得
　　由(2)得
　　又函数f(x)=ax2+bx+c的图像过点(-1,0),故a-b+c=0,即a+c=b。
　　从而有
　　所以a=c,2(a+c)-1=0。
　　所以存在常数a=c= 、b= 满足题意。
　　分析(二):如果我们能观察不等式x≤f(x)≤ (1+x2) 的特征,巧妙利用其中的两个等号,则问题将会变得简单得多。
　　解:因为函数f(x)=ax2+bx+c的图像过点(-1,0),故a-b+c=0……(1)。
　　当x=1时,1≤f(1)=a+b+c≤1,所以a+b+c=1……(2)。由(1)、(2)得:b= ,a+c= ,
　　所以f(x)=ax2+ x+ -a。又因为x-f(x)≤0对于任意的x恒成立,所以ax2- x+ -a≥0恒成立。
　　所以a= 。
　　所以存在常数a=c= 、b= 满足题意。
　　说明:在第二种方法中,我们是通过利用不等式中的等号,快速简单地求出b= ,a+c= ,从而达到化简解题过程的目的。
　　三、利用最值
　　例3、定义在(-∞,3]上的减函数f(x)使得f(a2-sinx)≤f(a+1+cos2x)对一切x∈R成立,求实数a的取值范围。
　　分析:本题可先利用函数的单调性去掉对应法则f,得a+1+cos2x≤a2-sinx≤3,再利用恒成立知识去求解,其中用到了函数的最值思想。
　　解:由题意知只要a+1+cos2x≤a2-sinx≤3恒成立。由a+1+cos2x≤a2-sinx,得a2-a- ≥-(sinx- )2。由a2-sinx≤3得a2-3≤sinx。而-(sinx- )2的最大值为0,sinx的最小值为-1,因此 , - 2≤a≤ 。
　　所以a的取值范围是 - 2≤a≤ 。
　　说明:“f(a)≤g(x)或f(a)≥g(x)对于给定区间上的一切x恒成立” 问题,实际上最终可转化为求函数在给定区间上的最小值或最大值问题,即f(a)≤gmin(x)或f(a)≥gmax(x),然后再解相应的不等式即可。其中也用到了分离常数这一思想。
　　四、数形结合
　　例4、若不等式x2-logax<0在区间(0, )内恒成立,求实数a的取值范围。
　　分析:本题为超越不等式,其中既有二次函数,又有对数函数,因此难以用常规方法来求实数a的取值范围。将不等式x2-logax<0转化为x2　　解:在同一坐标系里画出函数f1(x)=x2与f2(x)=logax的图像,f(x)=log x与f1(x)=x2的图像交于点(0.5,0.25)。由图(1)可知:当a0≤a≤1时,在(0, )上函数f1(x)=x2的图像恒在f2(x)=logax图像的下方。由f(0.5)=log 0.5=0.25得a0= ,故 ≤a<1。
　　
　　以上所给的四例,是恒成立问题中的重要题型,其解决方法与思想也非常重要。若学生能够真正掌握本文中所给的例子,今后再遇到恒成立有关问题就可以顺利地解决。